2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系
【基础练习】
1．若a，b是异面直线且a∥平面α，则b与α的位置关系是( )
A．b∥α B．相交
C．b?α D．b?α、相交或平行
【答案】D
【解析】如图所示，选D．
2．直线a在平面γ外，则( )
A．a∥γ
B．a与γ至少有一个公共点
C．a∩γ＝A
D．a与γ至多有一个公共点
【答案】D
【解析】直线a在平面γ外，其包括直线a与平面γ相交或平行两层含义，故a与γ至多有一个公共点．
3．有一木块如图所示，点P在平面A′C′内，棱BC平行平面A′C′，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，则N的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．无数
【答案】B
【解析】∵BC∥平面A′C′，∴BC∥B′C′.在平面A′C′上过P作EF∥B′C′，则EF∥BC，过EF，BC所确定的平面锯开即可，又由于此平面唯一确定，∴只有一种方法．
4．(2019年吉林通化期末)以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)：
①若a∥b，b?α，则a∥α； ②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b∥α，则a∥α； ④若a∥α，b?α，则a∥b.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】A
【解析】如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，CD∥AB，AB?平面ABCD，但CD?平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC?平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．
5．已知不重合的直线a，b和平面α.
①若a∥α，b?α，则a∥b；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b?α，则a∥α；
④若a∥b，a∥α，则b∥α或b?α.
上面命题中正确的是________．(填序号)
【答案】④
【解析】①若a∥α，b?α，则a，b平行或异面；②若a∥α，b∥α，则a，b平行、相交、异面都有可能；③若a∥b，b?α，则a∥α或a?α.
6．下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.
其中错误命题的序号为________．
【答案】①②
【解析】对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．
7．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，求：
(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；
(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；
(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系．
【解析】(1)AM所在的直线与平面ABCD相交；
(2)CN所在的直线与平面ABCD相交；
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行；
(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交．
8．已知一条直线与一个平面平行，求证：经过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内．
【解析】已知：a∥α，A∈α，A∈b，b∥a.
求证：b?α.
证明：如图，∵a∥α，A∈α，∴A?a.
∴由A和a可确定一个平面β，则A∈β.
∴α与β相交于过点A的直线．
设α∩β＝c，由a∥α知a与α无公共点，而c?α，∴a与c无公共点．
∵a?β，c?β，∴a∥c.又已知a∥b且A∈b，A∈c，
∴b与c重合．∴b?α.
【能力提升】
9．对于任意的直线l和平面α，在平面α内必有直线m，使m和l( )
A．平行 B．相交
C．垂直 D．异面
【答案】C
【解析】若l∥α，则直线l与平面α无公共点，因此，直线l与平面α内的直线无公共点，即直线l与平面α内的所有直线均不相交；若l?α，则直线l和平面α内的直线共面，因此，直线l与平面α内的所有直线不能是异面直线；若l∩α＝A，则直线l和平面α内的直线相交或异面．因此，直线l与平面α内的所有直线不平行．所以选项A，B，D都不正确．故选C．
10．给出下列几个说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过平面
外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行．其中正确说法的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【解析】①当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故①错；②由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故②错；③过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故③错；④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故④对．
11．下列命题正确的是________．(填序号)
①如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；②若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β；③若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∩β＝b，a?α，则a与β一定相交．
【答案】①③
【解析】对于①，把一直角三角板的一直角边放在桌面内，让另一直角边抬起，即另一直角边与桌面的位置关系是相交，可以得出在桌面内与直角边所在的直线平行的直线与另一直角边垂直，命题①正确；对于②，α，β也可能相交，②不正确；对于③，当a与b相交，则α与β相交与条件矛盾，③正确；对于④，当a与b重合时，a在β内，当a∥b时，a∥β，当a与b相交时，a与β相交，④不正确．
12．如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β且A?l，B?l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．
【解析】平面ABC与β的交线与l相交．证明如下：
∵AB与l不平行且AB?α，l?α，
∴AB与l一定相交．设AB∩l＝P，
则P∈AB，P∈l.
又AB?平面ABC，l?β，∴P∈平面ABC，P∈β.
∴点P是平面ABC与β的一个公共点．而点C也是平面ABC与β的一个公共点且P，C是不同的两点，
∴直线PC就是平面ABC与β的交线，
即平面ABC∩β＝PC.而PC∩l＝P，
∴平面ABC与β的交线与l相交．
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(共31张PPT)
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
目标定位 重点难点
1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示．
2．了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示. 重点：空间中直线与平面之间位置关系的理解．
难点：空间中直线与平面、平面与平面之间位置关系的理解.
1．直线与平面的位置关系
无数个
一个
没有
2．两个平面的位置关系
α∥β
没有公共点
α∩β＝l
无数
1．判一判．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线l与平面α不相交，则直线l与平面α平行．( )
(2)如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b.( )
(3)如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α.( )
【答案】(1)× (2)× (3)√
2．做一做．(请把正确的答案写在横线上)
(1)点A∈α，B?α，C?α，则平面ABC与平面α的位置关系是______．
(2)空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有________条．
【答案】(1)相交 (2)1或3
3．思一思：已知平面α，β，直线a，b且α∥β，a?α，b?β，则直线a与直线b具有怎样的位置关系？
【解析】a与b有两种位置关系，平行或异面，因为a，b分别在两个平行平面内，所以a与b没有公共点，故平行或异面.
【例1】 下列命题中，正确命题的个数是( )
①如果a，b是两条平行直线，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b；
④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α；
直线与平面位置关系的判断与应用
⑤如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.
A．0 B．1
C．2 D．3
【解题探究】借助几何图形，根据直线与平面的位置关系对每一个说法逐一判断．
【答案】C
【解析】如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC?平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故②不正确；AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′与A′D′相交，故③不正确；④中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，故④正确；⑤显然正确．故选C．
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空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．
1．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有______条．
【答案】6
【解析】过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．
【例2】 (1)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
(2)与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是________．
平面与平面的位置关系
【解题探究】(1)分别画出满足条件的图形，判断两个平面的位置关系．(2)以长方体为模型观察，得出直线与这两个平面的关系．
【答案】(1)C (2)至少与一个平面平行
8
两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交且交线为l，记作α∩β＝l.
2．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．
【答案】4 6
【解析】六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共由8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．
【例3】 已知：直线a∥b，a∩平面α＝P.求证：直线b与平面α相交．
【解题探究】解答此类问题要首先把符号语言转化为图形语言，即依据题意作图，然后根据已知条件证明，若直接证明较困难，则宜采用反证法．
线面位置关系的证明
【解析】如右图，
∵a∥b，
∴a和b确定平面β.
∵a∩α＝P，
∴平面α和平面β相交于过P点的直线l.
∵在平面β内，l和两条平行直线a，b中的一条直线a相交， ∴l必和b相交于Q，即b∩l＝Q.
又b不在平面α内(若b在 α内，则α和β都过两相交直线b和l，因此α和β重合)，l在α内，故直线b和平面α 相交．
8
应用反证法证题时，要全面考虑反面的各种情况，逐一推出矛盾进行排除，具体步骤为：①假设结论不成立；②归谬；③否定假设，肯定结论．
3．如果一条直线经过平面内的一点，又经过平面外的一点，则此直线和平面相交．
已知：A∈α，A∈a，B?α，B∈a.
求证：直线a与平面α相交.
【证明】假设直线a和平面α不相交，则a∥α或a?α.
假设a∥α，就与A∈α，A∈a矛盾；
假设a?α，就与B?α，B∈a矛盾.
∴假设不成立．∴直线a与平面α相交．
【示例】设P是异面直线a，b外的一点，则过P与a，b都平行的平面( )
A．有且只有一个 B．恰有两个
C．没有或只有一个 D．有无数个
判断位置关系时考虑不全面致误
【错因】错解是因为对空间概念理解不透彻，对P点位置没有做全面地分析，只考虑了一般情况，而忽略了特殊情形．事实上，当直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或a)平行时，与a，b都平行的平面就不存在了．
【正解】C
【警示】对于空间中的线面和面面位置关系问题，应注意结合实例，全面考虑，认真分析，才能避免判断失误．
1．正方体的六个面中互相平行的平面有( )
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
【答案】B
【解析】正方体中相对的3对平面相互平行．
2．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．
①a∥c，b∥c?a∥b；
②a∥c，c∥α?a∥α；
③a∥β，a∥α?α∥β；
④a?α，b?α，a∥b?a∥α.
其中正确命题的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】A
【解析】由公理4，知①正确；对于②，可能a∥α，也可能a?α；对于③，α与β可能平行，也可能相交；对于④，若a与α相交，由b?α可得a，b相交或异面，不满足a∥b，故a∥α.
3．平面α∥平面β，直线a?α，则a与β的位置关系是________．
【答案】a∥β
4．三个平面α，β，γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b且直线c?β，c∥b.
(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；
(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．
【解析】(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点．
又c?β，所以c与α无公共点，则c∥α.
(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点．
又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a?α，b?β且a，b?γ，所以a，b没有公共点．由于a，b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
【基础练习】
1．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )
A．平行或异面 B．相交或异面
C．异面 D．相交
【答案】B
【解析】假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行(否则c∥b，则有a∥b，矛盾)．因此c与b可能相交或异面．
2．如图所示，在三棱锥S－MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
【答案】A
【解析】∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.
3．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为( )
A．相交
B．平行
C．异面而且垂直
D．异面但不垂直
【答案】D
【解析】将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D．
4．下列命题：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
正确的结论有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】对于①，这两个角也可能互补，故①错；对于②，正确；对于③，如图所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角既不一定相等，也不一定互补，故③错；对于④，由公理4可知正确．故②④正确，所以正确的结论有2个．
5．空间中有一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________.
【答案】70°或110°
【解析】∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°.又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.
6．(2018年湖南张家界期末)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是________．
【答案】90°
【解析】设BB1＝1，如图，延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝，B1C2＝，AC2＝，所以AC＝AB＋B1C，则∠AB1C2＝90°.
7．如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．
【证明】设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.
∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.
又在矩形A1B1C1D1中，
A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1.
∴四边形EQC1B1为平行四边形．∴B1E綊C1Q.
又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，∴QD綊C1F.
∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q綊DF.
又∵B1E綊C1Q，∴B1E綊DF.
∴四边形B1EDF为平行四边形．
【能力提升】
8．在空间中有四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
【答案】D
【解析】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取l1为BC，l2为CC1，l3为C1D1.满足l1⊥l2，l2⊥l3.若取l4为A1D1，则有l1∥l4；若取l4为DD1，则有l1⊥l4.因此l1与l4的位置关系不确定，故选D．
9．已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a，b所成的角都是30°的直线有且仅有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
【答案】B
【解析】过空间一点P，作a′∥a，b′∥b.由a′，b′两交线确定平面α，a′与b′的夹角为50°，则过角的平分线与直线a′，b′所在的平面α垂直的平面上，角平分线的左右两侧各有一条直线与a′，b′成30°的角，即与a，b成角为30°且过点P的直线有两条．在a′，b′相交另一个130°的角部分内不存在与a′，b′成30°的直线．故选B．
10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．
【答案】90°
【解析】如图，取CN的中点K，连接MK，则MK为△CDN的中位线，∴MK∥DN.∴∠A1MK(或其补角)为异面直线A1M与DN所成的角．连接A1C1，AM.设正方体棱长为4，则A1K＝＝，MK＝DN＝＝，A1M＝＝6，∴A1M2＋MK2＝A1K2，∴∠A1MK＝90°.
11．正三棱锥S－ABC的侧棱长与底面边长都为a，E，F分别是SC，AB的中点，求直线EF和SA所成的角．
【解析】如图，取SB的中点G，连接EG，GF，SF，CF.
在△SAB中，F，G分别是AB，SB的中点，∴FG∥SA，且FG＝SA.
∴异面直线SA与EF所成的角就是直线EF与FG所成的角．
在△SAB中，SA＝SB＝a，AF＝FB＝a，∴SF⊥AB，且SF＝a.
同理可得CF⊥AB，且CF＝a.
在△SFC中，SF＝CF＝a，SE＝EC，∴FE⊥SC且FE＝＝a.
在△SAB中，FG是中位线，∴FG＝SA＝.
在△SBC中，GE是中位线，∴GE＝BC＝.
在△EGF中，FG2＋GE2＝＝FE2，
∴△EGF是以∠FGE为直角的等腰直角三角形，
∴∠EFG＝45°.
∴异面直线SA与EF所成的角为45°.
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(共37张PPT)
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
目标定位 重点难点
1.会判断空间两直线的位置关系．
2．理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角．
3．能用公理4解决一些简单的相关问题. 重点：公理4及其应用和异面直线所成角的求法．
难点：定理的应用及异面直线所成角的求法.
1．空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三种．
(1)若从公共点的数目分，可以分为
①只有一个公共点——________.
相交
平行
异面
相交
平行
异面
不同在任何一个平面内
平行线的传递性
a∥c
4．等角定理
空间中如果两个角的两边分别________，那么这两个角________或________．
5．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的______(或______)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)异面直线所成的角θ的取值范围：___________.
(3)当θ＝________时，a与b互相垂直，记作________．
平行
相等
互补
锐角
直角
(0°，90°]
90°
a⊥b
1．判一判．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分别在两个平面内的直线一定为异面直线．( )
(2)两条直线垂直，则一定相交．( )
(3)两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．( )
【答案】(1)× (2)× (3)×
2．做一做．(请把正确的答案写在横线上)
若正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在棱BC上且∠BAE＝25°.
(1)写出下列直线的位置关系：AE与DD1是________直线；A1B1与CD是________直线．
(2)异面直线AE与B1C1所成的角的大小为________．
【答案】(1)异面 平行 (2)65°
3．思一思：已知直线a，b是两条异面直线，在空间中任取一点O，作直线a′∥a，b′∥b，那么直线a′，b′所成的角等于异面直线a，b所成的角吗？
【解析】根据定理可知a′与b′所成的角等于a，b所成的角．
【例1】 (1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A．l至少与l1，l2中的一条相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l与l1，l2都不相交
空间两条直线的位置关系
(2)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系．
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
④直线AB与直线B1C的位置关系是________．
【解题探究】(1)本题考查直线，平面的位置关系，可利用反证法证明．
(2)先判断各对直线是否共面，再判断具体位置关系.
【答案】(1)A (2)①平行 ②异面 ③相交 ④异面
【解析】(1)假设l和l1，l2都不相交，∵l和l1，l2都共面，∴l和l1，l2都平行．∴l1∥l2.∴l1和l2共面．这与已知l1和l2异面相矛盾，故假设不成立，即l至少与l1，l2中的一条相交．故选A.
(2)①因为直线A1D1与BC平行且相等，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以直线A1B与直线D1C平行；②点A1，B1，B在平面ABB1A1内，而点C不在平面ABB1A1内，所以直线A1B与直线B1C异面；③直线D1D与D1C相交于D1；④同②，直线AB与直线B1C也是异面直线.
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(1)判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．
(2)判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．
1．(1)一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．相交或异面
(2)若直线a，b，c满足a∥b，a，c异面，则b与c( )
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
【答案】(1)D (2)C
【解析】(1)∵一条直线和两条平行直线中的一条是异面直线，∴它和另一条直线不可能平行，故它和另一条直线的位置关系是相交或异面．
(2)若a∥b，a，c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知a∥c.
【例2】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．求证：
(1)四边形BB1M1M为平行四边形；
(2)∠BMC＝∠B1M1C1.
平行公理与等角定理的应用
【解题探究】(1)利用公理4，证明两直线平行于同一直线，再说明两对边相等．(2)由平面几何知识判定两角相等还是互补.
(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.
由平面几何知识可知∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
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(1)空间两条直线平行的证明：一是定义法，即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如梯形、中位线、平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4，找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
(2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般要借助于图形判断是相等还是互补．
2．如图，已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：
(1)四边形MNA1C1是梯形；
(2)∠DNM＝∠D1A1C1.
(2)由(1)可知MN∥A1C1.
又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．
而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1.
求异面直线所成的角
(1)异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点．
(2)求异面直线所成的角的一般步骤为：①作角，平移成相交直线；②证明，用定义证明前一步的角为所求；③计算，在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围．
3．已知ABCD－A1B1C1D1是正方体，求异面直线A1C1与B1C所成角的大小．
【解析】如图所示，连接A1D和C1D，
∵B1C∥A1D，∴∠DA1C1或其补角即为异面直线A1C1与B1C所成的角．
∵A1D，A1C1，C1D为正方体各面上的对角线，
∴A1D＝A1C1＝C1D.
∴△A1C1D为等边三角形，即∠C1A1D＝60°.
∴异面直线A1C1与B1C所成的角为60°.
【示例】设点P是直线a外一定点，过点P与a成30°角的异面直线有( )
A．无数条 B．两条
C．至多有两条 D．一条
【错解】B
【错因】错误产生的原因是局限在平面内了，而我们现在研究的平台是三维空间．
没有形成立体感考虑问题易出错
【正解】如图，与a成30°角的圆锥面上的母线有无数条，若过P点的直线与该圆锥面上的任意一条母线平行，则该直线与a成30°角．
【答案】A
【警示】在解立体几何问题时，应时刻注意解题的平台是空间图形，不能只是考虑平面图形的情况．
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．
2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角为θ且0°<θ≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．
1．不平行的两条直线的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．相交或异面
【答案】D
【解析】若两直线不平行，则直线可能相交或异面．
2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )
A．30° B．30°或150°
C．150° D．以上结论都不对
【答案】B
【解析】∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，∴∠PQR＝30°或150°.
3．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的图是________．(填序号)
【答案】③
【解析】①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．
4．如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角．
2.1.1 平面
【基础练习】
1．下面给出了三个条件：
①空间三个点；
②一条直线和一个点；
③和直线a都相交的两条直线．
其中，能确定一个平面的条件有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】A
【解析】①空间三点共线时不能确定一个平面．②点在直线上时不能确定一个平面．③两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面．故选A．
2．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为( )
A．M∈a，a∈α B．M∈a，a?α
C．M?a，a?α D．M?a，a∈α
【答案】B
【解析】根据点与线、线与面之间位置关系的符号表示可知B正确．
3．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，那么( )
A．M一定在直线AC上
B．M一定在直线BD上
C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上
【答案】A
【解析】点M一定在平面ABC与平面CDA的交线AC上．
4．如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C?l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过( )
A．点A
B．点B
C．点C，但不过点D
D．点C和点D
【答案】D
【解析】根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D．
5．设平面α与平面β相交于l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则M________l.
【答案】∈
【解析】因为a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.因为α∩β＝l，所以M∈l.
6．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．
【答案】共线
【解析】∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB?β，∴O∈直线CD，即O，C，D三点共线．
7．如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
【解析】(1)α∩β＝l，m?α，n?β，l∩n＝P.
(2)α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∩γ＝O，b∩c＝O.
8．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．
【证明】∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β.
又AB∩α＝E，AB?β，∴E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．
同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．
∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E，F，G，H四点必定共线．
【能力提升】
9．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是( )
【答案】D
【解析】在选项A，B，C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质知均有PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面．故选D．
10．下列说法中正确的是( )
A．空间不同的三点确定一个平面
B．空间两两相交的三条直线确定一个平面
C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形
D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内
【答案】D
【解析】A错误．空间中共线的三点不能确定一个平面．B错误．空间两两相交的三条直线交于同一点时，无法确定一个平面．C错误．空间中四个点不一定共面，有三个角为直角的四边形可能是空间图形．D正确．
11．正方体各面所在平面将空间分成________部分．
【答案】27
【解析】如图，上下底面所在平面把空间分成三部分；左右两个侧面所在平面将上面的每一部分再分成三个部分；前后两个侧面再将第二步得到的9部分的每一部分分成三部分，共9×3＝27部分．
12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：
(1)E，F，D1，C四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
【证明】(1)如图，分别连接EF，A1B，D1C.
∵E，F分别是AB和AA1的中点，
∴EF綊A1B.又A1D1綊B1C1綊BC，
∴四边形A1D1CB为平行四边形．
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.
∴EF与CD1确定一个平面．
∴E，F，D1，C四点共面．
(2)∵EF綊CD1，∴直线D1F和CE必相交．
设D1F∩CE＝P，∵D1F?平面AA1D1D，P∈D1F，
∴P∈平面AA1D1D.
又CE?平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD.
∴P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．
又平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，
∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．
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(共36张PPT)
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
目标定位 重点难点
1.了解平面的概念及表示方法．
2．理解平面的公理1，公理2，公理3.
3．会用符号语言准确表述几何对象的位置关系. 重点：平面的概念及表示方法，平面的基本性质．
难点：平面基本性质的掌握与运用.
1．平面的概念
(1)几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是__________的．
(2)平面的画法
①水平放置的平面通常画成一个______________，它的锐角通常画成45°且横边长等于其邻边长的________，如图①.
无限延展
平行四边形
2倍
②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用________画出来．如图②.
(3)平面的表示法
图①的平面可表示为平面α，平面ABCD，平面AC或平面BD．
虚线
2．点、线、面之间的关系
(1)直线在平面内的概念
如果直线l上的________都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.
所有点
(2)一些文字语言与数学符号的对应关系
A∈l
A?l
A∈α
A?α
l?α
l?α
文字语言表达 数学符号表示 文字语言表达 数学符号表示
点A在直线l上 ________ 点A在直线l外 ________
点A在平面α内 ________ 点A在平面α外 ________
直线l在平面α内 ________ 直线l在平面α外 ________
直线l，m相交于点A l∩m＝A 平面α，β相交于直线l α∩β＝l
3．平面的基本性质及作用
两点
l?α
有且
只有
1．判一判．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平行四边形是一个平面．( )
(2)两个平面的交线可能是一条线段．( )
(3)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线．( )
【答案】(1)× (2)× (3)×
2．做一做．(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知平面α∩β＝l，△ABC的三边中，AB?α，AC?β，则顶点A与直线l的位置关系是________．
(2)下列命题：①课桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确的命题序号是________．
【答案】(1)A∈l (2)④
3．思一思：若平面α与平面β相交于直线l，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B与l什么关系？
【解析】因为A，B∈α且A，B∈β，所以A，B∈l.所以点A，B在α与β的交线l上．
【例1】 用符号语言表示下列语句，并画出图形：
(1)三个平面α，β，γ相交于一点P且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC．
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC．
三种语言之间的转换
【解析】 (1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图①.
(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图②.
① ②
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(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
1．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m∩α＝A，A?l；(3)P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α.
【解析】(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.
(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A且点A不在直线l上，如图②.
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③.
【例2】 证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
【解题探究】
点、线共面问题
【解析】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
证法1：(纳入平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又l2?α，∴B∈α.
同理可证C∈α.
又B∈l3，C∈l3，∴l3?α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
证法2：(辅助平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
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证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”．
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”．
(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．
2．已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.
【证明】由已知a∥b，∴过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α且A∈l，B∈l.
∴l?α，即过a，b，l有且只有一个平面．
【例3】 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：P，Q，R三点共线．
点共线、线共点问题
【解题探究】由题目可获取以下主要信息： ①三线AB，AC，BC在平面α外；②三线均与面α相交．解答本题可先证明P，Q，R三点在面ABC内，又在面α内，再利用公理3从而证得三点共线.
【证明】∵AP∩AR＝A,
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
∵AB∩α＝P，AC∩α＝R,
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.
又Q∈平面APR，Q∈α，
∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．
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(1)解决点共线问题的两种常用方法：一是首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；二是选择其中两点，确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．
(2)证明三线共点问题的基本方法：先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点．常结合公理3，证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点．
3．已知平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点．
【证明】如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.
∵l1?β，l2?β，且l1，l2不平行，
∴l1与l2必相交．
设l1∩l2＝P，则P∈l1?α，P∈l2?γ，
∴P∈α∩γ＝l3.
∴l1，l2，l3相交于一点P.
【示例】空间中四点，如果任意三点都不共线，那么由这四个点可以确定多少个平面？
【错解】因为不共线的三点确定一个平面，所以由题设条件中的四点可确定四个平面.
【错因】忽略了四个点在同一个平面上的可能．
【正解】一个或者是四个
对于条件所给的点的位置关系考虑不全面
【警示】空间中任意三点都不共线的四点有两种位置关系：一种是任意不共线的三点所确定的平面过第四个点，此时，这四个点只能确定一个平面；另一种是任意不共面的三点所确定的平面不过第四个点，此时，这四个点可确定四个平面．
1．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，由符号语言作出直观图时，要注意实虚线的标注．
2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想．
1．下列命题正确的是( )
A．一条直线和一点确定一个平面
B．两条相交直线确定一个平面
C．四点确定一个平面
D．三条平行直线确定一个平面
【答案】B
【解析】根据一条直线和直线外的一点确定一个平面，知A不正确；B显然正确；C中四点不一定共面，故C不正确；三条平行直线不一定共面，故D不正确．故选B．
2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交 B．重合
C．相交或重合 D．以上都不对
【答案】C
【解析】若三个点在同一直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合．
3．在空间给出下列命题(设α，β表示平面，l表示直线，A，B，C表示点)其中真命题有( )
(1)若A∈l，A∈α，B∈α，B∈l，则l?α
(2)A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB
(3)若l?α，A∈l，则A?α
(4)若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】由公理可知，(1)，(2)，(4)正确．若l?α，A∈l，则A?α或A∈α，故(3)错误．故选C．
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条．
【答案】5
【解析】作图并观察可知既与AB共面，又与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．
