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(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．A
B D．A>B
2．不等式组的解集为( )
A．[－4，－3] B．[－4，－2]
C．[－3，－2] D．?
3．不等式(x－1)≥0的解集是( )
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x＝－2} D．{x|x≤－2或x＝1}
4．不等式组所表示的平面区域是( )
5．设a，b是两个实数，且a≠b，有如下三个式子：①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③＋>2.其中恒成立的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
6．若－4A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
7．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A. B．4
C. D．5
8．设变量x，y满足若目标函数z＝x－y＋1的最小值为0，则m的值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
9．已知正数x，y满足则z＝4－x·y的最小值为( )
A．1 B.
C. D.
10.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大( )
A．3 B．4
C．5 D．6
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B是A，C的等差中项，且不等式－x2＋8x－12>0的解集为{x|aA. B．2
C．3 D．4
12．已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取到最大值，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．若关于x的不等式ax2＋6x－a2<0的解集是(－∞，1)∪(m，＋∞)，则实数m＝________.
14．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
15．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
16．若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)解下列不等式(组)：
(1) (2)6－2x≤x2－3x<18.
18．(12分)已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.求证：＋＋<＋＋.
19．(12分)已知f(x)＝x2－x＋1.
(1)当a＝时，解不等式f(x)≤0；
(2)若a>0，解关于x的不等式f(x)≤0.
20．(12分)某镇计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
21．(12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)．
(1)若不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，求a，b的值；
(2)若f(1)＝4，a>0，b>0，求＋的最小值．
22．(12分)某公司计划在2018年同时出售变频空调和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润最大．已知这两种产品的直接限制因素是资金和劳动力，经调查，得到这两种产品的有关数据如下表：
每台产品所需资金(百元) 月投入资金(百元)
空调 洗衣机
成本 30 20 300
劳动力(工资) 5 10 110
利润 6 8
试问：怎样确定两种产品的月供应量，才能使总利润最大？最大利润是多少？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．AB D．A>B
解析：选B ∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝2＋b2≥0，∴A≥B.
2．不等式组的解集为( )
A．[－4，－3] B．[－4，－2]
C．[－3，－2] D．?
解析：选A ???－4≤x≤－3.
3．不等式(x－1)≥0的解集是( )
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x＝－2} D．{x|x≤－2或x＝1}
解析：选C 当x＝－2时，0≥0成立．当x>－2时，原不等式变为x－1≥0，即x≥1.
∴不等式的解集为{x|x≥1或x＝－2}．
4．不等式组所表示的平面区域是( )
解析：选D 不等式x－y＋5≥0表示的区域为直线x－y＋5＝0及其右下方的区域，不等式x＋y＋1>0表示的区域为直线x＋y＋1＝0右上方的区域，故不等式组表示的平面区域为选项D.
5．设a，b是两个实数，且a≠b，有如下三个式子：①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③＋>2.其中恒成立的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选B ①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)>0不恒成立；②(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；③＋>2或＋≤－2，③式也不恒成立．故选B.
6．若－4A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
解析：选D f(x)＝＝，
又∵－40.
∴f(x)＝－≤－1.
当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．
7．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A. B．4
C. D．5
解析：选C ∵a＋b＝2，∴＝1.
∴＋＝·
＝＋≥＋2 ＝
.
故y＝＋的最小值为.
8．设变量x，y满足若目标函数z＝x－y＋1的最小值为0，则m的值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选B 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝x－y＋1，得y＝x＋1－z，这是斜率为1，截距为1－z的一族平行直线，当直线过点A时，截距最大，此时z最小且最小值为0.
由解得
即A(2,3)，点A在直线x＋y＝m上，代入得m＝2＋3＝5，故选B.
9．已知正数x，y满足则z＝4－x·y的最小值为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选C z＝4－x·y＝2－2x－y.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
易知当直线m＝－2x－y经过点A时，m取得最小值．
由得A(1,2)，所以zmin＝2－2×1－2＝，故选C.
10.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C 求得函数式为y＝－(x－6)2＋11，则营运的年平均利润＝＝12－≤12－2＝2，此时x＝，解得x＝5.
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B是A，C的等差中项，且不等式－x2＋8x－12>0的解集为{x|aA. B．2
C．3 D．4
解析：选C 在△ABC中，B是A，C的等差中项，∴2B＝A＋C＝π－B，解得B＝.－x2＋8x－12>0，即x2－8x＋12<0，解得20的解集为{x|a12．已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取到最大值，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大值，所以－a<－，即a>，故实数a的取值范围是.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．若关于x的不等式ax2＋6x－a2<0的解集是(－∞，1)∪(m，＋∞)，则实数m＝________.
解析：∵关于x的不等式ax2＋6x－a2<0的解集为(－∞，1)∪(m，＋∞)，
∴方程ax2＋6x－a2＝0的两个实数根分别为1和m，且m>1，
由根与系数的关系得解得m＝2或m＝－3，∴m＝2.
答案：2
14．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
解析：ab＝a＋b＋3≥2＋3，
所以(－3)(＋1)≥0，
所以≥3，所以ab≥9.
答案：[9，＋∞)
15．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x2＋mx＋4，要使x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．则有即解得m≤－5.
答案：(－∞，－5]
16．(2018·全国卷Ⅲ)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．
由z＝x＋y得y＝－3x＋3z，作出直线y＝－3x，并平移该直线，当直线y＝－3x＋3z过点A(2,3)时，目标函数z＝x＋y取得最大值，zmax＝2＋×3＝3.
答案：3
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)解下列不等式(组)：
(1)
(2)6－2x≤x2－3x<18.
解：(1)原不等式组可化为即0(2)原不等式等价于即
因式分解，得所以
所以－3所以不等式的解集为{x|－318．(12分)已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.求证：＋＋<＋＋.
证明：因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，
所以＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
以上三个不等式相加，得2≥2(＋＋)，即＋＋≥＋＋.
因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不都成立．
所以＋＋<＋＋.
19．(12分)已知f(x)＝x2－x＋1.
(1)当a＝时，解不等式f(x)≤0；
(2)若a>0，解关于x的不等式f(x)≤0.
解：(1)当a＝时， 有不等式f(x)＝x2－x＋1≤0，
∴(x－2)≤0，∴≤x≤2，
即所求不等式的解集为.
(2)∵f(x)＝(x－a)≤0，a>0，且方程(x－a)＝0的两根为x1＝a，x2＝，
∴当>a，即0当1时，不等式的解集为；
当＝a，即a＝1时，不等式的解集为{1}．
20．(12分)某镇计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，蔬菜的种植面积为S m2，则ab＝800.
所以S＝(a－4)(b－2)＝ab－4b－2a＋8＝808－2(a＋2b)≤808－4＝648，
当且仅当a＝2b，即a＝40，b＝20时等号成立，则S最大值＝648.
答：当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648 m2.
21．(12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)．
(1)若不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，求a，b的值；
(2)若f(1)＝4，a>0，b>0，求＋的最小值．
解：(1)因为不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，
所以－1和3是方程f(x)＝0的两个实根，
从而有解得
(2)由f(1)＝4，得a＋b＝1，
又a>0，b>0，
所以＋＝(a＋b)
＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当即时等号成立，
所以＋的最小值为9.
22．(12分)某公司计划在2018年同时出售变频空调和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润最大．已知这两种产品的直接限制因素是资金和劳动力，经调查，得到这两种产品的有关数据如下表：
每台产品所需资金(百元) 月投入资金(百元)
空调 洗衣机
成本 30 20 300
劳动力(工资) 5 10 110
利润 6 8
试问：怎样确定两种产品的月供应量，才能使总利润最大？最大利润是多少？
解：设空调、洗衣机的月供应量分别是x台，y台，总利润是z百元，可得
即
目标函数为z＝6x＋8y.
作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
由z＝6x＋8y得y＝－x＋，由图可得，当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为(4,9)，满足x，y∈N，
所以zmax＝6×4＋8×9＝96.
答：当空调的月供应量为4台，洗衣机的月供应量为9台时，可获得最大利润，最大利润为9 600元．
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