课件17张PPT。 第10讲 三角形有关概念和内角和上次课后答案参考答案： 1、D； 2、 ； 3、 ； 4、0； 5、略； 6、（1） ； （2）9； 7、C； 8、 ； 9、120； 10、60°或120°； 11、120° ；现有两根小棒，一根长3厘米，一根长6厘米，再配一根多长的小棒，就能围成一个三角形？两边之和＞第三边？任意知识梳理三角形的主要性质：
（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；
（2）三角形的内角之和等于180°；
（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
（4）三角形的外角和等于360°。三角形的分类：
按角分类：锐角三角形（三个内角都是锐角的三角形）
直角三角形（有一个内角是直角的三角形）
钝角三角形（有一个内角是钝角的三角形）
按边分类：不等边三角形（三边互不相等的三角形）
等腰三角形（有两边相等的三角形）【例题精讲】例1：1．下面各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．5，6，11 B．8，8，16
C．4，5，10 D．6，9，14例2：两根木棒长分别为5cm和7cm，要选择第三根，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒长为偶数，
则组成方法有（ ）
A．3种 B．4种
C．5种 D．6种审题仔细，会大大提升正确率DB【例题精讲】例3：已知：三角形的一边是另一边的两倍，周长为12。
求它的最小边的长取值范围试一试1. 以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的（ ）
A、7㎝，8㎝，15㎝ B、15㎝，20㎝，5㎝
C、6㎝，7㎝，5㎝ D、7㎝，6㎝，14㎝C2. 在△ABC中，AB＝6，AC＝10，那么BC边的取值范围 是___________ ，周长的取值范围是___________ ．3．已知 的三边长a，b，c，化简 的结果是（ ）
Ａ．2a Ｂ．-2b
Ｃ．2a+2b Ｄ．2b-2c D例4：如图，∠1、∠2是△ABC的外角，已知∠1＋∠2=260°， 求∠A的度数．【例题精讲】答案：牢记三角形内角和哦！【例题精讲】例5：已知： 中， ，D点在BC的延长线上， ， ，求a、b 间的关系。试一试1. 如图，将一块含有30°角的三角板△ABC绕着点A顺时针旋转90°后得到△AB’C’，则∠CC’B’的度数为 _____度 ．105°2. 如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F的大小答案：360°3. 如图，求出任意一个五角星的顶角∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数？答案：180°【例题精讲】例6．如果三角形的一个外角是与它相邻的内角的2倍， 那么这个三角形是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 以上都有可能例7. 下列语句正确的是（ ）
A 锐角三角形的最大内角不大于90° B锐角三角形的最大内角大于90°
C锐角三角形的最大内角小于90° D锐角三角形的最小内角不小于90° 例8：锐角三角形ABC中，∠C＝2∠B，则∠B的范围是（ ）
A. 10°<∠B < 20° B. 20°<∠B < 30°
C. 30°<∠B < 45° D. 45°<∠B < 60° DCC试一试1．△ABC中，如果∠B=∠A＋∠C，那么这个三角形是______________三角形；2．在△ABC中，已知∠B=35 ° ，∠C=55 ° ，则此三角形是______________三角形。直角直角1．下列长度的三根木棒，不能构成三角形框架的是（ ）
（A）5cm、7cm、10cm； （B）5cm、7cm、13cm；
（C）7cm、10cm、13cm；（D）5cm、10cm、13cm．2．不等边三角形的最长边为9，最短边为4，则第三边长为整数的值有_____个．3．已知三角形两边长分别为4和9，则此三角形的周长L的取值范围是（ ）
A．5
C．18 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个10．如果等腰三角形两边长分别为5，7，那么三角形的周长是________________； 11．等腰三角形的腰长为6，则底边a的取值范围是________________ ；12．如图，△ABE和△DBC是△ABC分别沿着AB、BC边折翻形成的，若∠ABC:∠BAC:∠ACB＝28:5:3，则∠EFC的度数是______________。D 17或者190 4、3,3或4,2； 5、7或12； 6、105；
7、略； 8、24°； 9、180°审题仔细，会大大提升正确率只给一个条件（一条边或者一个角）画三角形时，大家画出的三角形唯一吗？如果给定两个条件画三角形，有几种可能情况，画出来的三角形可以确定是唯一的吗?那么给出三个条件，有哪几种可能情况呢？他们是否都能确定三角形呢？动手画一画吧！知识梳理1. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。2. 全等三角形判定定理1：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（简写成“边角边”或“SAS”）牢记三角形全等的性质和判定定理哦！例1：若ΔABC≌ΔDEF，且AB = 3，BC = 4，AC = 5，则ΔDEF的周长是_________ 例2： 如图，ΔABC≌ΔADE，∠B = ∠D，则AC与_______是对应边，∠CAB = ______例3：如图，ΔABF≌ΔCDE，∠B = 30°，∠BAF = 88°，求∠DEC的度数。9AE∠EAD【例题精讲】试一试1：如图，ΔABC≌ΔDAE，那么AB = ______，∠B = _______AD∠D2．如图，ΔABC≌ΔDCB，∠A = ∠D，试写出其余的对应角和对应边
对应边：_________________________________
对应角：_________________________________ AB=DC，DB=AC，CB=BC∠A=∠D，∠DCB=∠ABC，∠DBC=∠ACB3. 如图，已知ΔABC≌ΔADE，∠CAD = 10°，∠DFB = 90°，∠B = 25°，求∠E与∠DGB的度数。∠E=100°；∠DGB=65°【例题精讲】例4：如图，在ΔABC中，∠A = ∠B，点D、E、F分别在AC、BC、AB上，AD = BF，BE = AF，说明 ∠DFE = ∠A的理由。答案：
∴
∴
又∵
∴ 【例题精讲】例5： 已知：如图1，B、C、E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，连结AE、DB，求证：AE=DB【例题精讲】例6：如图， 于D ， 于B ，CD=BE，
求证： 【例题精讲】例7：点A,D,F,B 在同一直线上，AD=BE ，且 ，AE=BC
求证：⑴ ≌ ⑵ 答案：
（1）
（2） 【例题精讲】例8：如图，已知四边形ABCD与BEFG都是正方形。 求证：AH⊥EH。答案：
在△ABG和△CBE中
∴△ABG≌△CBE
∴∠AGB=∠CEB
∵GF∥BE
∴∠CEB=∠HCG
∴∠HCG=∠AGB
∵∠H＋∠HCG=∠AGB＋∠FGB
∴∠H=∠FGB=90°
∴AH⊥EH试一试1．如图，已知AD=CB，AD∥CB，试说明∠B=∠D的理由。答案：
证明△ADC≌△CBA
在△ABC和△CDA中
CB=AD，∠1=∠2，CA=AC
∴△CBA≌△ADC
∴∠B=∠D2．如图，已知AE=DB，BC=EF，BC∥EF，试说明AC∥DF的理由。答案：证明△ABC≌△DEF试一试3．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D、E、F分别为边BC、AB、AC上的点，且BE＝CD，CF＝BD。
（1）试说明：△BDE与△CFD全等的理由；
（2）若∠A＝40°，试求∠EDF的度数。答案：（1）证明△EBD≌△DCF
（2）通过全等可以得到∠BED=∠CDF，
通过外角证明得到∠EDF=∠B=∠C=70°4.如图△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，点C在AD上，AE的延长线交BD于点F，求证：AF⊥BD答案：
在△ACE和△BCD中，
∴∠CAE=∠CBD
根据三角形的内角和有
∠CAE+∠ACE+∠AEC=∠CBD+∠BEF+∠BFE
∵∠AEC=∠BEF
∴∠ACE=∠BFE=90°
∴AF⊥BD试一试1．如图，ΔABC≌ΔADE，若∠EAC = 56°，则∠BAD =_______。2．如图，如果ΔABC≌ΔDEF，∠E = 42°，∠A = 38°，那么∠B =______，∠ACB = ______ . 3．由ΔABC≌ΔDEF，不一定能推出的结论是 ( )
A、面积相等 B、∠A = ∠E
C、形状相同 D、能够重合56°42°100°B4．下列说法错误的是 ( )
A、全等三角形的公共角是对应角，对顶角也是对应角
B、全等三角形的公共边也是对应边
C、全等三角形的公共顶点是对应顶点
D、全等三角形中相等的边所对的角是对应角，相等的角所对的边是对应边5．给定三角形的两条边a、b及a边所对的角α，作三角形时（ ）
A、有惟一的一个三角形 B、有两个三角形
C、不能作出三角形 D、三种情况都可能6．如图，ΔABC≌ΔCDA，并且∠1 = ∠2，则下列结论中错误的是 ( )
A、∠B = ∠D B、∠3 = ∠4，
C、AB = CD D、AD = ABCDD7．在两个全等三角形中
① 如果两个三角形有公共边，那么沿公共边所在的直线折叠，
能使这两个三角形重合
② 如果两个三角形有公共顶点，那么以公共顶点为中心，
把其中一个三角形绕中心旋转180°能与另一个三角形重合
③ 如果两个三角形有一对对应角是对顶角，则把其中一个三
角形绕这对对应角的顶点旋转180°能与另一个三角形重合
以上说法正确的个数有 ( )
A、3个 B、2个 C、1个 D、0个D8．如图，在ΔABC中，∠A∶∠B∶∠ACB = 1∶2∶6，若将ΔABC绕点C逆时针旋转，使旋转后的ΔA'B'C的顶点B' 在原三角形的边AC的延长线上时，求∠BC A' 的度数60°9．如图，已知C是线段AB的中点，CD // BE，且CD = BE， 试说明∠D =∠E的理由．课件25张PPT。数学1对1春季课程 第12讲 全等三角形的判定二1.答案：∵△AEC≌△BFD，∴∠ACE=∠BDF，∴AC∥BD.2.答案：∵ΔAOB≌ΔCOD，∴∠D=∠B，∴AB∥CD.3.答案：∵AC=DC，∠1=∠2，CB=CB，∴△ACB≌△DCB，∴∠A=∠D.4.答案：∵∠1=∠2，∴∠1＋∠CAD=∠2＋∠CAD，∴∠CAE=∠BAD,
在△BAD和△CAE中，AD=AE，∠CAE=∠BAD，AB=AC，∴△BAD≌△CAE,
∴BD=CE.5.答案：∵∠1=∠2，∴∠CAE=∠BAD，又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE，∴∠E=∠D6.答案：∵∠DAB=∠EAC，∴∠DAC=∠EAB，又∵AD=AB，AE=AC，∴△DAC≌△EAB，∴DC=BE.上次课后答案预习思考 下图为两个三角架楼梯，王师傅从楼梯底部B点走到楼梯顶部的A点刚好能刷到墙顶，
下图中的图Ⅰ为楼梯模型，已知∠A=40°，∠B=60°，BC=1米，
现在李师傅准备用另一个三脚架楼梯刷墙，三脚架楼梯模型如图2所示，
已知∠D=40°，∠DFE=80°，EF=1，那么李师傅从楼梯的底部E处能到达楼梯的顶部D处吗？
（假设王师傅和李师傅的身高一样）【知识梳理】温故而知新1. 全等三角形判定方法2：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这
两个三角形全等（简记为A.S.A）
2. 全等三角形判定方法3：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，
那么这两个三角形全等（简记为 A.A.S）
3. 全等三角形判定方法4：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全
等（简记为：S.S.S）
【例题精讲】知识一：全等三角形判定方法2：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两
个三角形全等（简记为A.S.A）
知识二：全等三角形判定方法3：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那
么这两个三角形全等（简记为 A.A.S）
两个判定可以用三角形的内角和证明得到为同一个判定例1. 如图，在ΔABC中，已知AD⊥BC，CE⊥AB，且CF = AB，
求证：AD = CD里面有两个很重要的模型哦答案：∵∠ADC=∠AEC=90°∠AFE=∠CFD，
∴∠EAF=∠DCF（三角形内角和）
在△ADB和三角形CDF中，
∠EAF=∠DCF，∠ADB=∠CDF=90°，AB=CF，
∴△ADB≌△CDF，∴AD=CD例2. 如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B，求证：AB=CD
答案：∵AC∥DE，∴∠E=∠ACD，∴∠ACD=∠D，
∵∠ACD=∠B，
∴∠D=∠B，
在△ABC和△EDC中，∠E=∠ACD，∠D=∠B，AC=CE，
∴△ABC≌△EDC，
∴AB=CD例3．如图，在正方形ABCD中，P是CD上的一点，BE⊥AP于E，DF⊥AP于F，
证明：AE = DF.
答案:∵∠BEA=90°，∴∠EBA＋∠BAE=90°，
又∵∠BAE＋∠DAF=90°，
∴EBA=∠DAF
在△ADF和△BAE中，EBA=∠DAF，∠BEA=∠AFD，BA=AD，
∴△ADF≌△BAE，
∴AE=DF.例4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D、E，
已知DC＝2，求BE的长.答案：∵∠ACE＋∠BCE=90°，∠BCE＋∠EBC=90°,
∴∠ACE=∠EBC,
在△ACD和△CBE中，∠ACE=∠EBC，∠∠ADC=∠CEB，AC=CB，
∴△ACD≌△CBE,
∴DC=BE=2.【试一试】证明：∠1+∠CAE=∠2+∠CAE，∴∠BAC=∠DAE，
又∵AC=AE，∠C=∠E，
∴△ABC≌△ADE.证明：∵∠1=∠2，∴180°-∠1=180°-∠2，∴∠ADB=∠AEC，
又∵∠A=∠A，BD=CE，∴△ADB≌△AEC，∴AB=AC.知识二：全等三角形判定方法4：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这
两个三角形全等（简记为：S.S.S）例5．如图，在ΔABC与ΔDEF中，AB = DE，BC = EF，AM、DN分别是BC、EF上的中线，
且AM = DN，说明ΔABC≌ΔDEF的理由(SSS)答案：∵BC=EF，M为BC中点，N为EF中点，
∴BM=EN，
在△ABM和△DEN中，AB=DE，BM=EN，AM=DN，
∴△ABM≌DEN，∴∠B=∠E，
在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF例6. 如图，四边形ABCD中，AB = DC，AD = BC，说明AB∥DC的理由答案：
作：连结BD
证：在△ABD和△CDB中，AB=CD，CB=AD，DB=BD，
∴△ABD≌△CDB，
∴∠CDB=∠ABD，
∴AB∥CD【试一试】证明：∵AF=DE，∴AF-CF=DE-CF，∴AC=DF，
又∵AB=DE，BC=EF，∴△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D，∴AB∥DE.证明：（1）∵AD=CB,AE=CF,DE=BF,
∴△ADE≌△CBE，∴∠D=∠B.
（2）∵△ADE≌△CBE，∴∠AED=∠CFB，∴180°-∠AED=180°-∠CFB，
∴∠AEO=∠CFO，∴AE∥CF.四．综合提高例7. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2答案：例8. 已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C答案：
作：连接AC和BD
在△ADC和△DAB中，CD=BA，DA=AD，∠CDA=∠BAD，
∴△CDA≌△BAD，
∴CA=BD
在△ACB和△DBC中，AB=DC，CB=BC，AC=DB，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠ABC=∠DCB 例9. 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，
求∠EAF 的度数.
作：延长CB到M使BM=DF，
∵AD=AB，∠D=∠ABM，DF=BM，
∴△ABM≌△ADF，∴AF=AM，
∵BE+DF=EF，且DF=BM，BE+BM=EF，即ME=EF，
在△AME和△AEF中，ME=EF，AM=AF，AE=AE
∴△AME≌△AEF，又∵∠EAF＋∠BAE＋∠DAF=90°,∴∠EAF=45°例10．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE.
（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE.
（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？
请直接写出这个等量关系.答案：
（1）很容易证明△ADC≌△CEB，
∴DC=EB，AD=CE，
∵DE=DC＋CE，
∴DE=BE＋AD
（2）证明△ADC≌△CEB，
∴DC=EB，AD=CE，
∵DE=CE－DC，
∴DE=AD－BE
（3）证明△ADC≌△CEB，BE=NC=DE＋EC＋DN，
AD＜DN＋AN=DN＋EC，
∴AD＋DE＜BE1、∠B = ∠D
2、∠A =∠D或BF = CE
3、3
4、BE
5、20
6、50 BA答案： 9、A 10、A 提示：辅助线和例9相似课件23张PPT。第13讲 等腰三角形上次课后答案案例1：你来分一分一个等腰三角形，如何把它分成两个一模一样的三角形？案例2：你来画一画如何利用圆规和直尺做出一个等腰三角形呢？案例3：你来找规律1. 等腰三角形的性质有哪些？
（1）等腰三角形的两个底角相等 （等边对等角）
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（等腰三角形的三线合一）案例3：你来找规律2. 如何判定一个三角形是等腰三角形？
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形（等角对等边）知识点一：求等腰三角形的某个内角例1：例1. 如图，△ABC中，AB＝AC，过点B作BE⊥AC，垂足为E，过点作ED//BC交AB于点D，若BD＝DE，求∠C的度数。 教法指导：．充分利用等腰三角形两底角相等，结合两直线平行的性质以及三角形内角和，求出底角的度数。方法总结：利用等腰三角形的性质求内角度数注意问题
1、等腰三角形性质得出两底角相等
2、出现平行线，根据平行线性质得出内错角或者同位角相等；
3、再根据三角形内角和为180°，充分利用已知条件，求出目标角度的度数；
试一试：如图，已知△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数．
知识点二、利用等腰三角形性质求证线段长度相等
例题2：如图，点B、E、D、C在一条直线上，AB＝AC，AE＝AD，证明：BE＝CD。
教法指导：根据目标结论求证两条线段相等，可以转化为求证两个三角形全等，或者利用等腰三角形三线合一性质转化求证另外两条线段相等。
证明：过点A作AF⊥BC，垂足为F
∵AB＝AC，AE＝AD（已知），
∴△ABC，△ADE是等腰三角形，
又∵AF是底边BC上的高，AF是底边DE上的高，
∴BF＝CF ，EF＝DF（等腰三角形三线合一），
∴BE-EF=CF-DF（等式性质），
∴BE＝CD.试一试：如图，ΔABC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试说明AC⊥DC的理由．参考答案：取AB中点E，联结DE，
∵DA=DB，
∴DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∵AB=2AC，
∴AE=AC，
又∵∠1=∠2，AD=AD，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠ACD=∠AED=90°
补充类提高题一、连线构造全等或等腰三角形
例1：如图，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点．求证：AF⊥CD
证明：联结AC、AD， 在△ABC和△AED中， AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED
∴△ABC≌△AED（SAS）． ∴AC=AD． ∴△ACD是等腰三角形． 又∵点F是CD的中点， ∴AF⊥CD．例2：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD交BD延长线于点E．求证：BD＝2CE．证明：延长CE、BA交于F点，如图， ∵BE⊥EC， ∴∠AEF=∠CEB=90°． ∵BD平分∠ABC， ∴∠1=∠2， ∴∠F=∠BCF， ∴BF=BC，
∵BE⊥CF， ∴CF=2C，
∵△ABC中，AC=AB，∠A=90°，
∴∠CBA=45°，
∴∠F=（180-45）°÷2=67.5°，
∠FBE=22.5°，
∴∠ADB=67.5°，
∵在△ADB和△AFC中，∠F＝∠ADB，
∠BAC＝∠FAC，AB＝AC
∴△ADB≌△AFC（AAS），
∴BD=FC，
∴BD=2CE．1．如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是 ，
那么这个等腰三角形的底角等于 ．
2．斜边为10的等腰直角三角形的面积为________________．
3．等腰三角形中有一内角为 ，则它的底角是_________．
4．如图， ,延长CB到D，使BD=AB，延长BC到E，使CE=CA，连接AD、AE，则∠DAE=_______．
5．指出各图中有哪几个等腰三角形，并说明理由。
在△ABC中，已知∠A=36°，∠ABC=72°，BE平分∠ABC．
（1）如图1，若CD平分∠ACB．
（2）如图2，若BD=BC．
（3）如图3，若DE平分∠BDC，EF平分∠DEC．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，点E在AD上，点F在AD的延长线上，且CE//BF，试说明DE＝DF的理由。7．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：
①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝CDO；③BE＝CD；④OB＝OC
（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情况）
答：_______________________________________________________________
（2）选择第（1）小题中的一种情况，说明△ABC是等腰三角形。8．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，△ABC 绕点B逆时针方向旋转一定角度后到△BDE的位置，点D落在边AC上，
问：（1）旋转角是几度？为什么？
（2）将AB与DE的交点记为F，除△ABC和△BDE外，图中还有几个等腰三角形？请全部找出来．
（3）请选择题（2）中找到的一个等腰三角形说明理由．等腰三角形知识点梳理：
1、等腰三角形的性质：等边对等角；三线合一（尤其重要）；内角和
2、等腰三角形的判定：等角对等边；三线合一
3、构造等腰三角形来解决问题
课件20张PPT。第14讲 等边三角形上次课后答案2.证明：∵EF垂直平分AD，
∴AF=DF ，
????? ∴∠FAD=∠FDA，
????? ∵AD平分∠BAC,
????? ∴∠BAD=∠CAD,
????? ∵∠B=∠FDA－∠BAD,
????? ∠CAF=∠FAD－∠CAD,
????? ∴∠B=∠FAC.同学们都算对了吗？一、你来分一分：
一个等边三角形，如何分成两个完全一样的三角形呢？你有几种分法呢？
答案：利用轴对称原理，沿着对称轴进行分割；共有3种分法。
?二、你来画一画：
一个圆规，一把直尺，你能作出一个等边三角形吗？
答案：利用直尺画一条线段，再分别以两个端点为圆心，大于二分之一线段长为半径画圆，两个圆相交于一点，联结这个点与原线段的两个端点构成的三角形即为等边三角形。三、你来总结规律
1. 等边三角形性质有哪些？
（1）具备等腰三角形的所有性质
（2）等边三角形的三条边都相等，三个内角都等于60°
2. 等边三角形的判定：
（1）三条边相等的三角形是等边三角形
（2）三个内角相等的三角形是等边三角形
（3）有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形
熟练掌握等边三角形的判定和性质知识点一：利用等边三角形性质找出全等三角形例题1：如图，A、B、C三点在一直线上，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边ΔABD和等边ΔBCE，联结AE，CD,试说明AE = CD的理由。1. 如图，在同一直线上作等边ΔABD和等边ΔBCE中，联结AE，CD,把△BCE绕点B顺时针旋转，当A、B、C不在一条直线上时，求证：AE = CD.试一试∵ ΔABD和ΔBCE都为等边三角形，
∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，
∴∠ABE=∠DBC，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=CD.2. 如图，在同一直线上作等边ΔABD和等边ΔBCE中，联结AE，CD,把△BCE绕点B顺时针旋转，使E落在边BD上，求证：AE = CD.∵ ΔABD和ΔBCE都为等边三角形，
∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=CD.3. 如图，在同一直线上作等边ΔABD和等边ΔBCE中，联结AE，CD,把△BCE绕点B顺时针旋转，使C落在边AB上，求证：AE = CD.∵ ΔABD和ΔBCE都为等边三角形，
∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，
∴∠ABE=∠DBC，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=CD.4．如下图，A、B、C三点在一直线上，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边ΔABD和等边ΔBCE，联结AE，CD，MN，判定△MBN的形状以及MN和AC的位置关系.∵ ΔABD和ΔBCE都为等边三角形，
∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，
∴∠ABE=∠DBC，
∴△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
又∵A、B、C三点共线，
∴∠DBN=60°=∠ABM，
又∵AB=DB，
∴ ΔABM≌ΔDBN，
∴BM=BN，
又∵∠DBN=60°，
∴△MBN为等边三角形，
∴∠BMN=60°=∠MBN，
∴MN∥AC.知识点二、利用等边三角形性质判定另外三角形为等边三角形例题2：如图，在△ABC中，已知AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且BD=CE，∠FDE=∠B．
（1）求证△BFD≌△CDE．
（2）如果△ABC是等边三角形，那么△DEF是等边三角形吗？试说明理由．试一试：
已知△ABC为等边三角形，其中D、E、F分别为AB，AC，BC中点，判定△DEF的形状并证明. △DEF为等边三角形
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C，
又∵ D、E、F分别为AB，AC，BC中点，
∴AD=BD=BF=CF=CE=AE，
∴△ADE≌△BDF≌△CEF，
∴DE=DF=EF，
∴△DEF为等边三角形.
知识点三、利用等边三角形性质求角度例题3：如图，D为等边ΔABC内一点，DB=DA，BE=AB，∠DBE=∠DBC，求∠BED的度.联结DC，∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC,又∵ DB=DA，BE=AB，
∴△ACD≌△BCD，
∴∠ACD=∠BCD=30°，
又∵BE=AB=BC，∠DBE=∠DBC，
∴ ΔEBD≌ΔCBD，
∴∠BED=∠BCD=30°
试一试：
如图，已知△ABC中，AB=AC，分别以AB、AC为边作等边△ABE、等边△ACD，且∠DAE=∠BCD，求∠BAC的度数．∠BAC=20°1．如图，在等边△ABC边AC上取一点D，使BD=CE，∠ABD=∠ACE， 求证：△ADE是等边三角形．2．如图，在等边ΔABC的AC、BC边上各取一点E、F，使AE = CF，AF与BE
交于点O，求∠BOF的度数.证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB=60°，AB=AC，又∵BD=CE，∠ABD=∠ACE，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∠CAE=∠CAB=60°，∴△ADE是等边三角形.解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
AB=BC，又∵AE=CF，∴△ABE≌△CAF，∴∠ABE=∠CAF，
∴∠BOF=∠ABE+∠BAF=∠CAF+∠BAF=∠BAC=60°.3．如图，等边△ABC中，点D在边AC上，CE∥AB，且CE＝AD，
（1）△DBE是什么特殊三角形，请说明理由．
（2）如果点D在边AC的中点处，那么线段BC与DE有怎样的位置关系，请说明理由．1、等边三角形的性质：三边都相等；三个内角均为60°
2、等边三角形的判定：
（1）三条边相等的三角形是等边三角形
（2）三个内角相等的三角形是等边三角形
（3）有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形
3、等边三角形与全等三角形综合课件20张PPT。第15讲 三角形与平行线1.解：∵ΔABC和ΔDEC均为等边三角形，
∴∠ACB=∠BAC=∠DCE=60°，AC=BC，CE=CD，
∴∠ACE=∠DCB=25°，∠CAE=∠BAC=∠EAB=20°，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CBD=∠CAE=20°，
∴∠BDC=180°-∠CBD-∠DCB=180°-20°-25°=135°.2.证明：∵△ABC、△CDE为等边三角形，
∴∠B=∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，CD=CE，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE，
∴∠CAE=∠B=60°，
∴∠CAE=∠ACB，
∴AE∥BC.3.证明：∵△ACD、△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB=AE，BC=CF，AC=CD，∠BCF=∠ACD=60°，
∴∠BCF-∠CAF=∠ACD-∠CAF，
∴∠ACB=∠DCF，
∴△ACB≌△DCF，
∴AB=DF，
又∵AB=AE，
∴AE=DF.上次课后答案平行线的性质和判定全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。 三角形全等的判定定理：知识一、平行线的性质和判定例1.如图所示，完成下列填空．
（1）∵∠1=∠5（已知）
∴a∥______（同位角相等，两直线平行）
（2）∵∠3=_______（已知）
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）
（3）∵∠5+_______=180°（已知）
∴______∥_______（同旁内角互补，两直线平行）试一试：如图所示，若∠1+∠2=180°，∠1=∠3，EF与GH平行吗？解答：因为∠1+∠2=180°（ ）
所以AB∥_______（ ）
又因为∠1=∠3（ ）
所以∠2+∠________=180°（ ）
所以EF∥GH（同旁内角互补，两直线平行）
答案：已知，CD，已知，3，等量代换知识点二：等腰三角形例2. 如图，OC平分∠AOB，CD∥OB，指出图形中的等腰三角形，并说明理由；答案：△OCD
∵OC平分∠AOB，
∴∠DOC=∠COB，
∵CD∥OB，
∴∠OCD=∠COB，
∴∠DOC=∠OCD，
∴△OCD为等腰三角形.试一试：1. 如图，OC平分∠AOB，OC∥BD，指出图形中的等腰三角形，并说明理由。?答案：△OBD 2. 如图，AD平分∠BAC，CE∥AD，指出图形中的等腰三角形，并说明理由。答案：△ACE 知识点三：三角形角平分线例3. 已知BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF∥BC 说明△AEF的周长为AB+AC；证明:∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠ CBD，
∴∠ABD=∠EDB，
∴ EB=ED，
同理可证FD=FC ，
∴AEF周长
=AE+EF+AF
=AE+DE+DF+AF
=AE+BE+AF+CF
=AB+AC.
试一试：1. 如图，已知BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE∥AB ，DF∥AC 说明△DEF的周长为BC；解析：证明 EB=ED，FD=FC 2. 如图，已知BD平分∠ABC，CD平分△ABC的一个外角，DE∥BC ，说明EF=BE–CF；解析：证明 EB=ED，FD=FC 解析：证明DB=DA，DA=DC 知识点四：全等三角形判定和性质证明：过点D作DG∥AC交BC与G点
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠ACB（等边对等角）
又∵DG∥AC
∴∠DGB=∠ACB（两直线平行，同位角相等）
∴∠B=∠DGB（等量代换）
∴DB=DG（等角对等边）
又∵DB=CE（已知）
∴DG=CE（等量代换）
又∵DG∥CE
∴∠E=∠FDG（两直线平行，内错角相等）知识点五：全等三角形的应用例5： 如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交与点O，从图中，你可得到哪些三角形的面积是相等的？为什么？∵AD∥BC，
∴可知AD与BC间距离处处相等，
∴△ABD与△ACD面积相等，△ABC与△DBC面积相等，
∴可得△AOB面积与△COD面积相等.如图①是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③.
（1）若∠DEF=200，则图③中∠CFE度数是多少？
（2）若∠DEF=α，把图③中∠CFE用α表示.试一试：1．如图，已知点B、D在直线AE上，AC // DF，∠C =∠F，AD = BE，试说明
BC // EF的理由．解：因为AC // DF（已知）
所以∠A =∠FDE（两直线平行，同位角相等）．
因为AD = BE（已知）
所以AD +DB = DB +BE（等式的性质），
即得AB = DE．
在△ABC和△DEF中， 所以△ABC≌△DEF（AAS）．
所以∠CBA =∠FED（全等三角形对应角相等）．
所以BC // EF（同位角相等，两直线平行）． 2．如图，已知AB//CD，AB＝CD，O是AC的中点，过O点作直线分别交直线AD、BC于E、F，交线段AB、CD于G、H。
（1）图中有几对全等三角形？
（2）试说明AD//BC。答案：（1）5对，△AEG≌△CFH，△AGO≌△CHO，△AEO≌△CFO，△ABC≌△CDA，△DEH≌△BGF，
（2）略3．已知，四边形ABCD中，AD//BC，AD＝1，BC＝3，AB＝4，点E为CD中点，联结AE并延长AE与BC延长线交于点F，
（1）说明△ADE与△FCE全等的理由；
（2）联结BE，请说出BE与AF的位置关系，并说明理由。答案：（1）△ADE与△FCE（ASA或AAS）
（2）BE⊥AF，根据等腰三角形三线合一4. 如图，已知AC=BC=CD，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上．
（1）试说明CD∥AB的理由；
（2）CD是∠ACE的角平分线吗？为什么？答案：
（1）解：因为BD平分∠ABC，（已知）
所以∠ABD=∠DBC.（角平分线定义）
因为BC=CD已知）
所以∠DBC=∠D.（等边对等角）
所以∠ABD =∠D.（等量代换）
所以CD∥AB.（内错角相等，两直线平行）（2）CD是∠ACE的角平分线.
因为CD∥AB，
所以∠DCE =∠ABE.（两直线平行，同位角相等）
∠ACD =∠A.（两直线平行，内错角相等）
因为AC=BC，（已知）
所以∠A =∠ABE.（等边对等角）
所以∠ACD =∠DCE.（等量代换）
即CD是∠ACE的角平分线.课件24张PPT。第16讲 三角形综合1.证明：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
又∵DE∥BC，
∴∠ABE=∠DEB，
∴△BDE为等腰三角形，
∵F点为BE中点，
∴DF⊥BE.
2.证明：
（1）∵FC//AB，
∴∠A=∠ECF，
∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
又∵∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CFE.
（2）BD=AB-AD=AB-FC=9-7=2.3.答案：∵ 翻折，
∴2∠BFE+∠1=180°，
∵∠1=50°，
∴∠BFE=65°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=180°-∠BFE=115°.4.答案：
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
又∵DE∥CA，
∴∠CAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠ADB，
∴DE=BE，
∴AE=BE.5.解析：
（1）∵∠1=∠E，
∴DC=DE，
∵DE+AB=AD，DC+AC=AD，
∴ AC=AB，
∴∠2=∠B.
（2）∵∠E+∠1+∠2+∠B+∠D+∠A=360°，
又∵∠E+∠1+∠2+∠B=180°，
∴∠D+∠A=180°，
∴DE∥AB.上次课后答案热身训练审题仔细，会大大提升正确率1．如果等腰三角形两边的长分别为8和4，那么它的周长是 ．2．如果等腰三角形两边的长分别为8和5，那么它的周长是 ．3．在ΔABC中，∠A = 50°，∠B比∠C大30°，则∠B的度数是 ．4．如果三角形的一个角等于其他两角的差，这个三角形为 （填形状）．5．如果等腰三角形中有一内角为70°，则它的底角是_________度。6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，那么它的底角是 ．7．等腰三角形的周长为20，那么它的腰长x的取值范围 ，那么它的底边长y的取值范围 ．8．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9和15两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ．9．△ABC中，AB＝7，BC＝4，BC边上的中线长为x，则x的取值范围是__________。10．斜边等于10的等腰直角三角形的面积为__________________。11．如图，将长方形纸片ABCD沿BD对折，重叠部分是△BED，若AB＝4、AD＝6，则△ABE的周长是_______________。12．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝60°，如果∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么∠DAC＝________。知识点一、全等三角形之轴对称型把一个图形沿着某一条直线折叠过来，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称，下图是常见的轴对称型全等三角形。【例题精讲】例1. 如图，在∠BAC的两边截取AB＝AC，又截取AD＝AE，连CD、BE交于F。
试说明：AF平分∠BAC。解析：联结BC，证明△ABE≌△ACD（SAS），得到∠B=∠C
由AB＝AC得到∠ABC=∠ACB，所以得到∠FBC=∠FCB，即FC=FB
所以△ABF≌△ACF（SAS） 所以∠CAF=∠BAF
证明：∵AB=AC，AD=AD，∠CAB=∠CAB
∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B=∠C
联结BC，
∵AB＝AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠FBC=∠FCB，∴FC=FB
AB=AC，∠ACF=∠ABF
△ABF≌△ACF（SAS）∴∠CAF=∠BAF
∴AF平分∠BAC
知识点二、全等三角形之平移型牢记平移型特点哦！把△ABC沿着某一条直线L平行移动，所得△DEF与△ABC称为平移型全等三角形。有时这条直线就是△ABC的某一条边所在直线。下图是常见的平移型全等三角形。例2. 如图，在△ABC和△DEF中，点B、E、C、F在同一直线上，请你从以下4个等式中选出3个作为已知条件，余下的1个作为结论，并说明结论正确的理由．
① AB = DE； ② AC = DF；
③∠ABC =∠DEF； ④ BE = CF．解析：① 、② 、 ④ 作为条件，③作为结论。
证明：选① 、② 、 ④ 作为条件
∵BC=BE+EC，EF=CF+EC
且BE=CF∴BC=EF
又∵AB=DE，AC=DF
∴△ABC≌△DEF（SSS）
∴∠ABC =∠DEF
【例题精讲】例3.如图18所示， △ ADF和△ BCE中，∠A=∠B，点D，E，F，C在同—直线上，有如下三个关系式：
①AD=BC； ②DE=CF；③BE∥AF．
(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的结论．
(2)选择(1)中你写出的—个正确结论，说明它正确的理由．证明：① 、③作为条件
∵BE∥AF，∴∠AFE=∠BEC
又∵AD=BC，∠A=∠B
∴△ADF≌△BCE（AAS）
∴DF=CE
又∵DF=DE+EF，CE=CF+EF
∴DE=CF知识点三、全等三角形之旋转型将△ABC绕顶点B旋转一个角度后，到达△DBE的位置，则称△ABC和△DBE为旋转型全等三角形。如下图所示，这些是常见的旋转型全等三角形（通常用边角边（SAS）来识别两个三角形全等）。【例题精讲】例3. 如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=90°，D是BC的中点，且DE⊥DF。试说明DE=DF的理由。解析：联结AD，证明△ADE≌△CDF（ASA）
证明：联结AD
在△ABC，AB=AC，∠A=90°，∴△ABC是等腰直角三角形
又D为斜边BC中点，
∴AD=DC，∠BAD=45°=∠C
又∵∠EAD+∠ADF=∠CDF+∠ADF=90°
∴∠EAD=∠CDF
∴△ADE≌△CDF（ASA）∴DE=DF
知识点四、全等三角形之中心对称型例4. 如图，AD、EF、BC相交于O点，且AO＝OD，BO＝OC，EO＝FO。试说明：△AEB≌△DFC。解析：证明△AOE≌△DOF（SAS），得到AE=DF，同理证明△BOE≌△COF（SAS），得到BE=CF，△AOB≌△DOC（SAS），得到AB=CD，
所以△AEB≌△DFC（SSS）
证明：∵AO=OD，EO=FO，∠AOF=∠DOF
∴△AOE≌△DOF（SAS），∴AE=DE
∵BO=OC，EO=FO，∠BOF=∠COF
∴△BOE≌△COF（SAS），∴BE=CE
∵AO=OD，BO=CO，∠BOA=∠COD
∴△BOA≌△COD（SAS），∴BA=CD
∴△AEB≌△DFC（SSS）
知识点五、找全等三角形例5、在△ ABC中, AB = AC, D是BC中点, 点E在AD上, 找出图中全等三角形。解: △ ABD≌ △ ACD (SSS)
△ ABE≌ △ ACE (SAS)
△ BDE≌ △ CDE (SSS)试一试、如图AB∥CD, AD∥BC, AC、BD交于O点, 图中有哪几对三角形全等？解: △ AOB≌ △ COD
△ AOD≌ △ COB
△ ABC≌ △ CDA
△ ABD≌ △ CDB知识点六、全等三角形之截长补短例6、AB是等腰Rt △ ABC的斜边, AD是?A的平分线
求证: AC + CD = AB分析一: 由于结论是二短线段之和等于一长线段, 自然想到截长法。
因CD?AC, 故可过D作DE?AB于E,
证出Rt △ ACD≌Rt △ AED,
便有AC + CD = AE + DE, 此后再证DE = DB即可,
因为△ ABC是等腰Rt △, 所以?B = 45?,
可得?BDE = 45?, 有BE = DE,
即AD + DE = AB = AC + CD分析二: 欲证AC + CD = AB, 也可采取补短法,
延长AC, 使CE = CD,
只须证出AB = AE, 即可,
为此连结DE,
△ CED即为新出现的等腰Rt △
?E = 45?, 而?B = 45?, AD = AD, AD平分?A,
∴ △ AED≌ △ ABD, AE = AB1．以三条线段3、4、x－5为这组成三角形，则x的取值为________．3．如图，△ABC中，∠C=90°，AD=BD，∠BAD=40°，则∠CAD= ________．4．如图，△ABC中，AB=AC=19cm，将△ABC对折，使点A与点B重合，折痕为DE，若△BCD的周长为26 cm，则BC的长为 ．5．若一个三角形的三条高所在直线的交点在此三角形外，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．都有可能6．下列条件中能唯一确定△ABC的形状和大小的是（ ）
A．∠A＝50°，∠B＝50°，∠C＝100° B．AB＝8，AC＝6， ∠B＝60°
C．AB＝AC，BC＝5，∠A＝80° D．AB＝AC，AB⊥AC，∠B＝45°7．下列结论错误的是（ ）
A．联结等边三角形三边中点所构成的三角形，也是等边三角形
B．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
C．三条边上的高都相等的三角形是等边三角形
D．沿某一条边上的中线所在直线翻折后左右能重合的三角形是等边三角形8．在△ ABC和△ DEF中，根据下列条件，能判定△ ABC≌ △ DEF的是（ ）．
A、AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D B、∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EF C、AB＝DE，BC＝EF， △ ABC的周长＝ △ DEF的周长 D、∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F9．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝CDO；③BE＝CD；④OB＝OC
（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情况）答：_____________________________________________
（2）选择第（1）小题中的一种情况，说明△ABC是等腰三角形。10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABD=∠ACD．求证：AE⊥BC11. 如图14所示，三角形纸片ABC，AB=10厘米，BC=7厘米，AC=6厘米．沿 过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△ AED的周长为______厘米．12. 如图9所示，将纸片△ ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1＋∠2=100°，则∠A的大小等于____度．13.将一副直角三角尺如图5所示放置，已知AE∥BC ，则∠AFD的度数是 ________．14.在图3所示的3×3正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5等于________．
（A）145° （B）180° （C）225° （D）270°?15. 如图6所示，m∥n，点B，C是直线n上两点，点A是直线m上一点，在直线m上另找一点D，使得以点D，B，C为顶点的三角形和△ABC全等，这样的点D有 ________个．