课件35张PPT。同步导练/RJA·必修④ 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练03 三角恒等变换§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式第二课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业26 （点击进入）word板块 课件28张PPT。同步导练/RJA·必修④ 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练03 三角恒等变换§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式第三课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业27 （点击进入）word板块 课时作业26 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
基础要求
1．下列式子中恒成立的是( )
A．cos(α＋β)cosβ＋sin(α－β)sinβ＝cosα
B．cosβ＝coscos＋sinsin
C．sinαsinβ－cosαcosβ＝cos(α＋β)
D．cosα＝cos(α＋β)sinβ＋sin(α＋β)cosβ
解析：cosβ＝cos[()－()]
＝coscos＋sinsin
答案：B
2．若2sin(θ＋)＝3sin(－θ)，则tanθ＝( )
A．－ B.
C. D．2
解析：若2sin(θ＋)＝3sin(－θ)，
则2sinθcos＋2cosθsin
＝3sincosθ－3cossinθ，
化简可得sinθ＝cosθ，∴tanθ＝，故选B.
答案：B
3．已知在△ABC中，cosBcosC>sinBsinC，那么△ABC是( )
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
解析：cosBcosC>sinBsinC
则cosBcosC－sinBsinC>0
即cos(B＋C)>0
即cosA＝cos[π－(B＋C)]＝－cos(B＋C)<0
∴A为钝角
答案：D
4．填空：
(1)sin15°＝__________．
(2)cos75°＝__________．
(3)sin75°＝__________．
(4)tan15°＝__________．
(5)cosθ＝－，θ∈(，π)，则sin(θ＋)＝________．
(6)tanα＝3，tan(α＋)＝__________．
(7)sin72°cos18°＋cos72°sin18°＝__________．
(8)＝__________．
解析：(1)sin15°＝sin(45°－30°)
＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝.
(2)cos75°＝cos(45°＋30°)
＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝.
(3)sin75°＝sin(45°＋30°)
＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝.
(4)tan15°＝tan(45°－30°)＝
＝＝2－.
(5)∵cosθ＝－，θ∈(，π)，∴sinθ＝.
于是sin(θ＋)＝sinθcos＋cosθsin＝.
(6)tan(α＋)＝＝＝－2.
(7)原式＝sin(72°＋18°)＝sin90°＝1.
(8)原式＝tan(12°＋33°)＝tan45°＝1.
答案：(1) (2) (3)
(4)2－ (5) (6)－2 (7)1 (8)1
能力要求
1．在△ABC中，已知sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰非直角三角形
解析：由题设知sin[(A－B)＋B]≥1，
∴sinA≥1，而sinA≤1，∴sinA＝1，A＝，
∴△ABC是直角三角形．
答案：C
2．(2019年广东省深圳市模拟)已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)的值为( )
A．－1 B．1
C. D．不存在
解析：∵tanβ＝＝＝tan(－α)，
又∵α、β均为锐角，
∴β＝－α，即α＋β＝，
∴tan(α＋β)＝tan＝1，故选B.
答案：B
3.＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：
＝
＝
＝＝sin30°＝.
答案：C
4．若0＜α＜＜β＜π，且cosβ＝－，sin(α＋β)＝，则sinα的值是( )
A. B.
C. D.
解析：由0＜α＜＜β＜π，
知＜α＋β＜π，且cosβ＝－，sin(α＋β)＝，
得sinβ＝，cos(α＋β)＝－.
∴sinα＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝.
故选C.
答案：C
5．若cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝________．
解析：由已知得cos[(α＋β)－α]＝cosβ＝－，
∵450°<β<540°，∴sinβ＝，
∴sin(60°－β)＝·(－)－×＝－.
答案：－
6．如图1，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
图1
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解：(1)由已知可得，cosα＝，cosβ＝，
∵α，β为锐角，
∴sinα＝，sinβ＝.
∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
＝×－×＝；
(2)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
＝×＋×＝，
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝×－×
＝－.
∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]
＝sin(α＋β)cosβ＋cos(α＋β)sinβ
＝×＋(－)×＝.
又cos(α＋β)<0，∴<α＋β<π
∴＜α＋2β＜，
∴α＋2β＝.
7．已知函数f(x)＝Asin(x＋)，x∈R，且f()＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈(0，)，求f(π－θ)．
解：(1)依题意有f＝Asin
＝Asin＝A＝，所以A＝.
(2)由(1)得f(x)＝sin(x＋)，x∈R，
f(θ)＋f(－θ)＝sin(θ＋)＋sin(－θ＋)
＝(sinθcos＋cosθsin)＋[sin(－θ)cos＋cos(－θ)sin]
＝2cosθsin＝cosθ＝
∴cosθ＝，
∵θ∈(0，)，
∴sinθ＝＝＝
∴f＝sin＝sinθ＝
拓展要求
已知α为钝角，β为锐角，sinα＝，cos(α－β)＝x，sinβ＝y，则y关于x的函数关系式为( )
A．y＝(＋)
B．y＝(－)
C．y＝－(＋)
D．y＝－(－)
解析：∵<α<π，0<β<，
∴0<α－β<π，
∴sin(α－β)＝，cosα＝－，
∴y＝sinβ＝sin[α－(α－β)]
＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)
＝·x－(－)·
＝(＋)
答案：A
课时作业27 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
基础要求
1.的值为( )
A．1 B．2
C．sinα D.cosα
解析：原式＝
＝＝＝1.
答案：A
2．若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx，0≤x<，则f(x)的最大值为( )
A．1 B．2
C.＋1 D.＋2
解析：f(x)＝(1＋tanx)cosx＝cosx＋sinx
＝2sin(x＋)，当x＝时[f(x)]max＝2.
答案：B
3．函数f(x)＝sinx－cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：f(x)＝2sin(x－)，
∴令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，
又∵－π≤x≤0，∴－≤x≤0.
∴[－，0]是函数f(x)＝sinx－cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间．故选D.
答案：D
4．填空：
(1)＝__________．
(2)＝__________．
(3)cos74°sin14°－sin74°cos14°＝__________．
(4)sin34°sin26°－cos34°cos26°＝__________．
(5)tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°等于________
解析：(1)原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝.
(2)原式＝＝tan45°＝1.
(3)原式＝sin(14°－74°)＝－sin60°＝－.
(4)原式＝－cos(34°＋26°)＝－cos60°＝－.
(5)tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°
＝tan(17°＋28°)(1－tan17°tan28°)＋tan17°tan28°
＝tan45°＝1，
答案：(1) (2)1 (3)－ (4)－ (5)1
5．根据asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)化简下列各式：
(1)3sinx＋3cosx＝__________．
(2)cosx－sinx＝__________．
(3)sin＋cos＝__________．
(4)sin(－x)＋cos(－x)＝__________．
解析：(1)原式＝6(sinx＋cosx)
＝6sin(x＋)．
(2)原式＝(cosx－sinx)＝cos(x＋)．
(3)原式＝2(sin＋cos)＝2sin(＋)．
(4)原式＝[sin(－x)＋cos(－x)]
＝cos[－(－x)]
＝cos(x－)．
答案：(1)6sin(x＋) (2)cos(x＋)
(3)2sin(＋) (4)cos(x－)
能力要求
1．若动直线x＝a与函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为( )
A．1 B.
C. D．2
解析：|MN|＝|sina－cosa|＝|sin(x－)|
≤，|MN|的最大值为.
答案：B
2．在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是( )
A．－ B.
C. D．－
解析：由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，
可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，
∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，
则C＝，cosC＝.
答案：B
3．已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：由题设得cosαcos＋sinαsin＋sinα＝，
∴cosα＋sinα＝.∴cosα＋sinα＝，
于是sin(α＋)＝.
而sin(α＋)＝sin(α＋＋π)
＝－sin(α＋)＝－.∴选C.
答案：C
4．已知tanα、tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为( )
A. B．－
C.或－ D．－或
解析：由韦达定理得
tanα＋tanβ＝－3，tanα·tanβ＝4，
∴tanα<0，tanβ<0，
∴tan(α＋β)＝＝＝
又－<α<，－<β<，
且tanα<0，tanβ<0，
∴－<α<0，－<β<0，
∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－.
答案：B
5．(2019年陕西省汉中市三模)已知函数f(x)＝sin2x＋cos2x－m在[0，]上有两个零点x1，x2，则tan的值为( )
A. B.
C. D.
解析：∵f(x)＝sin2x＋cos2x－m
＝2(sin2x＋cos2x)－m
＝2sin(2x＋)－m，
∵x∈[0，]，
∴2x＋∈[，]，
∴－≤sin(2x＋)≤1，
∴－1≤2sin(2x＋)≤2，
∵f(x)＝sin2x＋cos2x－m在[0，]上有两个零点x1，x2，
∴直线y＝m与f(x)＝sin2x＋cos2x在[0，]上有两个交点，如图1：
图1
∴x1＋x2＝，
∴tan＝tan＝，故选D.
答案：D
6．(2019年高考·课标全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin(2x＋)－3cosx的最小值为________．
解析：f(x)＝sin(2x＋)－3cosx
＝－cos2x－3cosx
＝1－2cos2x－3cosx
＝－2(cosx＋)2＋，
因为cosx∈[－1，1]，
所以当cosx＝1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝－4.
答案：－4
7．求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)的值．
解：原式＝sin[(θ＋15°)＋60°]＋cos[(θ＋15°)＋30°]－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)－sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)－cos(θ＋15°)＝0.
8．(2019年浙江省镇海中学模拟)若函数f(x)＝asin(x＋)＋sin(x－)是偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)求函数的单调递增区间．
解：(1)因为函数f(x)＝asin(x＋)＋sin(x－)是偶函数，
∴f(－)＝f()．
即sin(－)＝asin，解得a＝－.
(2)由于a＝－，
∴f(x)＝－[(sinx＋cosx)－(sinx－cosx)]
＝－cosx，
∴函数的单调递增区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.
9．已知α、β都是锐角，且sinα＝，sinβ＝，求α＋β.
下面给出一位同学的解答：
解：∵α、β都是锐角，
∴cosα＝＝＝，
cosβ＝＝＝.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
＝×＋×＝.
∴α＋β＝.
这种解法有没有错误呢？如果有，错在什么地方呢？
解：错误在于α、β都是锐角，0<α＋β<π
∴α＋β＝或α＋β＝π，
故α＋β＝不一定正确．
由于0<α＋β<π，故选用sin(α＋β)不能区分或π，故应选用cos(α＋β)求值．
∵sinα＝，sinβ＝，∴cosα＝，cosβ＝，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝×－×＝.∴α＋β＝.
10．(2019年广东惠州二模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为π，且函数f(x)的图象过点(，－1)．
(1)求ω和φ的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋f(－x)，求函数g(x)的单调递增区间．
解：(1)∵T＝＝π，∴ω＝2.
∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
由函数f(x)的图象过点(，－1)，有sin(π＋φ)＝－1.
∴sinφ＝1.
∵0<φ<π.∴φ＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋)＝cos2x.
∴g(x)＝f(x)＋f(－x)＝cos2x＋cos[2(－x)]
＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)．
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得
－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴函数g(x)的单调递增区间为
[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
拓展要求
1．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A．1 B．2
C. D.
图2
解析：从向量几何运算入手，知向量c的终点落在以AB为直径的圆上(如图2)，直观便知|c|的最大值即为圆的直径；或者把原式变为|c|2＝(a＋b)·c＝|a＋b|·|c|cosα，即|c|＝cosα(α为c与a＋b的夹角)，即得最大值为.
答案：C
2．求值：(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)…(1＋tan45°)＝__________.
解析：1＋tan45°＝2.
又若α＋β＝45°，则
1＝tan45°＝tan(α＋β)＝，
∴tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1，
即(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2.
∴(1＋tan1°)(1＋tan44°)
＝(1＋tan2°)(1＋tan43°)
＝…＝(1＋tan22°)(1＋tan23°)
＝2.
∴原式＝222(1＋tan45°)＝222×2＝223.
答案：223
3．已知8cos(2α＋β)＋5cosβ＝0，求tan(α＋β)·tanα的值．
解：∵2α＋β＝(α＋β)＋α，β＝(α＋β)－α，
∴8cos[(α＋β)＋α]＋5cos[(α＋β)－α]＝0
即8cos(α＋β)cosα－8sin(α＋β)sinα＋5cos(α＋β)cosα＋5sin(α＋β)sinα＝0
即13cos(α＋β)cosα＝3sin(α＋β)sinα
∴tan(α＋β)·tanα＝
