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阶段质量检测 解三角形（二）
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于( )
A．12 B.
C．28 D．6
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则的值为( )
A. B.
C．1 D.
3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos θ等于( )
A. B．－
C．± D．±
4．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC的面积为 m2，则此人这时离开出发点的距离为( )
A．3 m B. m
C．2 m D. m
5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的边长为( )
A. B．3
C. D．7
6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )
A．3 B.
C. D．3
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
10．在△ABC中，已知3b＝2asin B，且A，B，C成等差数列，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
11.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，如图，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为( )
A．10 m B．20 m
C．20 m D．40 m
12．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足acos B＝b(1＋cos A)，S△ABC＝2，则(c＋a－b)(c＋b－a)的取值范围是( )
A．(0,8) B.(0,8)
C．(8,8＋8) D.(8－8,8)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.A＝60°，c∶b＝8∶5，△ABC的面积为40，则△ABC外接圆的半径为________．
14．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于，则三边长为________．
15．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝________.
16．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 m，则旗杆的高度为________m.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝，sin B＝cos C.
(1)求tan C的值；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
18. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos C－c＝2b.
(1)求角A的大小；
(2)若c＝，角B的平分线BD＝，求a的值．
19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，c＝2，C＝，求△ABC的面积．
20．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
21.某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处．(假设客车匀速行驶)
(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？
(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？
22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋－＝.
(1)求角B；
(2)若△ABC的面积为，其外接圆半径为，且c>a，求c.
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阶段质量检测 解三角形（二）
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于( )
A．12 B.
C．28 D．6
解析：选D 由余弦定理得cos A＝＝＝，所以sin A＝，则S△ABC＝bcsin A＝×3×8×＝6.
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则的值为( )
A. B.
C．1 D.
解析：选D 由正弦定理可得＝＝＝.
3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos θ等于( )
A. B．－
C．± D．±
解析：选C ∵S△ABC＝AB·BCsin∠ABC＝×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±＝±.
4．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC的面积为 m2，则此人这时离开出发点的距离为( )
A．3 m B. m
C．2 m D. m
解析：选D 在△ABC中，S＝AB×BCsin B，
∴＝×x×3×sin 30°，∴x＝.
由余弦定理，得AC＝＝＝(m)．
5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的边长为( )
A. B．3
C. D．7
解析：选A ∵S△ABC＝AB·ACsin A＝，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC＝.
6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：选B ∵bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝＝a＝asin A，
∴sin A＝1.
∵A∈(0，π)，∴A＝，即△ABC是直角三角形．
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选A 由正弦定理可知c＝2b，则cos A＝＝＝＝，所以A＝30°，故选A.
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )
A．3 B.
C. D．3
解析：选C ∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
解析：选D ∵c－acos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，∴由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，∴sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，∴cos A(sin B－sin A)＝0，∴cos A＝0或sin B＝sin A，∴A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)．故△ABC为直角三角形或等腰三角形．
10．在△ABC中，已知3b＝2asin B，且A，B，C成等差数列，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C ∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，即3B＝π，解得B＝.∵3b＝2asin B，∴根据正弦定理得3sin B＝2sin Asin B．∵sin B≠0，∴3＝2sin A，即sin A＝，即A＝或，当A＝时，A＋B＝π不满足条件．∴A＝，C＝.故A＝B＝C，即△ABC的形状为等边三角形．
11.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，如图，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为( )
A．10 m B．20 m
C．20 m D．40 m
解析：选D 设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.
12．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足acos B＝b(1＋cos A)，S△ABC＝2，则(c＋a－b)(c＋b－a)的取值范围是( )
A．(0,8) B.(0,8)
C．(8,8＋8) D.(8－8,8)
解析：选D 根据正弦定理，acos B＝b(1＋cos A)可化为sin Acos B＝sin B(1＋cos A)，即sin(A－B)＝sin B.由于△ABC为锐角三角形，故A－B＝B，即A＝2B，所以A＋B＝3B∈，C∈，所以tan C＝>1，解得－1＋
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.A＝60°，c∶b＝8∶5，△ABC的面积为40，则△ABC外接圆的半径为________．
解析：∵S△ABC＝bc·sin A＝40，∴bc＝160.
∵c∶b＝8∶5，∴c＝16，b＝10.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝196，∴a＝14.
设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理，得2R＝＝，∴R＝.
答案：
14．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于，则三边长为________．
解析：由题意知a边最大，sin A＝，∴A＝120°，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A.
∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4)．
∴a2－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a＝7.
∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.
答案：a＝7，b＝5，c＝3
15．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝________.
解析：由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝－2bccos A＋2bc.
又S＝bcsin A，∴bcsin A＝2bc－2bccos A.
∴4－4cos A＝sin A，平方得17cos2A－32cos A＋15＝0.
∴(17cos A－15)(cos A－1)＝0.
∴cos A＝1(舍去)或cos A＝.
答案：
16．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 m，则旗杆的高度为________m.
解析：设旗杆高为h m，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BC＝＝h.
在△ABC中，AB＝10，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，
所以∠ACB＝30°，
由正弦定理，得＝，故h＝30(m)．
答案：30
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝，sin B＝cos C.
(1)求tan C的值；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
解：(1)因为0所以sin A＝＝，
又cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝cos C＋sin C，
所以cos C＝sin C，tan C＝.
(2)由tan C＝得sin C＝，cos C＝，
于是sin B＝cos C＝.
由a＝及正弦定理＝得c＝，所以△ABC的面积S△ABC＝acsin B＝×××＝.
18. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos C－c＝2b.
(1)求角A的大小；
(2)若c＝，角B的平分线BD＝，求a的值．
解：(1)由2acos C－c＝2b及正弦定理得，
2sin Acos C－sin C＝2sin B，
2sin Acos C－sin C＝2sin(A＋C)＝2sin Acos C＋2cos Asin C，
∴－sin C＝2cos Asin C.
∵C∈(0，π)，∴sin C≠0，∴cos A＝－.
又A∈(0，π)，∴A＝.
(2)在△ABD中，AB＝c＝，角B的平分线BD＝，
由正弦定理得＝，
∴sin∠ADB＝＝＝.
由A＝得∠ADB＝，∴∠ABC＝2π－－＝，
∴∠ACB＝π－－＝，AC＝AB＝.
由余弦定理得a2＝BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝2＋2－2×××＝6，
∴a＝.
19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，c＝2，C＝，求△ABC的面积．
解：(1)证明：∵m∥n，∴asin A＝bsin B，
∴a·a＝b·b，即a2＝b2，a＝b，
∴△ABC为等腰三角形．
(2)由m⊥p，得m·p＝0，
∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，
∴a＋b＝ab.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
即(ab)2－3ab－4＝0，
解得ab＝4(ab＝－1舍去)，
∴S△ABC＝absin C＝×4×sin ＝.
20．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
解：(1)由已知，根据正弦定理得
2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A，∴bc＝－2bccos A，cos A＝－.
又0(2)由(1)知sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，
∴sin2A＝(sin B＋sin C)2－sin Bsin C.
又sin B＋sin C＝1，且sin A＝，∴sin Bsin C＝，因此sin B＝sin C＝.
又B，C∈，故B＝C.
所以△ABC是等腰的钝角三角形.
21.某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处．(假设客车匀速行驶)
(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？
(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？
解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100米，则BC＝100米．
在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100米，则BD＝100米．
在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°，
则DC＝＝200米，
所以客车的速度v＝＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．
(2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，
又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，
所以∠CEB＝45°.
在△BCE中，由正弦定理可知＝，
所以EB＝＝50米，即此时客车距楼房50米．
22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋－＝.
(1)求角B；
(2)若△ABC的面积为，其外接圆半径为，且c>a，求c.
解：(1)在△ABC中，由余弦定理，得＝2cos B，
∴＋－＝＋－＝＝.
∴＝.
由正弦定理，得＝＝.
又∵A＋C＝π－B，∴2cos Bsin B＝sin B.
又∵sin B≠0，∴cos B＝.
∵B∈(0，π)，∴B＝.
(2)由题意，得＝2，∴b＝3.
由△ABC的面积为，得acsin B＝ac＝，∴ac＝6.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得a2＋c2－6＝9，∴a2＋c2＝15.
解得或
又∵c>a，∴a＝，c＝2.
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