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导练03 三角恒等变换§3.2 简单的三角恒等变换目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业30 （点击进入）word板块 课时作业30 简单的三角恒等变换
基础要求
1．已知tanθ－＝m，则tan2θ＝( )
A．－ B．－
C．2m D.
解析：tanθ－＝m＝
又tan2θ＝＝－，∴tanθ＝－.
答案：B
2．(2019年保定市高一联考)已知是第四象限角，
cos＝ ，则sinθ的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：是第四象限角，由cos＝，
则sin＝ .
∴sinθ＝2sincos＝.
答案：C
3．α为锐角，sinα∶sin＝8∶5，cosα＝( )
A. B.
C. D.
解析：∵sinα＝2sincos，
则2sincos∶sin＝8∶5，
则cos＝，则cosα＝2cos2－1＝－1＝.
答案：C
4．(2019年河南省郑州市期中)设α是第三象限角，cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－，则tan＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：α是第三象限角，
cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝cos[(α＋β)－β]
＝cosα＝－，
∴sinα＝－＝－，
则tan＝＝＝－2，
答案：B
5．已知：tan＝a，则sinα＝________，cosα＝________．
答案：
能力要求
1．函数f(x)＝sin2(x＋)－sin2(x－)是( )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
解析：f(x)＝cos2(－x)－sin2(－x)
＝cos(－2x)＝sin2x，
则f(x)是周期为π的奇函数．
答案：A
2．函数y＝sin4x＋cos2x的最小正周期为( )
A. B.
C．π D．2π
解析：y＝sin4x＋cos2x＝()2＋
＝＋
＝＋
＝＋·＝cos4x＋
∴T＝＝.
答案：B
3.·＝( )
A．tanα B．tan2α
C．1 D.
解析：原式＝·＝tan2α.
答案：B
4．(2019年四川省成都市二诊)已知函数f(x)＝sin(ωx＋2φ)－2sinφcos(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈R)在(π，)上单调递减，则ω的取值范围是( )
A．(0，2] B．(0，]
C．[，1] D．[，]
解析：函数f(x)＝sin(ωx＋2φ)－2sinφcos(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈R)．
化简可得f(x)＝sin(ωx＋φ)cosφ＋cos(ωx＋φ)sinφ－2sinφcos(ωx＋φ)
＝sin(ωx＋φ)cosφ－cos(ωx＋φ)sinφ
＝sin(ωx＋φ－φ)＝sinωx，
令＋2kπ≤ωx≤π＋2kπ(k∈Z)，
得＋≤x≤＋(k∈Z)
∴函数f(x)的单调减区间为
[＋，＋](k∈Z)．
∵f(x)在(π，)上单调递减，可得
∵ω＞0，∴
解得≤ω≤1.故选C.
答案：C
5．(2019年湖北省襄阳五中模拟)已知α，β均为锐角，且sin2α＝2sin2β，则( )
A．tan(α＋β)＝3tan(α－β)
B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)
C．3tan(α＋β)＝tan(α－β)
D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)
解析：∵sin2α＝2sin2β，
∴sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，
∴sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)
＝2sin(α＋β)cos(α－β)－2cos(α＋β)sin(α－β)，
∴3cos(α＋β)sin(α－β)＝sin(α＋β)cos(α－β)，
∴tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A.
答案：A
6．(2018年高考·课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．
解析：因为f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)
＝4sincos·2cos2
＝8sin·cos3＝ ，
所以[f(x)]2＝×3sin2cos6
≤·()4
＝.
当且仅当3sin2＝cos2，即sin2＝时取等号，
所以0≤[f(x)]2≤，所以－≤f(x)≤，
所以f(x)的最小值为－.
答案：－
7．已知A，B，C是△ABC的三个内角，sinA，cosA是方程4x2－2x＋1＝0的两个实根，则sin2A＝________，cos4A＝________．
解析：因为sinA，cosA是方程4x2－2x＋1＝0的两个实根，所以sinA＋cosA＝，sinAcosA＝，所以sin2A＝，cos4A＝1－2sin22A＝.
答案：
8．已知cos(＋x)＝，解：∵2cos2(＋x)－1＝－sin2x＝－，
∴sin2x＝.
∵cos(x＋)＝，∴sin(x＋)＝－.
∴cosx－sinx＝，sinx＋cosx＝－.
∴＝
＝
＝＝－.
9．已知函数f(x)＝sincos－sin2.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．
解：(1)f(x)＝sincos－sin2
＝sinx－
＝(sinx＋cosx)－
＝sin－
故T＝＝2π.
(2)因为x∈[－π，0]，所以 x＋∈
当x＋＝－即x＝－时，f(x)在[－π，0]取得最小值－1－.
拓展要求
1．化简：sin50°(1＋tan10°)．
解：原式＝sin50°
＝2sin50°＝＝1.
2．已知0<α<，β为f(x)＝cos的最小正周期，a＝，b＝(cosα，2)，且a·b＝m，求的值．
解：因为β为f(x)＝cos的最小正周期，
故β＝π.
因a·b＝m，又a·b＝cosα·tan－2.
故cosα·tan＝m＋2.
由于0<α<，
所以
＝
＝＝
＝2cosα＝2cosα·tan＝2(2＋m)
3．已知sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθ·cosθ＝sin2β，求证：4cos22α＝cos22β.
证明：sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ＝4sin2α
又∵sinθcosθ＝sin2β，∴1＋2sin2β＝4sin2α.
∴2－2cos2α＝2－cos2β，∴4cos22α＝cos22β.
