湖南省2020年普通高中学业水平合格性考试模拟试卷数学试题（Word版含答案）

湖南省2020年普通高中学业水平合格性考试模拟试卷
数 学 试 题
时间：90分钟　满分：100分
一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分，）.
1．一个年级有12个班，每个班有学生50名，并从1至50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下进行交流，这里运用的是 （ ）
A．分层抽样 B．抽签抽样 C．随机抽样 D．系统抽样
2．设全集，集合，则集合= （ ）
A．　　 B. C． 　D．
３．已知a、b是两条异面直线，直线c∥a，那么c与b的位置关系 （ ）
A．一定是异面 B．一定是相交 C．不可能平行 D．不可能相交
4．已知函数，则= （ ）
A． B． C． D．
5．已知倾斜角为θ的直线，与直线垂直，则= （ ）
A． B． C． D．
6．设,则有 （ ）
A．M>N B． M≥N C．M7．在△中，︰︰＝1︰2︰3，则︰︰等于 （ ）
A．1︰2︰3　　　 B．3︰2︰1　 C．1︰︰2　　D．2︰︰1
8．已知函数，则该函数是 （ ）
A．偶函数，且单调递增 B．奇函数，且单调递增
C．偶函数，且单调递减 D．奇函数，且单调递减
9．如图，在△中，已知则= （ ）
A． B．
C． D．

（第９题图）
10．已知函数 的图象上相邻两个最高点的距离为．若将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称．则函数的解析式为 （ ）
A． 　　　B．
C． D．
二、填空题（本小题共5小题，每小题4分，共20分）
11.函数（a＞0且）的图象恒过定点P,，点P的坐标为 ．
12.设等差数列的前项和为，若，则＝　　　　　　．
13．如图,在长方体中,底面是边长为２的正方形，棱长为，则二面角的大小是　　　　 　　　度.
14．已知A、B、C为△ABC的三内角，若，则＝　　　 　．
15.若正实数x，y满足，且＞恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　．
三、解答题（本大题共4小题，满分40分，解答须写出文字说明、证明过程或演算过程）
16．（本小题满分10分）
已知向量.
(1) 已知∥且,求；
(2)若，写出的单调递减区间.
17.（本小题满分10分）某公司随机收集了该公司所生产的四类产品的有关售后调查数据，经分类整理得到下表：
产品类型
甲
乙
丙
丁
产品件数
100
50
200
150
使用满意率
0.9
0.7
0.8
0.5
使用满意率是指：一类产品销售中获得用户满意评价的件数与该类产品的件数的比值.
（1）从公司收集的这些产品中随机选取1件，求这件产品是获得用户满意评价的丙类产品的概率；
（2）假设该公司的甲类产品共销售10000件，试估计这些销售的甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数.
18．（本小题满分10分）
设数列是公比为正数的等比数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的前项和．
19．（本小题满分10分）
已知圆和圆．
（1）判断圆和圆的位置关系；
（2）过圆的圆心作圆的切线，求切线的方程；
（3）过圆的圆心作斜率存在的动直线交圆于A，B两点．试问：在以AB为直径的所有圆中，是否存在这样的圆，使得圆经过点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
数学答案
一、选择题：DDCAC ACBBA
二、填空题：
11.（2，8） 12.65 13. 45 14. 15.（－1，4）
三、解答题
16. 解:(1)∵ ∥ ∴ cos×sin―sincos=0,即sinx=0,
∵ x∈[0,] ∴ x=0 ---------------------------------------------5分
(2) ＝·=coscos+sinsin=cosx
的单调递减区间为，---------------------------------------------10分
17. 【答案】（1）；（2）1000件.
【详解】（1）由题意知，样本中公司的产品总件数为：
丙类产品中获得用户满意评价的产品件数为：
所求概率为： ---------------------------------------------5分
（2）在样本件甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数是：
则不能获得用户满意评价的件数占比为：
该公司的甲类产品共销售了件
这些甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数是：件
---------------------------------------------10分
18. 解：（1）设数列的公比为，由，，
得，即．
解得或，-----------------------------------------------------------------------３分
∵∴不合舍去，∴；------------------------------------------5分
（2）由得
，----------------------------------------6分
∴数列是首项公差的等差数列，-----------------------------------7分
∴
．-------------------------------------10分
19.
---------------------------------------------------------------2分
----------------------------------------------------------------5分
----------------------------------------------------------------6分
设，则有 ①
综上，在以AB为直径的所有圆中，存在圆：
，使得圆经过点．
----------------------------------------------------------------10分