课件29张PPT。同步导练/RJA·必修④ 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练02 平面向量§2.4 平面向量的数量积第二课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业22 （点击进入）word板块 课时作业22 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
基础要求
1．设向量a＝(1，0)，b＝，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．a－b与b垂直 D．a∥b
解析：本题主要考查向量的关系和运算．
(a－b)·b＝0，所以选C.
答案：C
2．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( )
A．5 B.
C．4 D.
解析：因为a⊥b
所以a·b＝0?1×x＋2×(－2)＝0?x＝4
所以a＋b＝(1＋4，0)＝(5，0)
所以|a＋b|＝5，故选A.
答案：A
3．(2019年河北省正定中学模拟)已知向量a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(0，－2)，θ∈(，π)，则向量a、b的夹角为( )
A.－θ B．θ－
C.＋θ D．θ
解析：解法1：由三角函数定义知a 的起点在原点时，终点落在圆x2＋y2＝4位于第二象限的部分上(∵<θ<π)，设其终点为P，则∠xOP＝θ，
图1
∴a与b的夹角为－θ.
解法2：cos〈a，b〉＝＝
＝－sinθ＝cos(－θ)，
∵θ∈(，π)，∴－θ∈(，π)，
又〈a，b〉∈(0，π)，∴〈a，b〉＝－θ.
答案：A
4．如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，E是边BC的中点，D是边AC上一动点，则·的取值范围是( )
图2
A．[0，2] B．[－2，0]
C．[0，2] D．[－2，0]
解析：根据题意，建立平面直角坐标系如图3所示；
图3
则A(0，0)，B(2，0)，C(0，2)，E(1，1)，
设D(0，y)，则0≤y≤2；
∴＝(1，1)，＝(－2，y)，
∴·＝1×(－2)＋y＝y－2；
由y∈[0，2]，得y－2∈[－2，0]，
∴·的取值范围是[－2，0]．
故选B.
答案：B
5．已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1)，则
(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为________；
(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为________．
解析：(1)由a＝(1，0)，b＝(1，1)，得2a＋b＝(3，1)．设与2a＋b同向的单位向量为c＝(x，y)，
则且x，y>0，
解得故c＝.
即与2a＋b同向的单位向量的坐标为.
(2)由a＝(1，0)，b＝(1，1)，得b－3a＝(－2，1)．
设向量b－3a与向量a的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝－.
答案：(1) (2)－
能力要求
1．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－2，则λ＝( )
A. B.
C. D．2
解析：如图4，设＝b，＝c，则|b|＝1，|c|＝2，
图4
b·c＝0，又＝＋
＝－b＋(1－λ)c，
＝＋＝－c＋λb，
由·＝－2得
[－b＋(1－λ)c]·(－c＋λb)
＝(λ－1)|c|2－λ|b|2
＝4(λ－1)－λ＝－2，
即3λ＝2，λ＝，选B.
答案：B
2．设A(a，1)、B(2，b)、C(4，5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为( )
A．4a－5b＝3 B．5a－4b＝3
C．4a＋5b＝14 D．5a＋4b＝14
解析：熟悉向量数量积的几何意义是求解本题的关键．由与在方向上的投影相同，可得：·＝·即4a＋5＝8＋5b，4a－5b＝3.故选A.
答案：A
3．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( )
A.－1 B．1
C. D．2
解析：此题可用代数法和几何法，若用代数法消去模的有力工具是将其平方，而几何法需准确理解向量各种运算的几何意义．
解法1：(a－c)·(b－c)＝－(a·c＋b·c)＋|c|2≤0
即a·c＋b·c≥1
|a＋b－c|＝
＝
＝≤＝1
∴|a＋b－c|的最大值为1.
解法2：如图5.a，b，c三个向量的起点在坐标原点，终点A、B、C在单位圆上，a－c＝，b－c＝，又∵·≤0
图5
∴点C在以AB为直径的圆内或圆上，即C点只能在上移动．
又∵a＋b＝
∴a＋b－c
＝－＝
由于D为定点，∴显然当C与A或B重合时||最大为1，∴|a＋b－c|的最大值为1.
故选B.
答案：B
4．(2019年高考·课标全国卷Ⅱ)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：因为＝－＝(1，t－3)，
所以||＝＝1，解得t＝3，
所以＝(1，0)，
所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C.
答案：C
5．如图6，在平行四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－3，2)，则·＝________．
图6
解析：令＝a，＝b，
则解得
∴·＝b·(a＋b)＝(－1)×1＋2×2＝3.
答案：3
6．(2019年湖南省长沙市期末)已知a＝(4，2)，则与a垂直的单位向量的坐标为________．
解析：设与a垂直的单位向量n＝(x，y)．
则，解得或
答案：(，－)或(－，)
7．关于平面向量a，b，c.有下列三个命题：
①若a·b＝a·c，则b＝c.
②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a∥b，则k＝－3.
③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.
其中真命题的序号为______．(写出所有真命题的序号)
解析：对于②，有＝，得k＝－3.进一步，可以说明①，③为假命题．
答案：②
8．(2019年湖南省长沙市期末)如图7，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a(a＞0)，P为线段AD(含端点)上一个动点，设＝x，·＝y，对于函数y＝f(x)，给出以下三个结论：
图7
①当a＝2时，函数f(x)的值域为[1，4]；
②对于任意的a＞0，均有f(1)＝1；
③对于任意的a＞0，函数f(x)的最大值均为4.
其中所有正确的结论序号为________．
解析：建立直角坐标系如图8所示．
图8
∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a(a＞0)，
∴B(0，0)，A(－2，0)，
D(－1，a)，C(0，a)．
∵＝x，(0≤x≤1)．
∴＝＋x＝(－2，0)＋x(1，a)
＝(x－2，xa)，
＝－＝(0，a)－(x－2，xa)
＝(2－x，a－xa)．
得y＝f(x)＝·
＝(a2＋1)x2－(4＋a2)x＋4.x∈[0，1]．
①当a＝2时，
y＝f(x)＝5x2－8x＋4＝5(x－)＋.
∵0≤x≤1，∴当x＝时，f(x)取得最小值；
又f(0)＝4，f(1)＝1，∴f(x)max＝f(0)＝4.
综上可得，函数f(x)的值域为[，4]．
因此①不正确．
②由y＝f(x)＝(a2＋1)x2－(4＋a2)x＋4.
可得?a∈(0，＋∞)，都有f(1)＝1成立，
因此②正确；
③由y＝f(x)＝(a2＋1)x2－(4＋a2)x＋4可知，
对称轴x0＝，
当0＜a≤时，x0>1，
∴函数f(x)在[0，1]上单调递减，
因此当x＝0时，函数f(x)取得最大值4.
当a>时，0＜x0＜1，
函数f(x)在[0，x0)上单调递减，在(x0，1]上单调递增．
又f(0)＝4，f(1)＝1，
∴f(x)max＝f(0)＝4.因此③正确．
综上可知：只有②③正确．
答案：②③
9．已知a＝(1，0)，b＝(0，1)，当k为整数时，向量m＝ka＋b与n＝a＋kb的夹角能否为60°？证明你的结论．
解：假设m、n的夹角能为60°，
则cos60°＝，
∴m·n＝|m||n|.①
又∵a＝(1，0)，b＝(0，1)，
∴|a|＝|b|＝1，且a·b＝0.
∴m·n＝ka2＋a·b＋k2a·b＋kb2＝2k，②
|m||n|
＝·
＝k2＋1.③
由①②③，得2k＝(k2＋1)．
∴k2－4k＋1＝0.
∵该方程无整数解．
∴m、n的夹角不能为60°.
拓展要求
1．设a＝(4，3)，a在b上的投影为，b在x轴上的投影为2，且|b|≤14，则b为( )
A．(2，14) B．(2，－)
C．(－2，) D．(2，8)
解析：设b＝(x，y)，则由b在x轴上投影为2，
得x＝2.
即b＝(2，y)，又a在b上投影为，则＝.
即＝，解得y＝－或y＝14，
又|b|≤14，
∴y＝14(舍去)，即b＝(2，－)，所以选B.
答案：B
2．在直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，则＝________．
解析：设为∠AOB的平分线的向量，则
＝＋＝(0，1)＋(－，)
＝(－，)，||＝，
e＝＝(－，)＝(－，)，
＝2e＝(－，)．
答案：(－，)
3．在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2，1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．
解析：
以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图9所示，因为AB＝2，AD＝1，所以A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(0，1)．
图9
设M(2，b)，N(x，1)(0≤x≤2)，根据题意，b＝，
所以＝(x，1)，＝(2，)．
所以·＝x＋1(0≤x≤2)，
所以1≤x＋1≤4，
即1≤·≤4.
答案：[1，4]
