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阶段质量检测 不等式（二）
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若＜＜0，则下列不等式不正确的是( )
A．a＋b＜ab B.＋＞0
C．ab＜b2 D．a2＞b2
2．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于( )
A．－3 B．1
C．－1 D．3
3．若x>0，则函数y＝12x＋的最小值为( )
A．2 B．2
C．4 D．8
4．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|log2(x2－x)>1}，则A∩B＝( )
A．(2,3] B．(2,3)
C．(－3，－2) D．[－3，－2)
5．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
A. B.
C．5 D．6
6．不等式组表示的平面区域的面积为( )
A．4 B．1
C．5 D．无穷大
7．已知x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围为( )
A．(－1,2) B．[－1,2)
C．[－1,2] D．[－1,3]
8．已知点P(x，y)满足，则(x－1)2＋y2的取值范围是( )
A. B.
C．[1,9) D.
9．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是( )
A. B.
C．2 D.
10．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A．36万元 B．31.2万元
C．30.4万元 D．24万元
11．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为( )
A．5 B．29
C．37 D．49
12．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为( )
A．0 B．1
C. D．3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．若x，y满足约束条件则的最大值为________．
14．设正数a，使a2＋a－2>0成立，若t>0，则logat________loga(填“>”“≥”“≤”或“<”)．
15．若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
16．某公司用两种机器来生产某种产品，第一种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费；第二种机器则需5万日元及人民币20元的维护费．第一种机器的年利润每台有9万日元，第二种机器的年利润每台有6万日元，但政府核准的外汇日元为135万元，并且公司的总维护费不得超过1 800元，为了使年利润达到最大值，第一种机器应购买________台，第二种机器应购买________台．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解关于x的不等式ax2－2ax＋a＋3＞0.
18．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5 min，生产一个骑兵需7 min，生产一个伞兵需4 min，已知总生产时间不超过10 h．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)．
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
19．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
20．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
21．已知α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a，b∈R，求的最大值和最小值．
22．某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f(n)表示前n年的纯利润总和．
(注：f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)
(1)从第几年开始获利？
(2)若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：
①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；
②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂；
问哪种方案最合算？为什么？
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阶段质量检测 不等式（二）
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若＜＜0，则下列不等式不正确的是( )
A．a＋b＜ab B.＋＞0
C．ab＜b2 D．a2＞b2
解析：选D 由＜＜0，可得b＜a＜0，故选D.
2．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于( )
A．－3 B．1
C．－1 D．3
解析：选A 由题意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}．A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知：
a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.
3．若x>0，则函数y＝12x＋的最小值为( )
A．2 B．2
C．4 D．8
解析：选C 因为x>0，所以y＝12x＋≥2 ＝4，当且仅当12x＝，即x＝时等号成立，故选C.
4．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|log2(x2－x)>1}，则A∩B＝( )
A．(2,3] B．(2,3)
C．(－3，－2) D．[－3，－2)
解析：选A 由x2－2x－3≤0，得－1≤x≤3，所以A＝[－1,3]．由log2(x2－x)>1，即x2－x>2，得x<－1或x>2，故B＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，所以A∩B＝(2,3]．
5．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
A. B.
C．5 D．6
[解析] 由x＋3y＝5xy可得＋＝1，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋＝5当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立，
∴3x＋4y的最小值是5.
6．不等式组表示的平面区域的面积为( )
A．4 B．1
C．5 D．无穷大
解析：选B 不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即为所求．求出点A，B，C的坐标分别为(1,2)，(2,2)，(3,0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.
7．已知x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围为( )
A．(－1,2) B．[－1,2)
C．[－1,2] D．[－1,3]
解析：选C 根据二元一次不等式组画出可行域(如图中阴影部分所示)．令z＝0，得y＝x，平移直线y＝x，可知当直线z＝x－y过(0,1)时，z取得最小值，zmin＝0－1＝－1，当直线z＝x－y过(2,0)时，z取得最大值，zmax＝2－0＝2，所以z的取值范围为[－1,2]．故选C.
8．已知点P(x，y)满足，则(x－1)2＋y2的取值范围是( )
A. B.
C．[1,9) D.
解析：选A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(不包含x轴)，(x－1)2＋y2可看成阴影部分的点(x，y)到点A(1,0)的距离的平方．易得点A到直线x－y＝0的距离为，点A到点B(－2,0)的距离为3，设阴影部分的点到点A的距离为d，则≤d<3，所以≤(x－1)2＋y2<9，故选A.
9．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是( )
A. B.
C．2 D.
[解析]由x>0，y>0，得4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.
10．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A．36万元 B．31.2万元
C．30.4万元 D．24万元
设对项目甲投资x万元，对项目乙投资y万元，
则
目标函数z＝0.4x＋0.6y.作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A点取最大值，代入得zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2，所以选B.
11．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为( )
A．5 B．29
C．37 D．49
解析：选C 由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界．∵圆C与x轴相切，∴b＝1.显然当圆心C位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点(6,1)处时，amax＝6.∴a2＋b2的最大值为62＋12＝37.故选C.
12．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为( )
A．0 B．1
C. D．3
解析：选B 由x2－3xy＋4y2－z＝0，
得z＝x2－3xy＋4y2，
∴＝＝.
又x，y，z为正实数，
∴＋≥4，即≤1，
当且仅当x＝2y时取等号，此时z＝2y2.
∴＋－＝＋－
＝－2＋＝－2＋1，
当＝1，即y＝1时，上式有最大值1.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．若x，y满足约束条件则的最大值为________．
解析：画出可行域如图阴影部分所示，
∵表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，
∴点(x，y)在点A处时最大．
由得
∴A(1,3)．∴的最大值为3.
答案：3
14．设正数a，使a2＋a－2>0成立，若t>0，则logat________loga(填“>”“≥”“≤”或“<”)．
解析：因为a2＋a－2>0，所以a<－2或a>1，
又a>0，所以a>1，
因为t>0，所以≥ ，
所以loga≥loga＝logat.
答案：≤
15．若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x＋y＝z过点A时z取得最大值．
由得点A(5,4)，∴zmax＝5＋4＝9.
答案：9
16．某公司用两种机器来生产某种产品，第一种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费；第二种机器则需5万日元及人民币20元的维护费．第一种机器的年利润每台有9万日元，第二种机器的年利润每台有6万日元，但政府核准的外汇日元为135万元，并且公司的总维护费不得超过1 800元，为了使年利润达到最大值，第一种机器应购买________台，第二种机器应购买________台．
解析：设第一种机器购买x台，第二种机器购买y台，总的年利润为z万日元，则目标函数为z＝9x＋6y.
不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整点．
当直线z＝9x＋6y经过点M，即到达l1位置时，z取得最大值，但题目要求x，y均为自然数，故进行调整，调整到与M邻近的整数点(33,7)，此时z＝9x＋6y取得最大值，即第一种机器购买33台，第二种机器购买7台获得年利润最大．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解关于x的不等式ax2－2ax＋a＋3＞0.
解：当a＝0时，解集为R；
当a＞0时，Δ＝－12a＜0，∴解集为R；
当a＜0时，Δ＝－12a＞0，方程ax2－2ax＋a＋3＝0的两根分别为，，
∴此时不等式的解集为x＜x＜.
综上所述，当a≥0时，不等式的解集为R；a＜0时，不等式的解集为.
18．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5 min，生产一个骑兵需7 min，生产一个伞兵需4 min，已知总生产时间不超过10 h．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)．
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，
所以利润W＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.
(2)约束条件为：
整理得
目标函数为W＝2x＋3y＋300，
如图所示，作出可行域．初始直线l0：2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时，W有最大值，
由
得
最优解为A(50,50)，所以Wmax＝550(元)．
故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．
19．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解：(1)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，b>1且a>0.
由根与系数的关系，得解得
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为?.
所以，当c>2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|2当c<2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|c当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为?.
20．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
解：(1)设每件定价为t元，依题意，有[8－(t－25)×0.2]t≥25×8，
整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.
因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意，x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，
等价于x>25时，a≥＋x＋有解．∵＋x≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，
∴a≥10.2.
因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元．
21．已知α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a，b∈R，求的最大值和最小值．
解：设f(x)＝x2＋ax＋2b，
由题意f(x)在[0,1]和[1,2]上各有一个零点，
∴即
建立平面直角坐标系aOb，则上述不等式组表示的平面区域如图．由
解得即C(－3,1)．
令k＝，可以看成动点P(a，b)与定点A(1,3)的连线的斜率．
又B(－1,0)，C(－3,1)，则kAB＝，kAC＝，
∴≤≤.故的最大值是，最小值是.
22．某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f(n)表示前n年的纯利润总和．
(注：f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)
(1)从第几年开始获利？
(2)若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：
①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；
②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂；
问哪种方案最合算？为什么？
解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，
∴f(n)＝－2n2＋40n－72.
(1)获利就是要求f(n)>0，所以－2n2＋40n－72>0，解得2由n∈N知从第三年开始获利．
(2)①年平均利润＝＝40－2≤16.
当且仅当n＝6时取等号．
故此方案共获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n＝6.
②f(n)＝－2(n－10)2＋128.
当n＝10时，f(n)max＝128.
故第②种方案共获利128＋16＝144(万美元)，
故比较两种方案，获利都是144万美元．
但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案最合算．
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