人教新课标A版 选修3-1 第八讲　对无穷的深入思考 二 无穷集合论的创立 课件 44张PPT

(共44张PPT)
第八讲 对无穷的深入思考
——康托尔的集合论
集合论
数学的一个基本的分支学科，研究对象是一般集合。集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。集合论或集论是研究集合（由一堆抽象物件构成的整体）的数学理论，包含了集合、元素和成员关系等最基本的数学概念。
在大多数现代数学的公式化中，集合论集合是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位，其基本概念已渗透到数学的所有领域。如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石，由此可见它在数学中的重要性。其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉为对二十世纪数学发展影响最深的学者之一。提供了要如何描述数学物件的语言。
旧知链接

1.元素与集合的概念
2.集合中元素的特征
3.集合的表示方法
4.集合之间的关系
5.集合的分类
6.常用数集
比较一下
﹛1，2，3，4，5，6﹜
﹛1，2，3，4，5，6，7﹜
哪个集合中的元素多？
真子集：若集合A中的元素全部包含在集合B中，而集合B中存在元素不在集合A中，则称集合A为集合B的真子集.
历史留声机

旧知回顾
问题1： 全体自然数与它们的平方数,哪个多哪个少？

{ 1，2，3，…，n，…}
? ? ? ?
{ 1，4，9，…，n2，…}
新知导入
1638年，意大利著名科学家伽利略提出一个问题：
不同观点：
自然数的平方仍是自然数，所以自然数集中的元素个数应该多于其平方数.
无论是自然数的平方还是自然数，都是无穷多个，所以自然数的元素个数应该等于其平方数.
伽利略本人对此问题困惑不解，不知道如何作答，因为不管如何回答都会自相矛盾.后来人们把这个问题称为伽利略悖论.
伽利略悖论
一. 古代的无穷观念
你能举出其他有关中国古代无穷
思想的事例吗？

中国古代数学中的无穷思想
芝诺悖论
1． 一物从甲地到乙地，永远不能到达.因要想从甲到乙，首先要通过路径的一半.但要通过这一半，必须通过一半的一半，这样直至无穷，物体根本不能前进一步.
二分说
西方数学中的无穷思想
阿基里斯追龟说
2． 阿基里斯（荷马史诗《伊里亚特》中的善跑英雄）追龟说.阿基里斯追乌龟，永远追不上.因当他在追乌龟的出发点时，乌龟向前爬行了一段，他再追完这一段，乌龟又向前爬行了一段，这样永远重复下去，总也追不上.
看到这里，大家可能会产生一个问题：历史上这些哲学家们制造这些悖论到底有什么意义呢？毕竟连他们自己也不会相信这些悖论啊！但其实这些悖论对于锻炼我们的思维，促进思想的发展有很重要的意义。就像头疼脑热的小病反而会锻炼我们的抵抗力一样，芝诺悖论和很多其他逻辑学上有趣的悖论一次又一次地提醒哲学家和逻辑学家们去反思自己的思维框架和习惯，人类就是在这种反思和检讨中战胜无聊、不断进步的，你说对吧？
德国哲学家康德（1724—1804）认为无穷像一个梦，看不到尽头，尽头是摔了一跤或者晕倒下去，但是，尽管摔了一跤或者晕倒下去，也不可能达到无穷的尽头.

无穷问题困扰了数学家两千多年，人们采取回避的态度.

微积分的创立促进了无穷问题的解决，使人们不得不面对无穷集合的许多问题.

19世纪末，年轻的德国数学家康托尔用智慧拨去了笼罩在无穷集合上的重重迷雾，终于使人们看清了“无穷”的真面目，并且建立了“无穷集合论”.
不朽的康托尔：
康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者，是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一。
他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造。
建立集合理论的最早尝试
捷克哲学家、数学家
1796年入布拉格大学哲学院攻读哲学、物理学和数学
1800年又入神学院，?1805年任该校宗教哲学教授。?
815年成为波希米亚皇家学会的会员，1818年任该校哲学院院长。
波尔查诺
康托尔的集合理论思想
他称集合为一些确定的、不同的东西的总体，这些东西人们能意识到并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
他又给出了开集、闭集和完全集等重要概念，并定义了集合的并与交两种运算。
他还指出，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。
两个元素能构成一一对应的集合，称为是等价的或具有相同的“势”，后来改成了“基数”。如果在M与N两个集合中，N能与M的一个子集构成一一对应，而M不能与N的任何子集构成一一对应，就说M的势大于N的势
康托尔的集合理论思想
“可数”：凡是能和自然数集构成一一对应的任何一个集合都称为可数或可列集合，并且是最小额无穷集合
自然数与平方数一样多
偶数与自然数一样多
负整数与整数一样多
康托尔的集合理论思想
证明全体有理数集合是可数的
康托尔的集合理论思想
他明确指出：
实数是不可数的
实数比有理数多
在数轴上，有理数点与无理数点相比少得几乎可以忽略不计






演示表明:两个圆(甚至是封闭曲线)长度不等,但是点数相等.



康托尔的成就
康托尔的无穷集合论给数学的发展带来了一场革命。然而由于康托尔的理论超越直观，虽然解决了许多长期悬而未决的问题，但颠覆了许多人根深蒂固的想法，因此很难被人立即接受，他的许多结论，如有理数与实数相比是微不足道的，部分可以等于整体，无穷本身也是有大小的，等等都令当时许多数学家甚至具有权威性的大数学家们无法接受。
“离经叛道”的理论受到来自四面八方的攻击
克罗内克
庞加莱
菲利克斯．克莱因
希尔伯特
米塔-列夫勒
戴得金
有远见的数学家
坚持科学所付出的代价


在40岁的时候，他患了抑郁症，在他生命的最后几十年里，这种精神病时时发作，使他不得不经常住到精神病院的疗养所去。长期的精神折磨所造成的危害是不容忽视的。由于健康状况逐渐恶化，1918年，他在哈雷大学附属精神病院去世。
康托尔创造的精神乐园
康托尔的集合论为数学史翻开了崭新的一页。集合论是现代数学中重要的基础理论。如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解.所以集合论的创立不仅对数学基础的研究有重要意义，而且对现代数学的发展也有深远的影响…

奇怪的旅店
一天深夜，约翰走进一家旅店，想要
一间房。店主微笑的告诉他说：“对不起，
我们所有房间都住满了客人，不过让我想
想办法，或许我最终可以为您腾出一个房
间来。”
然后，店主便离开自己的办公台，很
不好意思的叫醒了旅客，并请他们换一换
房间：他要每一号房间的旅客搬到房间号
比原来高一号的房间去。
这样，第一号房间竟被腾了出来。约翰
很高兴搬了进去，然后安顿下来。
大家思考这样一个问题：明明顾客住店
时该无穷旅店已经客满，为什么店主还能
腾出一个房间给这个旅客呢？
总结：
1、第二天又来了五对夫妇渡蜜月。无穷饭店能不能接待他们？
思考：
可以，老板只不过把每个客人都一一移到高5号的房间中去，空出的1到5号房就给
这5对夫妇。
2、周末，又有无穷多个泡泡糖推销员来到这家旅馆开会。无穷饭店可以怎样接待有限数量的新到者能够理解，可是怎么能够再给无穷多旅客找到新房间呢？
很容易。老板只要把每个房间里的客
人移到原来号码两倍的房间中去就行了。
这下每个房间里的人都住到双号房中，余
下的所有单号房间有无穷多个，它们空出
来给泡泡糖商人住！
希尔伯特(Hilbert)说：“没有任何问题可
以像无穷那样深深的触动人的情感, 很少有
别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成
果的思想, 然而也没有任何其他的概念能向
无穷那样需要加以阐明.”赫尔曼外尔说：数
学是无穷的科学.


善于学习，善于积累，
善于观察，善于提问，
善于追求，善于坚持。
科学的发现和发展在于：
课堂小结
数学给人类创造了
思想的完美
物质的完美
精神的完美
现实的完美
未来的完美
学习数学,
你将完美
并能
创造完美!
第三次数学危机
在康托尔的集合论被公认没多久，1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论存在漏洞。这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。

作业：
预习：三、集合论的进一步发展与完善