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导练02 平面向量§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业20 （点击进入）word板块 课时作业20 平面向量的基本定理及坐标表示
基础要求
1．设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2－2e1
D．e2和e1＋e2
解析：因为B中4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，
所以为平行向量，不能作为一组基底．
答案：B
2．在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
解析：由平面向量的基本定理知，只要e1与e2不共线即可，排除A、C、D，选B.
答案：B
3．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝
－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．梯形 D．菱形
解析：∵＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，即＝2，
∴AD∥BC且AD≠BC，故选C.
答案：C
4．(2019年湖南省衡阳八中、长郡中学等十三校联考)如图1，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若＝
λ＋μ，则λ＋μ＝( )
图1
A．2 B.
C. D.
解析：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图2：
设正方形边长为1，
图2
则＝(1，)，
＝(－，1)，＝(1，1)．
∵＝λ＋μ，
∴ ，解得∴λ＋μ＝.故选D.
答案：D
5．(2019年福建省南平市期中)已知向量i与j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是( )
A．mn＝1 B．mn＝－1
C．m＋n＝1 D．m＋n＝－1
解析：依题意，∥，∴＝λ，即＝，
求得mn＝1，故选A.
答案：A
6．(2019年河北省保定市期中)如图3，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )
图3
A. B.
C. D．2
解析：＝＋，
＝＋＝＋，＝－；
∴AC ＝λ＋μ
＝λ(＋)＋μ(－)
＝(λ－μ)＋(＋μ)；
∴由平面向量基本定理得：；
解得λ＝，μ＝；∴λ＋μ＝.故选B.
答案：B
7．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析：主要考查平面向量的基本概念与坐标运算公式，考查运算求解能力．由题意，ma＝(2m，m)，nb＝(n，－2n)，
则ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)
由已知可得，解得，
因此m－n＝－3.
答案：－3
8．已知三个向量＝(k，12)、＝(4，5)、＝(10，k)，且A、B、C三点共线，试确定实数k的值．
解：＝(4－k，－7)，＝(10－k，k－12)，
∵A、B、C三点共线，∴∥.
∴(4－k)(k－12)－(－7)(10－k)＝0，
解得k＝11或－2.
能力要求
1．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( )
A．(，－) B．(，－)
C．(－，) D．(－，)
解析：先求出的坐标，再转化成单位向量
＝(4－1，－1－3)＝(3，－4)，所以||＝5，则与同方向的单位向量为＝＝(，－)．
答案：A
2．(2019年山东省菏泽期中)如图4，在?ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且＝
，＝，连接AC，MN交于P点，若＝λ，则λ的值为( )
图4
A. B.
C. D.
解析：∵＝，
＝，
∴＝λ＝λ(＋)
＝λ(＋)
＝λ＋λ，
∵三点M，N，P共线．∴λ＋λ＝1，则λ＝.
故选D.
答案：D
3．(2019年湛江模拟)在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则等于( )
A．(－2，7) B．(－6，21)
C．(2，－7) D．(6，－21)
解析：＝2＝2(－)＝2(－3，2)
＝(－6，4)
＝3＝3(＋)＝3(－2，7)＝(－6，21)．
答案：B
4．(2019年安徽省淮南月考)如图5，在△ABC中，＝
，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为( )
图5
A. B.
C．1 D．3
解析：∵＝，＝m＋
∴＝m＋
设＝λ(λ＞0)得＝＋
∴m＝且＝，解之得λ＝8，m＝，
故选A.
答案：A
5．设向量绕点O逆时针旋转得向量，且2＋＝(7，9)，则向量＝________．
解析：设＝(m，n)，则＝(－n，m)，所以2＋＝(2m－n，2n＋m)＝(7，9)，即
解得因此，＝(－，)．
答案：(－，)
6．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2，0)，B(6，8)，C(8，6)，则D点的坐标为__________．
解析：本题主要考查平行四边形的性质及解析几何中中点坐标公式的应用．
设D(x，y)，连接AC与BD，交点设为E(x0，y0)，
由中点坐标公式解得∴∴D(0，－2)
答案：(0，－2)
7．如图6，||＝1，||＝2，||＝4，∠OAB＝∠ABC＝120°，求的坐标．
图6
解：∵＝(4，0)，
＝(2×cos60°，2×sin60°)
＝(1，)，
＝(1×cos120°，1×sin120°)＝(－，)，
∴＝＋＋＝(，)
拓展要求
1．如图7，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)，且＝x＋y，则实数对(x，y)可以是( )
图7
A．(，)
B．(－，)
C．(－，)
D．(－，)
解析：＝a＋b(a，b∈R＋，0＝a·λ·＋b·(λ>0)
＝aλ(－)＋b·
＝－aλ·＋(aλ＋b)
＝x·＋y·，
∴x＝－aλ，y＝aλ＋b，∴x＋y＝b∈(0，1)故选C.
答案：C
2．(2019年河南省郑州市期末)如图8，设Ox、Oy是平面内相交成45°角的两条数轴，e1、e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量＝xe1＋ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标，在此坐标系下，假设＝(－2，2)，＝(2，0)，＝(5，－3)，则下列命题不正确的是( )
图8
A．e1＝(1，0) B．||＝2
C.∥ D.⊥
解析：e1＝1×e1＋0×e2，
∴e1＝(1，0)；故A正确；
由余弦定理可知
||＝＝2，
故B错误；
∵＝－＝(3，－3)＝－，
∴∥，故C正确；
的直角坐标为(0，2)，的直角坐标系为(2，0)，
∴⊥.故D正确．
答案：B
3．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，＝m(＋＋)，则实数m＝________．
解析：令三角形ABC为等腰直角三角形即可，O为斜边的中点，H为直角顶点，易得m＝1.
答案：1
