上海市2019-2020学年度高二数学第二学期椭圆的典例分析与变式训练学案

上海市2019-2020学年度高二数学第二学期精品讲义
椭圆典例分析及变式训练



【知识梳理】　
椭圆的定义及性质
定义 平面内到两个定点的距离之和等于定长（）的点的轨迹
标准方 程 椭圆：（）； 椭圆：（）；
几何性质 焦点坐标 ， ，
顶点 ，； ，； ，；，；
范围 ≤，≤； ≤，≤；
对称性 关于轴均对称，关于原点中心对称；
的关系





【典型例题分析】
例1、设椭圆的左、右焦点分别是,过作直线与椭圆交于两点，则的周长为 （ ）
A B C D
【分析】利用定义，周长等于
【答案】B
变式练习1：已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则△MNF2的周长为
A.8 B.16 C.25 D.32
解析：利用椭圆的定义易知B正确.
答案：B
变式练习2：已知为椭圆的两个焦点，过点的直线交椭圆于两点，若,则_________________
【分析】由椭圆的定义得
两式相加得
即
【答案】8

例2、求以椭圆的焦点为焦点，且经过点的椭圆的标准方程。
【分析】方法一：设所求椭圆方程为
因为点在椭圆上，所以
所以 故所求的椭圆方程为
方法二：因为点在椭圆上，所以
即
所以，由得，
故所求的椭圆方程为
【答案】
变式练习1：已知动点到直线的距离是它到点的距离的2倍，求动点的轨迹。
【解】设动点的坐标为，则动点到直线的距离为，到点的距离为，

化简得，
动点的轨迹是一个椭圆，其长轴长为，短轴长为，焦距为，焦点分别为，顶点分别为及
变式练习2：椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.
解：由题设条件可知a=2c，b=c，又a－c=，解得a2=12，b2=9.∴所求椭圆的方程是+=1或+=1.

例3、已知椭圆，为椭圆上任一点，,求的面积。
【解】已知椭圆的定义，有，而在中，由余弦定理有


即
所以
评述：解与△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF1|+|PF2|=2a来解决.
变式练习：已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ）
A. B.3 C. D.
解析：由余弦定理判断∠P<90°，只能∠PF1F2或∠PF2F1为直角.由a=4，b=3得c=，
∴|yP|=.
答案：D

例4、已知圆和圆，动圆与圆外切，同时与圆内切。（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）过点作直线与点的轨迹交于两点，且线段的中点到轴的距离为，求直线的方程。
【解】（1）设动圆圆心，设，设动圆半径为R，有
,
所以为所求轨迹方程。
（2）设直线方程为：，设，的中点坐标为，有

所以直线方程为
例5、若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程.
剖析：欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为.OA⊥OB，易得a、b的两个方程.
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）.

x+y=1，
ax2+by2=1，
∴=，=1－=.
∴M（，）.
∵kOM=，∴b=a. ①
∵OA⊥OB，∴·=－1.
∴x1x2+y1y2=0.
∵x1x2=，y1y2=（1－x1）（1－x2），
∴y1y2=1－（x1+x2）+x1x2
=1－+=.
∴+=0.
∴a+b=2. ②
由①②得a=2（－1），b=2（－1）.
∴所求方程为2（－1）x2+2（－1）y2=1.
评述：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A（x1，y1），B（x2，y2），但不是真的求出x1、y1、x2、y2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0是解决本题的关键.
变式练习：直线l过点M（1，1），与椭圆+=1相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求直线l的方程.
解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），
则+=1， ①
+=1. ②
①－②，得
+=0.
∴=－·.
又∵M为AB中点，
∴x1+x2=2，y1+y2=2.
∴直线l的斜率为－.
∴直线l的方程为y－1=－（x－1），
即3x+4y－7=0.
（点差法）
例6、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆相交于点P和点Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆方程.
解：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m>0，n>0），
设P（x1，y1），Q（x2，y2），解方程组

y=x+1，
mx2+ny2=1.
消去y，整理得（m+n）x2+2nx+n－1=0.
Δ=4n2－4（m+n）（n－1）>0，即m+n－mn>0，OP⊥OQx1x2+y1y2=0，
即x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，2x1x2+（x1+x2）+1=0，∴－+1=0.
∴m+n=2. ①
由弦长公式得2·=（）2，将m+n=2代入，得m·n=. ②
m=， m=，
n= n=.
∴椭圆方程为+y2=1或x2+=1.

【课堂小练】
1、平面内一点到两定点的距离之和等于8，则点的轨迹是（ ）
A 椭圆 B 圆 C 直线 D 线段
【错解】A
【错解分析】椭圆定义中，与两定点距离之和的常数必须大于两定点间的距离，即
，由本题中,因此，点的轨迹不是椭圆，而是线段。
【正解】D
2、在中，所对的三条边分别为，且,求满足
成等差数列时，顶点的轨迹方程。
【错解】因为成等差数列，

由椭圆定义知动点的轨迹为以为焦点，以4为长轴的椭圆，设该椭圆方程为

依题意得，
所以的轨迹方程为
【错解分析】如图所示，由于，所以的轨迹应在轴左侧，此外不符合题意。
【正解】的轨迹方程为
3、已知为椭圆的左、右焦点，弦过，则的周长为————————（）

4、是椭圆的两个焦点，是椭圆上的任意一点，则的最大值为———（）

5、方程表示的曲线是以为焦点，的椭圆.
6、若椭圆的焦点和短轴两端点构成一个正方形，则实数的值是.
7、⑴求过点且与圆内切的圆的圆心的轨迹方程；
⑵在面积为的中，，建立适当坐标系，
求以为焦点且过点椭圆方程；
参考解答：⑴，⑵




8、如图，点分别是椭圆长轴的左、右端点，点是
椭圆的右焦点，点在椭圆上，且位于轴上方，。
⑴求点的坐标；
⑵设是椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，
求椭圆上的点到点的距离的最小值；
参考解答：⑴，⑵时




9、设是椭圆上的两点，为坐标原点，
⑴若直线的斜率为，且经过椭圆左焦点，求的值；
⑵若直线在轴上的截距为，且的斜率之和等于，求直线的方程；
参考解答：⑴，⑵




10、已知椭圆上有不同两点关于对称，求的取值范围；
参考解答：






【课堂总结】
1、椭圆的定义是解决问题的出发点，如果运用恰当可收到事半功倍之效（如关于求焦半径的问题）.
2、要明确参数a、b、c、的相互关系、几何意义及与一些概念的联系.灵活运用它们之间的关系可使问题顺利解决.
3、椭圆参数的几何意义，如下图所示：
（1）|PF1|+|PF2|=2a，
（2）|A1F1|=|A2F2|=a－c，|A1F2|=|A2F1|=a+c；
（3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c；
（4）|F1K1|=|F2K2|=p=，
|PM2|+|PM1|=.
4、椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在.
5、椭圆标准方程中两个参数a和b确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中，总有a＞b＞0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c2=a2－b2；在方程Ax2+By2=C中，只要A、B、C同号，就是椭圆方程.

【课后练习】
1、若椭圆长轴长与短轴长之比为，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程为.
2、已知椭圆的一个焦点是，则的值是.
3、椭圆的焦点为，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么
是的倍.
4、中心在原点，对称轴为坐标轴，短轴上的一个端点与两个焦点组成一正三角形，焦点到椭圆上点最大距离
为，则椭圆的方程为.
5、是平面上长度为的一条线段，是平面上的一个动点，且 ，是的中点，
则的取值范围是.
6、设椭圆的长轴两端点为，点是椭圆上异于的任一点，则直线
的斜率之积为.
7、椭圆的两个焦点，过点的直线与椭圆交于两点，
的周长为，求：⑴椭圆的方程；⑵面积的最大值；
参考解答：⑴，⑵当时，



8、小河上有一座悬吊在半椭圆形钢拱上的小桥，其侧面如图所示，地面上两点是椭圆长轴的端点，
与地面平行的桥面长为米，、是两根高为米且与地面垂直的支柱，引桥的
坡度为，且米，求此椭圆形钢拱的跨度及拱的最高点到地平面的距离。（精确到）
参考解答：























∴（a+b）x2－2bx+b－1=0.

由

或

解①②得