课件41张PPT。同步导练/RJA·必修④ 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练03 三角恒等变换§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式第四课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式（一）目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业28 （点击进入）word板块 课件30张PPT。同步导练/RJA·必修④ 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练03 三角恒等变换§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式第五课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式（二）目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业29 （点击进入）word板块 课时作业28 二倍角的正弦、余弦、正切公式(一)
基础要求
1．若sin＝，则cosα＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：cosα＝1－2sin2＝1－2×＝.
答案：C
2．对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是( )
A．f(x)在上是递增的
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
解析：显然，函数f(x)＝2sinxcosx＝sin2x是奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称．
答案：B
3.＝( )
A. B.
C．2 D.
解析：原式＝＝＝2，选C.
答案：C
4．(2019年高考·课标全国卷Ⅱ)已知α∈(0，)，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝( )
A. B.
C. D.
解析：依题意得4sinαcosα＝2cos2α，
由α∈(0，)，知cosα>0，
所以2sinα＝cosα.
又sin2α＋cos2α＝1，
所以sin2α＋4sin2α＝1，即sin2α＝.
又α∈(0，)，所以sinα＝，选B.
答案：B
5．已知tan(x＋)＝2，则的值为________．
解析：由已知两角和的正切公式得：＝2，
解得tanx＝，从而tan2x＝＝，
所以＝.
答案：
能力要求
1．(2019年福建师大附中期中)已知cos(α＋)＝，则sin(2α－)的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：∵cos(α＋)＝，
则sin(2α－)＝－sin(2α＋)
＝－sin[2(α＋)＋]
＝－cos2(α＋)
＝－[2cos2(α＋)－1]＝－[－1]＝，故选B.
答案：B
2．若＝－，则cosα＋sinα的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：∵＝
＝－(cosα＋sinα)
＝－，
∴cosα＋sinα＝.
答案：C
3．已知函数y＝f(x)sinx的一部分图象如图1所示，则函数f(x)的表达式可以是( )
图1
A．2sinx B．2cosx
C．－2sinx D．－2cosx
解析：由图象知y＝－sin2x，∴f(x)sinx＝－sin2x
＝－2sinxcosx，∴f(x)＝－2cosx.
答案：D
4．sin3x＝3sinx的一个充要条件是( )
A．sinx＝0 B．cosx＝0
C．sinx＝1 D．cosx＝1
解析：∵sin3x＝sin(2x＋x)
＝sin2xcosx＋cos2x·sinx
＝2sinxcos2x＋(1－2sin2x)sinx
＝2sinx(1－sin2x)＋(1－2sin2x)sinx
＝sinx(2－2sin2x＋1－2sin2x)
＝3sinx－4sin3x
由已知sin3x＝3sinx，
∴3sinx－4sin3x＝3sinx，
∴sin3x＝0，
即sinx＝0，故选A.
答案：A
5．关于函数f(x)＝cos2x＋2sinxcosx－sin2x，有如下问题：
①x＝是f(x)的图象的一条对称轴；
②?x∈R，f(＋x)＝－f(－x)；
③将f(x)的图象向右平移个单位，可得到奇函数的图象；
④?x1，x2∈R，|f(x1)－f(x2)|≥4.
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：函数f(x)＝cos2x＋2sinxcosx－sin2x，
化简可得f(x)＝cos2x＋sin2x＝2sin(2x＋)，
对于①：当x＝时，函数f(x)取得最大值2，
∴x＝是f(x)图象的一条对称轴．故①对．
对于②：f(x＋)＝2sin(2x＋＋)＝－2sin2x，
－f(－x)＝－2sin(－2x＋＋)＝－2sin2x，
∴?x∈R，f(＋x)＝－f(－x)，故②对．
对于③：将f(x)的图象向右平移个单位，
可得2sin[2(x－)＋]＝2sin(2x－)不是奇函数，
故③不对．
对于④：?x1，x2∈R，|f(x1)－f(x2)|≥4.
f(x)＝2sin(2x＋)，当x1＝，x2＝－时，
|f(x1)－f(x2)|＝4，
∴存在x1，x2∈R使得|f(x1)－f(x2)|≥4，故④对．
∴真命题的个数是3.故选C.
答案：C
6．已知向量a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，b＝(1，sinx＋cosx)，函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最大值及相应的x值；
(2)若f(θ)＝，求cos2(－2θ)的值．
解：(1)因为a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，
b＝(1，sinx＋cosx)，
所以f(x)＝1＋sin2x＋sin2x－cos2x
＝1＋sin2x－cos2x
＝sin(2x－)＋1.
因此，当2x－＝2kπ＋，
即x＝kπ＋(k∈Z)时， f(x)取得最大值＋1.
(2)由f(θ)＝1＋sin2θ－cos2θ及f(θ)＝得
sin2θ－cos2θ＝，两边平方得1－sin4θ＝，
即sin4θ＝.
因此，cos2(－2θ)＝cos(－4θ)＝sin4θ＝.
7．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈(，π)，且f(α)＝，求α的值．
解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x
＝cos2xsin2x＋cos4x＝sin4x＋cos4x
＝sin(4x＋)，
所以f(x)的最小正周期为，最大值为.
(2)解法1：因为f(α)＝，所以sin(4α＋)＝1.
因为α∈(，π) ，
所以4α＋∈(，)．
所以4α＋＝，故α＝.
解法2：因为f(α)＝，所以sin(4α＋)＝1.
所以4α＋＝＋2kπ，k∈Z，
即α＝＋，k∈Z.
因为α∈(，π)，故α＝.
8．(2019年山西省长治一中期中)△ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA＋2cos取得最大值，并求出这个最大值．
解：由A＋B＋C＝π，得＝－，
所以有cos＝sin.
cosA＋2cos＝cosA＋2sin
＝1－2sin2＋2sin
＝－2(sin－)2＋
当sin＝，即A＝时，
cosA＋2cos取得最大值为，
故当A＝时，cosA＋2cos取得最大值，且最大值为.
拓展要求
若α，β为锐角，且3sin2α＋2sin2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0，求证：α＋2β＝.
证明：由已知条件：3sin2α＝1－2sin2β＝cos2β
又3sin2α＝2sin2β
即sin2β＝sin2α＝·2sinαcosα＝3sinαcosα
∵cos(α＋2β)
＝cosαcos2β－sinαsin2β
＝3cosαsin2α－sinα(3sinαcosα)
＝0
而0<α<，0<β<，
∴0<α＋2β<π，∴α＋2β＝.
课时作业29 二倍角的正弦、余弦、正切公式(二)
基础要求
1．函数y＝2cos2x的一个单调增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：y＝2cos2x＝1＋cos2x，令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z有－＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，当k＝1时，有≤x≤π.
答案：D
2．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间上的最大值是( )
A．1 B.
C. D．1＋
解析：由f(x)＝＋sin2x
＝＋sin(2x－)，
∴≤x≤?≤2x－≤，
∴f(x)max＝＋1＝.
答案：C
3．设2π<θ<4π，且cos＝a，则cos等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：2π<θ<4π，<<π，
cos＝－＝－.
答案：C
4．已知sin(－x)＝，0解析：原式＝
＝
＝2sin(＋x)．
∵sin(－x)＝cos(＋x)＝，
且0∴＋x∈(，)，
∴sin(＋x)＝ ＝.
∴原式＝2×＝.
答案：
5．已知sinθ＋cosθ＝，且≤θ≤，则cos2θ的值是________．
解析：由sinθ＋cosθ＝有sin2θ＝－，
∵≤θ≤，
∴π≤2θ≤，
∴cos2θ＝－＝－.
答案：－
能力要求
1．(2018年高考·课标全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为( )
A. B.
C．π D．2π
解析：f(x)＝＝＝
＝sinxcosx＝sin2x，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.故选C.
答案：C
2．若f(x)＝2tanx－，则f()的值是( )
A．－ B．8
C．4 D．－4
解析：f(x)＝2tanx＋
＝2tanx＋2cotx＝2(＋)
＝2
＝＝，
∴f()＝＝8.
答案：B
3．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝( )
A．3－cos2x B．3－sin2x
C．3＋cos2x D．3＋sin2x
解析：解法1：令sinx＝t，
则f(t)＝3－cos2x＝3－(1－2sin2x)
＝2＋2sin2x＝2＋2t2
∴f(cosx)＝2＋2cos2x
＝2＋2·＝3＋cos2x
解法2：∵cosx＝sin(－x)
∴f(cosx)＝f[sin(－x)]
＝3－cos2(－x)
＝3－cos(π－2x)＝3＋cos2x.
答案：C
4．(2019年山西省临汾市二模)已知函数f(x)＝2sinxcosx－sin2x＋1，当x＝θ时，函数y＝f(x)取得最小值，则＝( )
A．－3 B．3
C．－ D.
解析：函数f(x)＝2sinxcosx－sin2x＋1
＝sin2x＋cos2x＋
＝sin(2x＋φ)＋，
其中tanφ＝，可得cotφ＝2.
当x＝θ时，函数y＝f(x)取得最小值，
即2θ＋φ＝－＋2kπ，
则2θ＝－－φ＋2kπ.
则＝
＝＝＝3.
答案：B
5．如图1，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．
图1
解析：S侧＝2πr·2＝4π≤4π＝2πR2，当且仅当r2＝R2－r2?r2＝?r＝R时取等号，则4πR2－2πR2＝2πR2，因为R＝4，则球的表面积与圆柱的侧面积之差是为32π.
答案：32π
6．下面有五个命题：
①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π.
②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝，k∈Z}．
③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象有三个公共点．
④把函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移得到y＝3sin2x的图象．
⑤函数y＝sin(x－)在[0，π]上是减函数．
其中真命题的序号是__________(写出所有正确的命题序号)．
7．已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________.
解析：因为2cos2x＋sin2x＝2cos2x－1＋1＋sin2x
＝sin2x＋cos2x＋1
＝sin＋1.故A＝，b＝1.
答案： 1
8．已知：sin(＋α)sin(－α)＝，α∈(，π)，求sin4α.
解：解法1：∵sin(＋α)sin(－α)＝
∴sin(＋α)cos[－(－α)]＝
sin(＋α)cos(＋α)＝
sin(＋2α)＝
即cos2α＝
又α∈(，π)，∴2α∈(π，2π)
sin2α＝－＝－
∴sin4α＝2sin2αcos2α＝－.
解法2：∵sin(＋α)sin(－α)＝
∴(sinα＋cosα)(cosα－sinα)＝
即(cos2α－sin2α)＝
即cos2α＝
又α∈(，π)，∴2α∈(π，2π)
∴sin2α＝－＝－
∴sin4α＝2sin2αcos2α
＝2××(－)
＝－
9．(2019年黑龙江省大庆中学高三检测)已知函数f(x)＝cosx·sin(x＋)－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间[－，]上的最大值和最小值．
解：(1)由已知有
f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－cos2x＋
＝sinxcosx－cos2x＋
＝sin2x－(1＋cos2x)＋
＝sin2x－cos2x
＝sin(2x－)．
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)∵x∈[－，]，∴2x－∈[－，]．
当2x－＝－，即sin(2x－)＝－1时，
f(x)取最小值为－.
当2x－＝，即sin(2x－)＝时，
f(x)取最大值为.
∴函数f(x)在闭区间[－，]上的最大值为，
最小值为－.
10．已知函数f(x)＝asin2x＋bcos2x(a＞b)的值域为[1，3]
(1)求a、b的值与f(x)的最小正周期；
(2)用五点法画出上述函数在区间[－π，π]上的大致图象．
解：(1)f(x)＝asin2x＋bcos2x(a＞b)，
由降幂公式，可得：
f(x)＝a·＋b·，
＝(b－a)cos2x＋(a＋b)，
函数f(x)的值域为[1，3]，(a＞b)
(b－a)＋(a＋b)＝1，
－(b－a)＋(a＋b)＝3，解得a＝3，b＝1，
∴f(x)＝－cos2x＋2，T＝＝＝π，
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)函数在区间[－π，π]上的大致图象如图2.
图2
拓展要求
1．在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图3)，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于________．
图3
解析：由题意有5cosθ－5sinθ＝1，即cosθ－sinθ＝，
∴sin2θ＝，∵0<θ<，∴0<2θ<，
∴cos2θ＝＝.
答案：
2．已知△ABC的面积为3，且满足0≤·≤6，设和的夹角为θ.
(1)求θ的取值范围；
(2)求函数f(θ)＝2sin2－cos2θ的最大值与最小值．
解：(1)设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，
则由bcsinθ＝3，0≤bccosθ≤6，可得0≤cotθ≤1，
∴θ∈.
(2)f(θ)＝2sin2－cos2θ
＝－cos2θ
＝(1＋sin2θ)－cos2θ＝sin2θ－cos2θ＋1
＝2sin＋1.
∵θ∈，2θ－∈，
∴2≤2sin＋1≤3.
即当θ＝时，f(θ)max＝3；
当θ＝时，f(θ)min＝2.
