上海市2019-2020学年度高二数学第二学期抛物线标准方程典例分析学案

上海市2019-2020高二数学第二学期精品讲义
抛物线标准方程典例分析

【知识梳理】　
1、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
2、抛物线的标准方程及图像：
图形
方程
焦点
准线
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂
注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离

【典型例题分析】
例1、抛物线上的点到顶点和焦点F的距离之和的最小值为5，求此抛物线的方程。
【解】若在抛物线内，设为准线，作于点，交抛物线于点M，
则
所以
若在抛物线外，连接交抛物线于点M，则
又在抛物线外，
所以不合题意
综上，，所求抛物线方程为：
例2、定长为4的线段的端点在抛物线上移动且所在直线过焦点，求中点到轴距离的最小值，并求此时中点的坐标。
【解】设直线的方程为，代入中，整理得

因此，点到轴的距离的最小值是
例3、某抛物线形拱桥跨度是20，拱高4，在建桥时，每隔4需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长。
【解】以拱点为原点，水平线为轴，建立坐标系，有题意得坐标分别是
设抛物线方程为，将点的坐标代入，得
于是抛物线方程为
是的五等分点，，可得
因此最长的支柱应为3.84
例4、已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标的三个交点为顶点的三角形面积为_________
【分析】把抛物线方程改写为得顶点，又因为原点为焦点
抛物线与轴交于
所以所求面积为
例5、已知抛物线的对称轴为轴，顶点在原点，焦点在直线，则此抛物线的方程是 （ ）
A B C D
【分析】由题意知抛物线方程是标准形式，且焦点在轴上，在直线中，令 所以焦点坐标，所以抛物线方程为，选C
例6、直线过点，并且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程。
【解】只有一个公共点有两种情况：
（1）当直线的斜率不存在时，，此时直线与抛物线相交，仅且只有一个公共点，成立；
（2）当只想斜率存在，则设联立得：
仅有一个交点，则：

所以，直线
综上，满足题意的直线为或
例7、一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3，假设车与箱共高4.5，此车能否通过隧道？并说明理由。
【解】先建立直角坐标系，如图则
设抛物线方程为，将点坐标代入，得

因为车与箱共高4.5
所以集装箱上表面距抛物线型隧道拱顶0.5
设抛物线上点
代入求的
故此车不能通过隧道。
变式练习：学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验，设计方案如图所示，航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程是，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴，为顶点的抛物线的实线部分，降落点为，观测点为同时跟踪航天器。
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
【解】（1）设曲线方程为
由题意知，
所以曲线方程为
（2）设变轨点为，根据题意可知，

整理得，（舍去）
所以
（不合题意，舍去）

故当观测点测得离航天器的距离分别为,4时，
应向航天器发出变轨指令

【课堂小练】
1.以双曲线的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程为_________________
2.若抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点，则C的准线方程是___________________
3.若直线与抛物线交于两点，则线段的中点坐标是_________
4.过点且与抛物线只有一个交点的直线方程是___________________
5.对抛物线，下列说法正确的是 （ ）
A 若，焦点为；若，焦点为
B若，焦点为；若，焦点为
C 不论还是，焦点都是
D不论还是，焦点都是
6.抛物线的准线方程是 （ ）
A B C D
7.抛物线关于直线对称的曲线的方程是 （ ）
A B C D
8.抛物线的焦点到准线的距离为 （ ）
A 5 B C D
9.过点且与抛物线只有一个公共点的直线有 （ ）
A 一条 B 两条 C 三条 D 由的值决定
10.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线叫抛物线于，求的长。


11.抛物线的顶点在原点，对称轴与坐标轴重合，过两点，求抛物线方程。







12.已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线倍直线所截得的弦长为，求此抛物线的方程。





13.已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于点A、B，求证：






答案：1. 2. 3. 4.
5.C 6.B 7. C 8.B 9.C 10. 11.
12. 13.略
【课后练习】
1.曲线的焦点坐标为_______
2.到点及到直线的距离相等的动点的轨迹方程为__________________
3.经过点的抛物线的标准方程为_________________
4.若点到抛物线的焦点的距离为5，则___________
5.到平面上的定点A和到直线距离相等的点的轨迹为 （ ）
A 直线 B 抛物线 C 双曲线 D 椭圆
6.抛物线的准线方程为 （ ）
A B C D
7.抛物线的焦点坐标为 （ ）
A B C D
8.动圆M经过点，且与直线相切，则动圆圆心M的轨迹方程是 （ ）
A B C D
9.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为 （ ）
A B 2 C D 4
10.求满足下列条件的抛物线的标准方程：
（1）过点；
（2）焦点在直线





11.已知动圆M与圆外切，且与轴相切，求动圆圆心M的轨迹方程。



12.抛物线有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边所在的直线的方程是，斜边长是，求此抛物线方程。






13.在抛物线上求一点P，使点P到焦点F与到点的距离之和最小。

答案：1. 2. 3. 4.
5.A 6.C 7.D 8.A 9.D
10.(1)
（2）
11. 12. 13.