人教A版高中数学必修二第二章点直线平面之间的位置关系单元测试题（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．若是两条不同的直线，是三个不同的平面：①；②；③；④若,，则，则以上说法中正确的有( )个
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：
①若m∥n，n⊥β，m?α，则α⊥β；
②若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；
③若m⊥α，m⊥n，n?β，则α∥β或α⊥β；
④若α∩β＝m，n∥m，n?α，n?β，则n∥α且n∥β；
其中正确命题的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
3．在空间中，α，β表示平面，m表示直线，已知α∩β=l，则下列命题正确的是( )
A．若m//l，则m与α，β都平行 B．若m与α，β都平行，则m//l
C．若m与l异面，则m与α，β都相交 D．若m与α，β都相交，则m与l异面
4．如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为
A． B．截面
C． D．异面直线与所成的角为
5．平面∥平面的一个充分条件是（ ）
A．存在一条直线，∥，∥
B．存在一条直线，?，∥
C．存在两条平行直线，，?，?，∥，∥
D．存在两条异面直线，，?，?，∥，∥
6．如果直线直线n，且平面，那么n与的位置关系是
A．相交 B． C． D．或
7．在正四棱锥中，底面正方形的边长为1，侧棱长为2，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．在三棱锥A﹣BCD中，∠ABC＝∠ABD＝∠CBD＝90°，BC＝BD＝BA＝1，过点A作平面α与BC，BD分别交于P，Q两点，若AB与平面α所成的角为30°，则截面APQ面积的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
9．边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．在正方体中，为的中点，为的中点，则（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
评卷人
得分
二、填空题
11．直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成的角的余弦值为______.
12．已知正三棱柱的侧面积为12，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线与所成角的余弦值等于__________.
13．下列说法正确的有：________.
①如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
②如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
③分别在两个平行平面内的两条直线互相平行；
④过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行.
14．棱长为的正方体中，是棱的中点，过作正方体的截面，则截面的面积是_________________．
15．已知球内接三棱锥中，平面ABC，为等边三角形，且边长为，又球的体积为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为________.
评卷人
得分
三、解答题
16．正方体的棱长为点分别是棱的中点
（1）证明：四边形是一个梯形：
（2）求几何体的表面积和体积
17．（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.
18．如图，在长方体中，，为的中点，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
19．如图，在直三棱柱中，，，，点、分别为与的中点.
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
20．如图①，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是CD的中点，将三角形ADE沿AE翻折到图②的位置，使得平面AED′⊥平面ABC．
（1）在线段BD'上确定点F，使得CF∥平面AED'，并证明；
（2）求△AED'与△BCD'所在平面构成的锐二面角的正切值．
21．在三棱柱中，侧面底面，，且点为中点.
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积.
人教A版高中数学必修二第二章点直线平面之间的位置关系单元测试题（含答案解析)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．若是两条不同的直线，是三个不同的平面：①；②；③；④若,，则，则以上说法中正确的有( )个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【详解】
由是两条不同的直线，是三个不同的平面，知：
对于①，， ，由线面垂直的判定定理得 ，故①正确；
对于②， ， ， ，则与平行或异面，
故②错误；
对于③， ，， ，由线面垂直的判定定理得 ，故③正确；
对于④，若 ， ，，则与相交或平行，故④错误，故选B.
2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：
①若m∥n，n⊥β，m?α，则α⊥β；
②若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；
③若m⊥α，m⊥n，n?β，则α∥β或α⊥β；
④若α∩β＝m，n∥m，n?α，n?β，则n∥α且n∥β；
其中正确命题的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【答案】C
【解析】
【分析】
在①中，由面面垂直的判定定理得；在②中，有可能与，都不垂直；在③中，与有可能相交但不垂直；在④中，由线面平行的性质定理得且．
【详解】
由，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：
在①中，若，，，则由面面垂直的判定定理得，故①正确；
在②中，若，，，则有可能与，都不垂直，故②错误；
在③中，若，，，则与相交或平行，即与有可能相交但不垂直，故③错误；
在④中，若，，，，则由线面平行的性质定理得且，故④正确．
故选：．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
3．在空间中，α，β表示平面，m表示直线，已知α∩β=l，则下列命题正确的是( )
A．若m//l，则m与α，β都平行 B．若m与α，β都平行，则m//l
C．若m与l异面，则m与α，β都相交 D．若m与α，β都相交，则m与l异面
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间中直线与直线的位置关系，以及直线与平面的位置关系，对选项进行逐一判断即可.
【详解】
对：若m//l，则m与α，β都平行，或在平面，或者内，故错误；
对：若m与α，β都平行，容易知m//l，故正确；
对：若m与l异面，则m与α，β都相交，或与其中一个平面相交，与另一个平行，
故错误；
对：若m与α，β都相交，则m与l异面，或者与相交，故错误.
综上所述，选项正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查空间中直线与平面，直线与直线之间的位置关系，属基础题.
4．如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为
A． B．截面
C． D．异面直线与所成的角为
【答案】C
【解析】
【分析】
首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，将AC、BD平移到正方形内，即可利用平面图形知识作出判断．
【详解】
因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，
则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，
所以PQ∥AC，QM∥BD，
由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；
由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；
异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；
综上C是错误的．
故选C．
【点睛】
本题主要考查线面平行的性质与判定，考查了异面直线所成角的定义及求法，属于基础题．
5．平面∥平面的一个充分条件是（ ）
A．存在一条直线，∥，∥
B．存在一条直线，?，∥
C．存在两条平行直线，，?，?，∥，∥
D．存在两条异面直线，，?，?，∥，∥
【答案】D
【解析】
试题分析：对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A不对；
对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对；
对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对；
对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确
考点：空间线面平行的判定与性质
6．如果直线直线n，且平面，那么n与的位置关系是
A．相交 B． C． D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
利用直线与平面平行的判定定理和直线与平面平行的性质进行判断即可.
【详解】
直线直线 ,且平面，
当不在平面内时，平面内存在直线，
符合线面平行的判定定理可得平面，
当在平面内时，也符合条件，
与的位置关系是或，故选D .
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定定理以及线面平行的性质，意在考查对基本定理掌握的熟练程度，属于基础题.
7．在正四棱锥中，底面正方形的边长为1，侧棱长为2，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：连接AC，交BD于O，连接VO
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，O为BD的中点，又∵正四棱锥V-ABCD中，VB=VD
∴VO⊥BD∵AC∩VO=O，AC、VO?平面ACV∴BD⊥平面ACV∵VA?平面ACV∴BD⊥VA
即异面直线VA与BD所成角等于
考点：异面直线所成角
8．在三棱锥A﹣BCD中，∠ABC＝∠ABD＝∠CBD＝90°，BC＝BD＝BA＝1，过点A作平面α与BC，BD分别交于P，Q两点，若AB与平面α所成的角为30°，则截面APQ面积的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意画出图形，求得A到PQ的距离为定值，然后求PQ的最小值，代入三角形面积公式得答案．
【详解】
过B作BO⊥PQ，垂足为O，连接AO，如下图所示：
∵AB⊥BC，AB⊥BD，BC∩BD＝B，∴AB⊥PQ，
又BO⊥PQ，且AB∩BO＝B，∴PQ⊥平面ABO，则PQ⊥AO，
则∠BAO为AB与平面α所成的角为30°，
∵AB＝1，∴AO＝为定值．
要使截面APQ面积最小，则PQ最小，此时BO⊥PQ，
PQ的最小值为．
∴截面APQ面积的最小值是S＝．
故选：B
【点睛】
本题考查直线与平面所成角，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．
9．边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
在正方形中连接，交于点，根据正方形的性质，
在折叠图中平面，得到，从而平面，面平面，则是在平面上的射影，找到直线与平面所所成的角.然后在直角三角中求解.
【详解】
如图所示：
在正方形中连接，交于点，
在折叠图，连接，
因为，
所以平面，
所以，
又因为，
所以平面，
又因为平面，
所以平面，
则是在平面上的射影，
所以即为所求.
因为
故选：D
【点睛】
本题主要考查了折叠图问题，还考查了推理论证和空间想象的能力，属于中档题.
10．在正方体中，为的中点，为的中点，则（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
【答案】D
【解析】
【分析】
分析选项，得到正确结果.
【详解】
连结，，则为的中点，所以，因为，，，所以平面，所以平面，选D.
【点睛】
本题考查了几何体里面的线线和线面的位置关系，考查空间想象能力，以及逻辑推理能力，本题的关键是能证明.
评卷人
得分
二、填空题
11．直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成的角的余弦值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
取中点，证明，得异面直线所成的角，然后计算．
【详解】
如图，取中点，连接，，
因为，分别是，的中点，所以，，
即，∴平行四边形，，∴异面直线与所成的角为（或其补角），
在直三棱柱中，设，则由可得：
，，，
那么在等腰中．
故答案为：．
【点睛】
本题考查求异面直线所成的角，解题关键是作出异面直线所成的角．
12．已知正三棱柱的侧面积为12，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线与所成角的余弦值等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】
设正三棱柱的底面边长为，高为，球的半径为，先得出，然后，即时其外接球的表面积取最小值。然后由余弦定理即可求出
【详解】
设正三棱柱的底面边长为，高为，球的半径为，由题意知，即，
底面外接圆半径，
由球的截面圆性质知，
当且仅当时取等号，将三棱柱补成一四棱柱，如图，知，
即为异面直线与所成角或补角，，
，所以.
故答案为：
【点睛】
异面直线所成的角一般是通过平移转化成相交直线所成的角.
13．下列说法正确的有：________.
①如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
②如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
③分别在两个平行平面内的两条直线互相平行；
④过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行.
【答案】②④
【解析】
【分析】
根据平面平行的判定和性质，结合选项，进行逐一分析即可.
【详解】
对①：只有一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么有两个平面平行，
故①错误；
对②：根据平面平行的判定定理，显然成立，故②正确；
对③：在两个平行平面内的两条直线，可以平行，也可以为异面直线，故③错误；
对④：根据平面平行的判定定理，显然成立，故④正确.
综上所述，正确的有②④，
故答案为：②④.
【点睛】
本题考查平面平行的判定和性质，属基础题.
14．棱长为的正方体中，是棱的中点，过作正方体的截面，则截面的面积是_________________．
【答案】
【解析】
【分析】
由由面面平行的性质作出截面，依据图形求出面积即可．
【详解】
如图，由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，又 故梯形的高为，则其面积．
故答案为
【点睛】
考查空间中截面的作法及梯形的面积公式，注意面面平行性质的运用
15．已知球内接三棱锥中，平面ABC，为等边三角形，且边长为，又球的体积为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据正弦定理求出小圆的半径,根据球的体积求出球的半径,再根据垂径定理求得,根据勾股定理求得,,取的中点,连,可得就是直线PC与平面PAB所成的角,在直角三角形中可求得.
【详解】
如图:
由正弦定理得小圆的半径为:,则,
又由,得球的半径R,
所以,取的中点,连接, ,则就是直线PC与平面PAB所成的角,
又,
,
所以.
直线PC与平面PAB所成角的余弦值为.
【点睛】
本题考查了直线与平面所成的角,垂径定理,属中档题.
评卷人
得分
三、解答题
16．正方体的棱长为点分别是棱的中点
（1）证明：四边形是一个梯形：
（2）求几何体的表面积和体积
【答案】（1）证明见解析（2）表面积为，体积为
【解析】
【分析】
（1）在正方体中，根据分别是棱的中点，由中位线得到且，又由，根据公理4平行关系的传递性得证.
（2）几何体的表面积，上下底是直角三角形，三个侧面，有两个是全等的直角梯形，另一个是等腰梯形求解，体积按照棱台体积公式求解.
【详解】
（1）如图所示：
在正方体中，因为分别是棱的中点，
所以且，
又因为，
所以且，
所以四边形是一个梯形.
（2）几何体的表面积为：.
体积为：.
【点睛】
本题主要考查几何体中的截面问题，还考查了空间想象，抽象概括，推理论证的能力，属于中档题.
17．（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直；
（2）利用题意求得两个半平面的法向量，然后利用二面角的夹角公式可求得二面角D–AE–C的余弦值为.
试题解析：（1）由题设可得，，从而.
又是直角三角形，所以.
取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.
又由于是正三角形，故.
所以为二面角的平面角.
在中，.
又，所以，
故.
所以平面ACD⊥平面ABC.
（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则.
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得.
故.
设是平面DAE的法向量，则即
可取.
设是平面AEC的法向量，则同理可取.
则.
所以二面角D-AE-C的余弦值为.
【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算.
（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.
18．如图，在长方体中，，为的中点，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）如图，连相交于点，连，证明得到答案.
（2）如图，以点为坐标原点，向量方向分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，平面的法向量为，平面的法向量为，计算夹角得到答案.
【详解】
（1）证明：如图，连相交于点，连，
，
四边形为平行四边形，可得，
平面，平面，平面.
（2）如图，以点为坐标原点，向量方向分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.
各点坐标分别为，.
设平面的法向量为，
有，取，有；
设平面的法向量为，
有，取，有；
有，
故平面与平面所成二面角的正弦值为.
【点睛】
本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
19．如图，在直三棱柱中，，，，点、分别为与的中点.
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）连接、，可知点为的中点，利用中位线的性质可得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算出平面的一个法向量，利用空间向量法可计算出与平面所成角的正弦值.
【详解】
（1）如图，连接、，
因为三棱柱为直三棱柱，所以为的中点.
又因为为的中点，所以.
又平面，平面，所以平面；
（2）以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，得，
记与平面所成角为，则.
【点睛】
本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
20．如图①，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是CD的中点，将三角形ADE沿AE翻折到图②的位置，使得平面AED′⊥平面ABC．
（1）在线段BD'上确定点F，使得CF∥平面AED'，并证明；
（2）求△AED'与△BCD'所在平面构成的锐二面角的正切值．
【答案】（1）点F是线段BD'的中点，见解析（2）．
【解析】
【分析】
（1）取BD'的中点,记AE，BC延长线交于点M，由平面几何知识可得点C是BM的中点，可得CF∥MD'，可得CF∥平面AED'；
（2）先根据面面垂直的性质可得BE⊥平面AED'，在平面AED'内作EN⊥MD'，可得∠BNE就是△AED'与△BCD'所在平面构成的锐二面角的平面角，最后解三角形可得锐二面角的正切值.
【详解】
（1）点F是线段BD'的中点时，CF∥平面AED'．
证明：记AE，BC延长线交于点M，
∵AB＝2EC，∴点C是BM的中点，
∴CF∥MD'，而MD'在平面AED'内，CF在平面AED'外，
∴CF∥平面AED'；
（2）在矩形ABCD中，AB＝2，CD＝1，BE⊥AE，
∵平面AED'⊥平面ABC，且交线是AE，∴BE⊥平面AED'，
在平面AED'内作EN⊥MD'，连接BN，则BN⊥MD′．
∴∠BNE就是△AED'与△BCD'所在平面构成的锐二面角的平面角，
求解三角形可得，，
∴．
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定与性质及二面角的求法，属于基础题型，注意灵活运用各定理解题.
21．在三棱柱中，侧面底面，，且点为中点.
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）1.
【解析】
试题分析：（1）利用等腰三角形的性质可得，利用面面垂直的性质可得平面，根据线面垂直的性质可得结论；（2）先证明平面，可得到平面的距离等于到平面的距离，利用等积变换及棱锥的体积公式可得 .
试题解析：（1）∵，且为的中点.
∴.
又∵平面平面，平面平面，
且平面，
∴平面.
∵平面，
∴.
（2）∵，平面，平面，
∴平面.
即到平面的距离等于到平面的距离.
由（1）知平面且.
∴三棱锥的体积：
.
