高中数学北师大版必修5第三章不等式3.1基本不等式柯西不等式(共16张PPT)

(共16张PPT)
柯西不等式
------二维形式的柯西不等式
问题：设平面上两个向量为α＝(a1，a2)，β＝(b1，b2)，如何证明|α||β|≥|α·β|?
∴|α||β|≥|α·β|，等号成立的充要条件为α＝λβ (λ≠0).
1.二维形式的柯西不等式
定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥ ，当且仅当ad＝bc时，等号成立.

(ac＋bd)2
|ac＋bd|
2.柯西不等式的向量形式
定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.
要点一　利用柯西不等式证明不等式
已知a，b∈R＋，且a＋b＝1.求证：(ax＋by)2≤ax2＋by2.
则|ax＋by|＝|m·n|≤|m|·|n|
∴(ax＋by)2≤ax2＋by2.
规律方法　二维形式的柯西不等式可以理解为四个数对应的一种不等关系，对谁与谁组合是有顺序的，不是任意的搭配，因此要仔细体会，加强记忆.例如，(a2＋b2)·(d2＋c2)≥(ac＋bd)2是错误的，而应有(a2＋b2)(d2＋c2)≥(ad＋bc)2.
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要点二　利用柯西不等式求函数的最值
规律方法　利用柯西不等式求最值
①先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；
②有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；
③有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.
1.已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是(　　)
跟踪演练3
方法二　因为x＋y＝1，所以利用柯西不等式得
答案　B
课堂小结
1.利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，应用时要对照柯西不等式的原型，进行多角度的尝试.
2.柯西不等式取等号的条件也不容易记忆，如(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2等号成立的条件是ad＝bc，可以把a，b，c，d看作成等比，则ad＝bc来联想记忆.