课件39张PPT。同步导练/RJA·必修④ 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练02 平面向量§2.5 平面向量应用举例目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业23 （点击进入）word板块 课时作业23 平面向量应用举例
基础要求
1．(2019年新疆兵团华山中学期末)在△ABC中，有命题
①－＝；
②＋＋＝0；
③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；
④若·>0，则△ABC为锐角三角形．
上述命题正确的是( )
A．①② B．①④
C．②③ D．②③④
解析：由向量的运算法则知－＝，故①错；
＋＋＝0，故②对；
又 (＋)·(－)＝2－2，
∵(＋)·(－)＝0，
∴2＝2即AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，故③对；
∵·＝||||cosA>0，则cosA>0，
∴∠A为锐角，但三角形不一定为锐角三角形，故D错．
答案：C
2．已知|p|＝2，|q|＝3，p、q的夹角为45°，则以a＝5p＋2q，b＝p－3q为邻边的平行四边形的对角线长为( )
A．15 B.
C．14 D．16
解析：|a＋b|＝＝
＝＝＝15，选A.
答案：A
3．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( )
A．2 B．2
C．2 D．6
解析：解法1：如图1，F3＝－(F1＋F2)，
则|F3|＝＝
＝＝2.
选A.
解法2：如图1，在△ABD中，∠ABD＝120°，
图1
从而|AD|＝＝2，
所以 F3的大小为2.选A.
答案：A
4．设A，B，C为直线l上不同的三点，O为直线l外一点．若p＋q＋r＝0(p，q，r∈R)，则p＋q＋r＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．3
解析：由已知得＝－－，而A，B，C三点共线，所以－＋(－)＝1，所以p＋q＋r＝0.
答案：B
5．(2019年辽宁省实验中学期中)已知M为△ABC内一点，＝＋，则△ABM和△ABC的面积之比为( )
A. B.
C. D.
解析：设＝，＝，
图2
以AD，AE为邻边作平行四边形ADME，
延长EM交BC于F，
则EF∥AB，∴＝＝.故选A.
答案：A
能力要求
1．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是( )
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
解析：根据给出的“⊙”的运算a⊙b＝mq－np，
可得b⊙a＝pn－qm.
显然a⊙b≠b⊙a，故选B.
答案：B
2．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是 ( )
A．|b|＝1 B．a⊥b
C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥
解析：b＝－＝，A项：|b|＝||＝2，故A项错；B项：a·b＝·＝×2×2×cos＝－1，故B项错；由B可知C项错误；D项：(4a＋b)·＝(2＋)·＝2·＋||2＝2×2×2×cos＋22＝0，故D项正确．
答案：D
3．设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知点C(c，0)，D(d，0)(c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是( )
A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上
D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上
解析：由题设C、D调和分割点A、B且A、B、C、D四点不重合．若C是AB中点，则＝，则＝2，显然不满足＋＝2，即A项不对，同理B项不对，先看D项．若C、D都在AB延长线上，则λ>1，μ>1显然＋＜2，即D项正确，再看C项若C、D同时在线段AB上，则0＜λ<1，0<μ<1，则＋＞2.故C项不对．∴选D.
答案：D
4．已知点O为△ABC的外心，且||＝4，||＝2，则·＝________．
解析：因为点O为△ABC的外心，且||＝4，
||＝2.
所以·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||·cos〈，〉
＝||||×－||||×＝6.
答案：6
5．如图3所示，PQ过△OAB的重心G，＝a，＝b，＝ma，＝nb，则：＋＝________．
图3
解析：∵M是AB边的中点，
∴＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝＝×(a＋b)＝a＋b，
由＝－＝nb－ma
＝－＝a＋b－ma＝(－m)a＋b
∵∥，∴＝
整理得mn＝(m＋n)
即＋＝3
答案：3
6．四边形ABCD中，＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)：
(1)若∥，试求x与y满足的关系式；
(2)满足(1)的同时又有⊥，求x、y的值及四边形ABCD的面积．
解：＝(x，y)，＝－＝－(＋＋)
＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．
(1)∵∥，
则有x·(－y＋2)－y·(－x－4)＝0，
化简有：x＋2y＝0.
(2)＝＋＝(x＋6，y＋1)，
＝＋＝(x－2，y－3)，
又⊥，则(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，
化简得：x2＋y2＋4x－2y－15＝0.
联立
解得或
∵∥，⊥，
则四边形ABCD为对角线互相垂直的梯形．
若＝(0，4)，＝(－8，0)，
此时S四边形ABCD＝||·||＝16.
若＝(8，0)，＝(0，－4)，
此时S四边形ABCD＝||·||＝16
7．一条河的两岸平行，河的宽度d km，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船航行的速度|v1| km/h，水流速度|v2| km/h，那么ν1与v2的夹角θ多大时，用时最少？最少用时是多少？
解：设v1与v2的夹角θ，经过t小时，船到达河对岸E处，作出速度合成的平行四边形，如图4，
图4
∵∠AFB＝∠GAF＝θ，
在Rt△AFB中，AB＝AFsinθ，
即d＝|tv1|sinθ，
∴t＝.
显然，当θ＝90°时，取最小值，
故当v1与v2垂直时，即船向对岸行驶的时间最少．
拓展要求
1．已知向量a≠e，|e|＝1满足：对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则( )
A．a⊥e B．a⊥(a－e)
C．e⊥(a－e) D．(a＋e)⊥(a－e)
解析：
图5
如图5，|a－e|表示||，而t∈R时，|a－te|表示直线OA上任意一点与B的连线的长度，要使|a－te|≥|a－e|恒成立，则|a－e|是B到OA的距离．即(a－e)⊥e.
答案：C
2．设平面向量a1、a2、a3的和a1＋a2＋a3＝0，如果平面向量b1、b2、b3满足|bi|＝2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i＝1，2，3，则( )
A．－b1＋b2＋b3＝0
B．b1－b2＋b3＝0
C．b1＋b2－b3＝0
D．b1＋b2＋b3＝0
解析：采用特例法，不妨设|a1|＝|a2|＝|a3|＝1且夹角分别为120°，则|b1|＝|b2|＝|b3|＝2，且b1，b2，b3两两夹角都为120°，所以有b1＋b2＋b3＝0，∴选D.
答案：D
3．设O(0，0)，A(1，0)，B(0，1)点P是线段AB上的一个动点，＝λ，若·≥·，则实数λ的取值范围是( )
A.≤λ≤1
B．1－≤λ≤1
C.≤λ≤1＋
D．1－≤λ≤1＋
解析：由＝λ，待定P点坐标参数与数乘运算．可得P点坐标为(1－λ，λ)，若·≥·，可得(1－λ)×(－1)＋λ≥λ(λ－1)＋(－λ)(1－λ)即2λ2－4λ＋1≤0得1－≤λ≤1＋，同时因为P点在线段AB上，所以0≤λ≤1，故选B.
答案：B
4．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3＋4＋5＝0，则△AOC的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：由题设得3＋5＝－4，
即9＋2×3×5·＋25＝16.
∴cos∠AOC＝－，
∴sin∠AOC＝，S△AOC＝×1×1×＝.
答案：A
