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阶段质量检测 数列（二）
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则( )
A．d>0 B．d<0
C．a1d>0 D．a1d<0
2．在等差数列{an}中，a9＝a12＋6，则数列{an}的前11项和S11＝( )
A．24 B．48
C．66 D．132
3．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于( )
A．－165 B．－33
C．－30 D．－21
4．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a1＝2a8－3a4，则＝( )
A. B.
C. D.
5．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 018项之和S2 018等于( )
A．1 B．2 010
C．4 017 D．0
6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝( )
A．4n－1 B．4n－1
C．2n－1 D．2n－1
7．在等比数列{an}中，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为17，则S6＝( )
A. B．16
C．15 D.
8．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示数列{an}的前n项和，则使得Sn取得最大值的n是( )
A．21 B．20
C．19 D．18
9．等差数列{an}的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为22∶18，则公差d，的值分别是( )
A．8， B．9，
C．9， D．8，
10．等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列的前13项和为( )
A．13 B．26
C．52 D．156
11．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2 D．(n－1)2
12．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an(1－nan＋1)，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，则S10的值为________．
14．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝________.
15．已知a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝9－6n，则数列{an}的通项公式是________．
16．数列{an}满足a1＝1，an－an－1＝(n≥2且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
18．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an，数列{bn}满足b1＝3，b2＝6，且{bn－an}为等差数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn.
19．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝(n∈N*)．
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.
20．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3×22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
21．已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log(1－Sn＋1)(n∈N*)，令Tn＝＋＋…＋，求Tn.
22．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝2.
(1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和Mn.
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阶段质量检测 数列（二）
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则( )
A．d>0 B．d<0
C．a1d>0 D．a1d<0
解析：选D ∵{2a1an}为递减数列，∴＝2a1an＋1－a1an＝2a1d<1＝20，∴a1d<0，故选D.
2．在等差数列{an}中，a9＝a12＋6，则数列{an}的前11项和S11＝( )
A．24 B．48
C．66 D．132
解析：选D 由a9＝a12＋6得，2a9－a12＝12，
由等差数列的性质得，2a9－a12＝a6＋a12－a12＝12，则a6＝12，
所以S11＝＝＝132，故选D.
3．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于( )
A．－165 B．－33
C．－30 D．－21
解析：选C 由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，
∴a1＝－3.
∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1
＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.
4．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a1＝2a8－3a4，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意可得，a1＝2a1＋14d－3a1－9d，
∴a1＝d，又＝＝＝＝，故选A.
5．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 018项之和S2 018等于( )
A．1 B．2 010
C．4 017 D．0
解析：选C 由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴an＋1＝an－an－1.
故数列的前n项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009，….由此可知数列为周期数列，周期为6，且S6＝0.∵2 018＝6×336＋2，∴S2 018＝S2＝4 017.
6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝( )
A．4n－1 B．4n－1
C．2n－1 D．2n－1
解析：选D 设等比数列{an}的公比为q，
∵∴
由①÷②可得＝2，
∴q＝，代入①解得a1＝2，
∴an＝2×n－1＝，
∴Sn＝＝4，
∴＝＝2n－1.
7．在等比数列{an}中，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为17，则S6＝( )
A. B．16
C．15 D.
解析：选A 设{an}的公比为q，则由等比数列的性质知，a2a3＝a1a4＝2a1，则a4＝2；由a4与2a7的等差中项为17知，a4＋2a7＝2×17＝34，得a7＝16.∴q3＝＝8，即q＝2，∴a1＝＝，则S6＝＝，故选A.
8．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示数列{an}的前n项和，则使得Sn取得最大值的n是( )
A．21 B．20
C．19 D．18
9．等差数列{an}的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为22∶18，则公差d，的值分别是( )
A．8， B．9，
C．9， D．8，
解析：选D 设S奇＝a1＋a3＋…＋a15，S偶＝a2＋a4＋…＋a16，则有S偶－S奇＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a16－a15)＝8d，＝＝.
由解得S奇＝288，S偶＝352.因此d＝＝＝8，＝＝.故选D.
10．等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列的前13项和为( )
A．13 B．26
C．52 D．156
解析：选B 3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，∴6a4＋6a10＝24，∴a4＋a10＝4，∴S13＝＝＝＝26，故选B.
11．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2 D．(n－1)2
解析：选C ∵a5·a2n－5＝a＝22n，且an>0，∴an＝2n，
∵a2n－1＝22n－1，∴log2a2n－1＝2n－1，
∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2.
12．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an(1－nan＋1)，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
[解析] 原数列递推公式可化为－＝n，令bn＝，则bn＋1－bn＝n，因此bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＋b1＝(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＋1＝.从而an＝.故选D.
[答案] D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，则S10的值为________．
解析：∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，a7是a3与a9的等比中项，∴(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20，∴S10＝10×20＋×10×9×(－2)＝110.
答案：110
14．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝________.
解析：设数列{an}的公比为q，∵{an}是等比数列，且a2＝2，a5＝，
∴＝q3＝，∴q＝，∴a1＝4.
又{an}是等比数列，∴{anan＋1}也是等比数列，且首项为a1a2＝8，公比q′＝，
∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n)．
答案：(1－4－n)
15．已知a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝9－6n，则数列{an}的通项公式是________．
解析：令Sn＝a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an，
则Sn＝9－6n，当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，2n－1·an＝Sn－Sn－1＝－6，∴an＝－.
∴通项公式an＝
答案：an＝
16．数列{an}满足a1＝1，an－an－1＝(n≥2且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________.
解析：an－an－1＝(n≥2)，a1＝1，
∴a2－a1＝＝1－，
a3－a2＝＝－，
a4－a3＝＝－，…，
an－an－1＝＝－.
以上各式累加，得
an－a1＝＋＋…＋＝1－.
∴an＝a1＋1－＝2－，当n＝1时，2－＝1＝a1，
∴an＝2－，故数列{an}的通项公式为an＝2－.
答案：2－
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
解：(1)设{an}的公差为d.由题意，得a＝a1a13，
即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．于是d(2a1＋25d)＝0.
又a1＝25，所以d＝－2或0(舍去)．故an＝－2n＋27.
(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．
从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n.
18．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an，数列{bn}满足b1＝3，b2＝6，且{bn－an}为等差数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)由题意知数列{an}是首项a1＝1，公比q＝2的等比数列，
所以an＝2n－1.
因为b1－a1＝2，b2－a2＝4，
所以数列{bn－an}的公差d＝2，
所以bn－an＝(b1－a1)＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n，
所以bn＝2n＋2n－1.
(2)Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(1＋2＋4＋…＋2n－1)
＝＋
＝n(n＋1)＋2n－1.
19．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝(n∈N*)．
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.
解：(1)证明：Sn＝(n∈N*)，①
Sn－1＝(n≥2)．②
①－②得an＝(n≥2)，
整理得(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1(n≥2)．
∵数列{an}的各项均为正数，
∴an＋an－1≠0，∴an－an－1＝1(n≥2)．
当n＝1时，a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)由(1)得Sn＝，
∴bn＝＝＝2，
∴Tn＝2＋＋＋…＋＝2＝.
20．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3×22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)由已知，
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1
＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
而a1＝2，符合上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.
(2)由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n×22n－1，①
从而22·Sn＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n×22n＋1.②
①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n×22n＋1，
即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．
21．已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log(1－Sn＋1)(n∈N*)，令Tn＝＋＋…＋，求Tn.
解：(1)当n＝1时，a1＝S1，由S1＋a1＝1，得a1＝，当n≥2时，Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1，
则Sn－Sn－1＝(an－1－an)，即an＝(an－1－an)，所以an＝an－1(n≥2)．
故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列．
故an＝·n－1＝2·n(n∈N*)．
(2)因为1－Sn＝an＝n.
所以bn＝log(1－Sn＋1)＝logn＋1＝n＋1，因为＝＝－，
所以Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＝.
22．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝2.
(1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和Mn.
解：(1)由S1＝2＝a1，得a1＝1.
又S2＝a1＋a2＝1＋a2＝2，所以a2＝3或－1，
因为当a2＝－1时，a3＝－3，但S3＝－3≠2＝1，
所以a2＝－1舍去，经检验，a2＝3满足，
所以等差数列{an}的公差d＝a2－a1＝2，
所以an＝2n－1.
同理，易求得b1＝1，b2＝3或－1.
因为当b2＝3时，b3＝9，T3＝13≠2＝25，
所以b2＝3舍去．
经检验b2＝－1满足，
所以bn＝(－1)n－1.
(2)Mn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，
Mn＝1×(－1)0＋3×(－1)1＋5×(－1)2＋…＋(2n－1)×(－1)n－1，①
－Mn＝1×(－1)1＋3×(－1)2＋5×(－1)3＋…＋(2n－1)×(－1)n，②
由①－②，得
2Mn＝1＋2×(－1)1＋2×(－1)2＋2×(－1)3＋…＋2×(－1)n－1－(2n－1)×(－1)n，
2Mn＝1＋2×－(2n－1)×(－1)n，
所以Mn＝n×(－1)n－1(Mn＝n×(－1)n＋1也是正确的)．
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