上海市2019-2020学年度高二数学第二学期双曲线的典例分析与变式训练学案

上海市2019-2020高二数学第二学期精品讲义
双曲线典例分析与变式训练

【知识梳理】　
1、双曲线的定义：
平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：
①||PF1|-|PF2||=2a（2a<|F1F2|）是双曲线；
若2a=|F1F2|，轨迹是以F1、F2为端点的射线；2a>|F1F2|时无轨迹。
②设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上，则|MF1|>|MF2|，|MF1|-|MF2|=2a；若M在双曲线的左支上，则|MF1|<|MF2|，|MF1|-|MF2|=-2a，故|MF1|-|MF2|=±2a，这是与椭圆不同的地方。

2、双曲线的方程及几何性质
标准方程
图形
焦点 F1（-c，0），F2（c，0） F1（0，-c），F2（0，c）
顶点 A1（a，0），A2（-a，0） A1（0，a），A2（0，-a）
对称轴 实轴2a，虚轴2b，实轴在x轴上，c2=a2+b2 实轴2a，虚轴2b，实轴在y轴上，c2=a2+b2
渐近线方程




3、椭圆与双曲线的定义、标准方程有什么区别和联系？
名 称 椭 圆 双 曲 线
图 象
定 义 平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆。即 当2﹥2时，轨迹是椭圆， 当2=2时，轨迹是一条线段 当2﹤2时，轨迹不存在 平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线。即当2﹤2时，轨迹是双曲线当2=2时，轨迹是两条射线当2﹥2时，轨迹不存在
标准方 程 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上 焦点在轴上时： 焦点在轴上时：注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置
常数的关 系 （符合勾股定理的结构）， 最大， （符合勾股定理的结构）最大，可以
【课前小练】
1．判断方程所表示的曲线。
解：①当时，即当时，是椭圆；
②当时，即当时，是双曲线；
2．求焦点的坐标是（-6，0）、（6，0），并且经过点A（-5，2）的双曲线的标准方程。
答案：
3．求经过点和，焦点在y轴上的双曲线的标准方程
答案：
4．椭圆和双曲线有相同的焦点，则实数的值是 （ ）
A B C 5 D 9
答案：B
5．已知是双曲线的焦点，PQ是过焦点的弦，且PQ的倾斜角为600，那么的值为（答案： 4＝16）
6．设是双曲线的焦点，点P在双曲线上,且,则点P到轴的距离为( )
A 1 B C 2 D
答案：B 的面积为，从而有
7．P为双曲线上一点，若F是一个焦点，以PF为直径的圆与圆的位置关系是（）
A 内切 B 外切 C 外切或内切 D 无公共点或相交
答案：C

【典型例题分析】
例1、 已知双曲线的焦点在轴上，中心在原点，且点，，在此双曲线上，求双曲线的标准方程
分析：由于已知焦点在轴上，中心在原点，所以双曲线的标准方程可用设出来，进行求解 本题是用待定系数法来解的，得到的关于待定系数的一个分式方程组，并且分母的次数是2，解这种方程组时利用换元法可将它化为二元二次方程组；也可将的倒数作为未知数，直接看作二元一次方程组
解：因为双曲线的焦点在轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为
（）
则有 ，即
解关于的二元一次方程组，得
所以，所求双曲线的标准方程为

变式练习1： 点A位于双曲线上，是它的两个焦点，求的重心G的轨迹方程
分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行求解 注意限制条件
解：设的重心G的坐标为，则点A的坐标为
因为点A位于双曲线上，从而有
，即
所以，的重心G的轨迹方程为
点评：求轨迹方程，常用的方法是直接求法和间接求法两种 例1是直接利用待定系数法求轨迹方程 本题则是用间接法(也叫代入法)来解题，补充本例是为了进一步提高学生分析问题和解决问题的能力 另外本题所求轨迹中包含一个隐含条件，它表现为轨迹上点的坐标应满足一个不等关系，而这一点正是学生容易忽略，造成错误的地方，所以讲解本题有利于培养学生数学思维的缜密性，养成严谨细致的学习品质
变式练习2： 已知的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使，求点A的轨迹
分析：首先建立坐标系，由于点A的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件
解：以底边BC 为轴，底边BC的中点为原点建立坐标系，这时
，由得
,即
所以，点A的轨迹是以为焦点，2=6的双曲线的左支 其方程为：
点评：求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出(或联想到)轨迹上的动点所满足的几何条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比较普遍，题型多样，有些轨迹上的动点满足的几何条件可能比较隐蔽和复杂解决它需要突出形数结合的思考方法，运用逻辑推理，结合平面几何的基本知识，分析、归纳，这里安排本例就是针对以上情况来进行训练的
变式练习3：求与圆及都外切的动圆圆心的轨迹方程
解：设动圆的半径为r，则由动圆与定圆都外切得
，
又因为，
由双曲线的定义可知，点M的轨迹是双曲线的一支
所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为：

例2、一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s．
(1)爆炸点应在什么样的曲线上？
(2)已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340 m／s，求曲线的方程．
分析：解应用题的关键是建立数学模型 根据本题设和结论，注意到在A处听到爆炸声的时间比B处晚2s,这里声速取同一个值
解：(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上
因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上．
(2)如图，建立直角坐标系，使A、B两点在轴上，并且点O与线段AB的中点重合

设爆炸点P的坐标为，则 |PA|－|PB|=340×2=680，即 2＝680，＝340．
又|AB|=800， ∴　 2c=800，c=400，＝44400
∵　 |PA|－|PB|＝680＞0，
∴　 ＞0
所求双曲线的方程为
（＞0）
例2说明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置．如果再增设一个观测点C，利用B、C(或A、C)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的一个重要应用
想一想，如果A、B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上．（爆炸点应在线段AB的中垂线上）
点评：本例是培养学生应用双曲线知识解决实际问题的一道典型题目，安排在此非常有利于强化学生“应用数学”的意识，后面对“想一想”的教学处理，有利于调动学生的学习主动性和积极性，培养他们的发散思维能力
例3、已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线C′：－=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.
解：类似的性质为若MN是双曲线－=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
设点M的坐标为（m，n），
则点N的坐标为（－m，－n），
其中－=1.
又设点P的坐标为（x，y），
由kPM=，kPN=，
得kPM·kPN=·=，
将y2=x2－b2，n2=m2－b2，代入得
kPM·kPN=.
评注：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求.
例4、双曲线kx2－y2＝1，右焦点为F，斜率大于0的渐近线为l，l与右准线交于A，FA与左准线交于B，与双曲线左支交于C，若B为AC的中点，求双曲线方程.
解：由题意k＞0，c=，
渐近线方程l为y=x，
准线方程为x=±，于是A（，），
直线FA的方程为 y=，
于是B（－，）.
由B是AC中点，则xC=2xB－xA＝－，
yC=2yB－yA＝.
将xC、yC代入方程kx2－y2＝1，得
k2c4－10kc2＋25＝0.
解得k（1+）＝5，则k＝4.
所以双曲线方程为4x2－y2＝1．
例5、已知l1、l2是过点P（－，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2－x2＝1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2.
（1）求l1的斜率k1的取值范围；
（2）若｜A1B1｜＝｜A2B2｜，求l1、l2的方程.
解：（1）显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交.设l1的斜率为k1，则l1的方程为y＝k1（x＋）.
y＝k1（x＋），
y2－x2＝1，消去y得
（k12－1）x2＋2k12x＋2k12－1＝0. ①
根据题意得k12－1≠0， ②
Δ1＞0，即有12k12－4＞0. ③
完全类似地有－1≠0， ④
Δ2＞0，即有12·－4＞0， ⑤
从而k1∈（－，－）∪（，）且k1≠±1.
（2）由弦长公式得
｜A1B1｜＝. ⑥
完全类似地有
｜A2B2｜＝. ⑦
∵｜A1B1｜＝｜A2B2｜，
∴k1＝±，k2＝.从而
l1：y＝（x＋），l2：y＝－（x＋）或l1：y＝－（x＋），l2：y＝（x＋）．
变式练习：在双曲线－＝1上求一点M，使它到左右两焦点的距离之比为3∶2，并求M点到两准线的距离．
解：设M（x1，y1），左右两焦点F1、F2，由双曲线第二定义得
｜MF1｜＝ex1＋a，｜MF2｜＝ex1－a，
由已知2（ex1＋a）＝3（ex1－a），
把e=，a=4代入，得x1＝16，y1＝±3.
∴点M的坐标为（16，±3）.
双曲线准线方程为x=±=±.
∴M（16，±3）到准线的距离为12或19．
【课堂小练】
1、已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为—————————（）

2、焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为，
求此双曲线的方程.
参考解答：或



3、双曲线的中心在原点，实轴在轴上，且与圆交于点，如果圆在点的
切线恰平行于双曲线的左顶点与虚轴上端点的连线. 求双曲线的方程.
参考解答：



4、已知双曲线方程为， 是两个焦点，是双曲线上一点，
⑴求焦点坐标及两渐近线夹角；
⑵若，求的大小；
⑶若，求的面积；
参考解答：⑴，，⑵，⑶










5、双曲线与直线相交于两点，
⑴当为何值时，点都在双曲线的左支上；
⑵当为何值时，以为直径的圆经过坐标原点？
⑶是否存在实数，使两点关于直线对称，若存在，求出值，若不存在，说明理由；
参考解答：⑴，⑵，⑶不存在满足条件的值









【课堂总结】
本节重点是求双曲线方程及由双曲线方程求基本量，难点是双曲线的灵活运用.解决本节问题应注意以下几点：

1.由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：
（1）当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；
（2）已知渐近线的方程bx±ay=0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b2x2－a2y2=λ（λ≠0），根据其他条件确定λ的值.若求得λ＞0，则焦点在x轴上，若求得λ＜0，则焦点在y轴上.
2.由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错.
3.解题中，应重视双曲线定义的灵活应用，以减少运算量.



【课后练习】
1、若双曲线的实轴为，为过焦点的弦，且，如果另一个焦点为，则的周长为.
2、方程所表示曲线的焦点坐标为.
3、若是双曲线上点，和是该双曲线的两个焦点，且，则的面积是.
4、已知双曲线左支上一点到左焦点的距离为，是的中点，为坐标原点，则.
5、双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为.
6、已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，
求动圆圆心的轨迹方程.
参考解答：










7、已知是过点的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两个交点，
分别为和，
⑴求的斜率的取值范围； ⑵若=，求的方程；
参考解答：
⑴，
⑵，或，



走近高考：
1、“双曲线的方程为”是“双曲线的渐近线方程为”的—（）
充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 非充分非必要条件
2、若双曲线的两个焦点分别为，点为双曲线上一点，，
则的面积等于———————————————————————————————————（）

3、双曲线右支上一点到直线的距离为，则的值是———————（）
或 或
4、给出问题：是双曲线的焦点，点在双曲线上，若点到焦点的距离为，
求点到点的距离。某生回答如下：双曲线实轴长，由，即，
或. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内；若不正确，将
正确的结果填在下面的空格内：不正确，结论应为；
5、设分别为椭圆的左右两个焦点，
⑴若椭圆上的点到两点的距离之和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标；
⑵设点是⑴中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；
⑶已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，
当直线的斜率都存在，并记为，那么是与点位置无关
的定值，试对双曲线写出具有类似特征的性质，并加以证明；
参考解答：⑴，，⑵，⑶是定值













联立得