人教版数学七年级下学期 9.1.2 不等式的性质及运用 导学案含答案

9．1.2　不等式的性质
第1课时　不等式的性质
01　　教学目标
1．理解并掌握不等式的三个性质．
2．经历类比、猜测、验证、发现不等式性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同，初步掌握类比的思想方法．
02　　预习反馈
阅读教材第116至117页，完成预习内容．
1．不等式的性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
如果a＞b，那么a±c＞b±c.
如：若a＞b，则a－1>b－1.
2．不等式的性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或＞)．
如：若a＞b，则0.1a>0.1b.
3．不等式的性质 3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或＜)．
如：若a＞b，则－4a<－4b.
03　　名校讲坛
例　已知实数a，b满足a＋1＞b＋1，则下列选项错误的为(D)
A．a＞b B．a＋2＞b＋2
C．－a＜－b D．2a＞3b
【点拨】　实数a，b满足a＋1＞b＋1，由不等式的性质1，不等式的两边同时减去1，得a＞b，故选项A正确；
不等式两边同时加上1，得a＋2＞b＋2，故选项B正确；由不等式的性质3，不等式a＞b的两边同时乘－1，不等号方向改变，得－a＜－b，故选项C正确；D选项不等式a＞b两边同时乘的不是同一个数，无法由不等式的性质得出，故选项D错误．
【跟踪训练】下列说法不一定成立的是(C)
A．若a>b，则a＋c>b＋c
B．若a＋c>b＋c，则a>b
C．若a>b，则ac2>bc2
D．若ac2>bc2，则a>b
　04　　巩固训练　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．若x＞y，则下列式子中错误的是(D)
A．x－3＞y－3 B.>
C．x＋3＞y＋3 D．－3x＞－3y
【点拨】　应用不等式的性质3时，要注意改变不等号的方向．
2．若ax＜ay，x＜y，则a的取值范围是(C)
A．a＝0 B．a＜0
C．a＞0 D．任意有理数
3．已知a＜b，用不等号填空：
(1)a＋2＜b＋2; (2)－＞－；
(3)3－a＞3－b; (4)2a－1＜2b－1.
4．填空，并说明理由：
(1)若a＞b，则a＋1＞b＋1，根据不等式的性质1，不等式的两边同时加上1，不等号方向不变；
(2)若a＜b，则－＞－，根据不等式的性质3，不等式的两边同时乘－，不等号方向改变；
(3)若a＞0，则a＞0，根据不等式的性质2，不等式的两边同时除以，不等号方向不变；
(4)若a＜0，则a2＞0，根据不等式的性质3，不等式的两边同时乘a，不等号方向改变．
5．已知m＜n，利用不等式的性质比较－2m－1与－2n－1的大小．
解：∵m＜n，∴－2m＞－2n.∴－2m－1＞－2n－1.
05　　课堂小结
学生试述：本节课你学到了什么？





























第2课时　不等式的性质的运用
　01　　教学目标
1．能利用不等式的性质解简单的不等式，并能在数轴上表示出解集．
2．通过利用不等式的性质解决实际问题，初步体会不等式性质的应用价值，感受数学与生活的密切联系．
02　　名校讲坛
例1　(教材P117例1改编)利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)x－7＞26；　　　　(2)3x＜2x＋1；
(3)x＞50；　　　　 (4)－4x＞3.
【思路点拨】　 解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为x＞a或x＜a(a为常数)的形式．
【解答】　(1)根据不等式性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，所以x－7＋7＞26＋7，x＞33.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图：

(2)根据不等式性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变，所以3x－2x＜2x＋1－2x，x＜1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图：

(3)根据不等式性质2，不等式两边乘，不等号方向不变，所以×x＞×50，x＞75.
这个不等式的解在数轴上的表示如图：

(4)根据不等式性质3，不等式两边除以－4，不等号的方向改变，所以＜，x＜－.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图：

【方法归纳】　利用不等式的性质2或性质3可以把未知数的系数化为1，要注意同乘(或除以)一个负数时，不等号要改变方向．
例2　(教材P119例2)某长方体形状容器长5 cm，宽3 cm，高10 cm，容器内原有水的高度为3 cm，现准备向它继续注水．用V(单位：cm3)表示新注水的体积，写出V的取值范围．


【解答】　新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积，即
V＋3×5×3≤3×5×10，
V≤105.
又由于新注入水的体积V不能是负数，因此，V的取值范围是0≤V≤105.
在数轴上表示V的取值范围如图所示：

【方法归纳】　用数轴表示不等式的解集时要注意：
(1)开口方向：大于向右画，小于向左画．
(2)虚实：“＞”“＜”，边界点在数轴上画空心圆圈；“≥”“≤”，边界点在数轴上画实心圆点．
【跟踪训练】　用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集：
(1)x的2倍大于或等于－4；
(2)x的不小于－1.
解：(1)列不等式2x≥－4，解得x≥－2，在数轴上表示为：

(2)列不等式x≥－1，解得x≥－，在数轴上表示为：

03　　巩固训练
1．在数轴上表示不等式x－1＜0的解集，正确的是(C)
A B
C D
2．当x取何值时，代数式－x＋2的值大于或等于0(B)
A．x＜6 B．x≤6
C．x＞6 D．x≥6
3．(1)不等式－6x＞12，根据不等式的性质3，不等式两边同时除以－6，不等号的方向改变，得x＜－2．
(2)不等式y＋3＞4变形为y＞1，这是根据不等式的性质1，不等式两边同时减去3，不等号的方向不变 .
4．不等式3＋2x＞5的解集是x＞1．
5．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．
(1)x＋3＜5; (2)x－＞； (3)x＜－3; (4)－2x＜5.
解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边都减3，不等号的方向不变，得x＋3－3＜5－3，即x＜2.
(2)根据不等式的性质1，不等式两边都加上，不等号的方向不变，得x－＋＞＋，即x＞1.
(3)根据不等式的性质2，不等式两边都乘7，不等号的方向不变，得7×x＜－3×7，即x＜－21.
(4)根据不等式的性质3，不等式两边都除以－2，不等号的方向改变，得－2x÷(－2)＞5÷(－2)，即x＞－.
04　　课堂小结
不等式性质的作用：将不等式化为“x>a”或“x