课件33张PPT。同步导练/RJA·必修④ 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练02 平面向量§2.4 平面向量的数量积第一课时 平面向量数量积的物理背景及其含义目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业21 （点击进入）word板块 课时作业21 平面向量数量积的物理背景及其含义
基础要求
1．对任意向量a、b，|a|·|b|与a·b的大小关系为( )
A．|a|·|b|
C．|a|·|b|≥a·b D．无法确定
解析：∵a·b＝|a|·|b|cosθ，－1≤cosθ≤1，
∴a·b≤|a|·|b|，选C.
答案：C
2．已知ABC中，若＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
解析：由－·＝·＋·，
得·(－)＝·(－)，
即·＝·，∴·＋·＝0，
∴·(＋)＝0，则·＝0，即⊥，
所以△ABC是直角三角形，故选C.
答案：C
3．对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是 ( )
A．|a·b|≤|a||b|
B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2
D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
解析：对于选项A，设向量a，b的夹角为θ.
∵|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，
∴A选项正确；对于选项B，
∵当向量a，b反向时，|a－b|≥||a|－|b||，
∴B选项错误；对于选项C，由向量的平方等于向量模的平方可知，C选项正确；对于选项D，根据向量的运算法则，可推导出(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，故D选项正确．
答案：B
4．(2019年江西省抚州市期末)已知a，b满足：|a|＝3，|b|＝2，|a＋b|＝4，|a－b|＝( )
A. B.
C．3 D.
解析：∵|a|＝3，|b|＝2，|a＋b|＝4，
∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝13＋2a·b＝16，
∴a·b＝，
∴|a－b|＝＝
＝＝.
故选D.
答案：D
5．已知向量⊥，||＝3，则·＝________．
解析：因为⊥，＝3，
所以·＝·(＋)
＝||2＋·
＝||2＝32＝9.
答案：9
6．已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________.
解析：因为a＝3e1－2e2，所以a2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－12e1·e2＝9，故而|a|＝3.
答案：3
能力要求
1．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：由·＝·
得·(－)＝0，
即·＝0，∴PB⊥CA.
同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．
答案：D
2．(2019年北京市西城区二模)设a，b是平面上的两个单位向量，a·b＝.若m∈R，则|a＋mb|的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：设a，b是平面上的两个单位向量，
则|a|＝1，|b|＝1，
∵|a＋mb|2＝|a|2＋m2|b|2＋2ma·b
＝1＋m2＋m＝(m＋)2＋，
当m＝－时，|a＋mb|2有最小值，
∴|a＋mb|的最小值是，故选C
答案：C
3．(2019年黑龙江省哈尔滨师大附中期中)若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
图1
则＝a＋b.
∵|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，
∴四边形OACB为矩形，
∴sin?a＋b，b?＝＝，
∴向量a＋b与b的夹角为.
故选A.
答案：A
4．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )
A．－8 B．8
C．－8或8 D．6
解析：由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得
cosθ＝－，sinθ＝，
∴|a×b|＝|a|·|b|·sinθ
＝2×5×＝8.
答案：B
5．(2017年高考·课标全国卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( )
A．－8 B．－6
C．6 D．8
解析：向量a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b得
4×3＋(m－2)×(－2)＝0，解得m＝8.
答案：D
6．在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，＝2，＝3，则·的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：由已知得到
·＝(＋)(＋)
＝－2＋·＋·＋2，
△ABC是等腰直角三角形，
∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
所以上式＝－×22＋0＋0＋×22＝－；
故选A.
答案：A
拓展要求
1．已知非零向量与满足(＋)·＝0且·＝，则△ABC为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．三边均不相等的三角形
解析：由·＝得∠A＝60°，
又由(＋)·＝0，得∠B＝∠C.
答案：A
2．如图2，在四边形ABCD中，||＋||＋||＝4，||·||＋||·||＝4，·＝·＝0，则(＋)·的值为( )
图2
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：||＋||＋||＝4，
||·(||＋||)＝4
故||·(4－||)＝4，||＝2，
||＋||＝2
由·＝·＝0，
所以⊥，⊥
(＋)·＝(＋)·(＋＋)
＝2＋2＋2·
＝2＋2＋2||·||cos0°
＝||2＋||2＋2||·||
＝(||＋||)2＝4
答案：C
3．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析：解法1：∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，
∴(a＋b)·(a－b)＝－c·(a－b)＝0，
∴a2－b2＝0，即b2＝a2＝1
而c2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
解法2：如图3，作平行四边形ABCD，使＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b＝－c，由条件知，四边形ABCD为正方形．
易求得所求的值为4.
图3
答案：4
4．如图4，在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则·(＋)的最小值是________．
图4
解析：根据向量加法的平行四边形法则可知
＋＝2，设||＝x，
则||＝||－||＝2－x，(0则·(＋)＝·(2)
＝2||||cosπ＝－2||·||
＝－2(2－x)·x＝－2＋2(x－1)2
∴当x＝1时，取最小值，·(＋)的最小值为－2.
答案：－2
