21.1 一次函数
教学设计思想
一次函数是在第二十一章学习一般函数的基础上对函数的具体研究，由此开始了对函数的分类探索。在讲解的过程中先以交流的方式回顾函数的相关知识再进一步学习一次函数。本节主要学习了一次函数和正比例函数的概念，以及根据所给条件写出简单的一次函数表达式的方法。在讲解的过程中要注意一次函数与正比例函数的关系。
教学目标
知识与技能：表述一次函数及其特例——正比例函数，能判断两个变量间的关系是否可以看作函数；感受函数、一次函数、正比例函数之间一般与特殊的关系。
过程与方法：经历由实际情景抽象出一次函数的过程；
情感态度价值观：初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。
教学重点和难点
重点：一次函数和正比例函数的概念，以及根据所给条件写出简单的一次函数表达式的方法.
难点：根据所给条件写出简单的一次函数表达式。
解决办法：关键是对问题情境的解读，自主探索问题情境，可铺设探究阶梯，分层次解读问题。
教学方法??? 启发引导、小组讨论
教学过程设计
第一课时
Ⅰ．提出问题，创设情境
一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环．4个月零１周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．
1．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？
2．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？
3．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？
我们来共同分析：
一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：25600÷（30×4+7）≈200（km）
若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：y=200x（0≤x≤127）
这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即y=200×45=9000（km）.
以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．
类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习．
Ⅱ．导入新课
首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？
1．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．
2．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．
3．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．
4．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．
解答：1．根据圆的周长公式，可得L=2r．
2．依据密度公式p=，可得m=7.8V．
3．据题意可知，h=0.5n．
4．据题意可知，T=-2t．
我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x的形式一样．
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
Ⅲ、例题练习
例1：下列函数哪些是正比例函数？请指出正比例函数的比例系数.
1.y=3x；?? 2.y=2x+1；? 3.y=-??； 4.y=?；? 5.y=πx；? 6.y=-x.
例题2： 有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0.5公顷/时的小麦收割机来收割。
（1）求收割的面积y(公顷)与收割时间x(h)之间的函数关系式.
（2）求收割完这块麦田需用的时间
练习1：判断下列问题中哪两个量具有正比例关系.
（1）向圆柱形水杯中加水，水的体积与高度正方形的面积与它的边长；
（2）小丽录入一篇文章，她的打字速度与所用时间；
（3）人的体重和身高.
练习2：填空已知函数y=3x，当x=3时，y=? ???? ；已知函数y=x，当y=3时， x=?????.
已知函数y=kx，当x=-2，y=10,k=??
Ⅳ．课时小结
本节课我们通过实例了解了正比例函数的概念和表达式的形式，为以后学习一次函数奠定了基础．
Ⅴ．板书设计
§21.1.1 正比例函数
一、正比例函数定义
二、正比例函数的表达式
三、例题
四、随堂练习
??
? 21.2一次函数的图像和性质
教学设计思想
本节内容分两个课时，第一课时主要学习的是函数图像的画法，由于一次函数是一般函数的具体化，因此在学习本节内容之前首先回顾第二十一章函数图像的画法，进而学习一次函数的画法。第二课时主要学习正比例函数的图像特征以及探索一次函数的性质及其简单应用，要使学生多动手操作经历作图过程，认真研究图像的性质。
教学目标
知识与技能：总结一次函数图像的画法并初步感受其形象；总结归纳出一次函数的性质———k>0或k<0时图像变化的情况；在特殊与一般的比较中概述正比例函数的概念、图像及性质；尝试利用一次函数性质对变量变化规律进行初步预测；提高利用函数图像解决问题的能力。
过程与方法：经历作图过程，初步了解作函数图像的一般步骤；经历将一次函数图像与表达式y＝kx＋b结合的探索过程，通过观察与思考、合作探究得出正比例函数、一次函数的性质及其简单应用。
情感态度价值观：通过本节课的学习，体会数形结合思想的重要性。
教学方法：??? 启发引导、合作探究
教学过程设计???? 第一课时
重点：一次函数图像的画法。
难点：一次函数y=kx＋b的图像是一条直线。
解决放法：通过具体操作与思考使学生明白凡是满足关系式y=kx＋b的点都在它的图像上，凡是在图像上的点都满足这个一次函数。进而就容易理解一次函数y=kx＋b的图像是一条直线。
复习 引导学生回顾第二十一章函数图像的画法。
新授
一次函数是一种形式上比较简单的函数，相应地，它的图像和性质又有什么特点呢？
我们已经知道，对于由表达式给出的函数，可以由表达式确定出两个变量的一系列对应的数值。在直角坐标系中，以这些对应值为坐标描出相应的点，再用平滑的线连结这些点，就可以得到这个函数的图像。
（一）试着做做.
已知一次函数y=2x－1。
?(1)填写下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
y=2x－1
(2)以(1)中得到的每对对应值分别为横坐标和纵坐标，在图25—2的直角坐标系中描出相应的点。
?(3)把由(2)得到的点依次连结起来，就得到y=2x－1的图像。
（二）一起探究
1.一次函数y=2x－1图像的形状是怎样的?你和其他同学得到的结果一样吗?
2.凡是满足关系式y=2x－1的x，y的值所对应的点(x，y)，如，(1，1)，(4，7)，…，都在一次函数y=2x－1的图像上吗?
3.请你从一次函数y=2x－1的图像上任意取一点，检验该点的横坐标x和纵坐标y是否满足关系式y=2x－1。
解：（2）由画图过程知，一次函数y=2x－1的图像是由所有满足关系式y=2x－1的点? (x，y)连线而得到的。因此，凡满足关系式y=2x－1的 x，y的值所对应的点都在一次函数y=2x－1的图像上。
我们看到，一次函数y=kx+b的图像是一条直线。这样，在画一次函数的图像时，只要确定出两个点，再过这两点画直线就可以了。正是因为一次函数的图像是一条直线，所以也把一次函数y＝kx＋b的图像称为直线y=kx＋b。
（三）例题
?例：画一次函数的图像。
解：取满足这个函数关系式的两组数值(0，1)，(2，0)作为点的坐标，在坐标系中描出这两个点。画过这两点的直线，即为一次函数的图像(如图25—3)。
?
（四）练习
1.在同一直角坐标系中画出y=2x－1和y=－2x的图像。
2.在同一直角坐标系中画出y=x和y=1－x的图像。
（五）小结
引导学生总结本节的主要知识点。
（六）板书设计
一次函数的图像和性质（一）
画出y=2x－1的图像
一起探究
例题
练习
?
?
?
?
?21.2一次函数的图像和性质 第二课时
重点：（1）总结正比例函数的图像特征；
（2）探索一次函数的性质及其简单应用。
难点：大家谈谈中的问题：对于两个函数，函数值的变化快慢与ｋ(k>0)的值的关系的讨论。
解决方法：让学生通过几组具体的数值来总结规律，分析一次函数的特点，进而总结出结论。
（一）观察与思考
图25—4是小红在同一直角坐标系中画出的正比例函数y=－3x和y=2x的图像。
1.请你说明小红画出的图像是否正确。
2.小红看到这两个正比例函数的图像都经过原点，于是猜想：所有正比例函数的图像都经过原点。你认为她的猜想正确吗?请说明理由。
事实上，正比例函数的图像是经过原点 0(0，0)的一条直线。
（二）大家谈谈
你认为怎样画正比例函数的图像，方法比较简单?
注：只需画除原点外的一个点。
（三）做一做
1.请你在图25—5的坐标系中画出一次函数y＝2x+3和的图像。
2.请你在图25—6的坐标系中画出一次函数y=－2x+4和的图像。
（四）一起探究
观察在图25—5和图25—6所示的坐标系中画出的上述四个函数的图像，其中的哪些函数y的值是随x值的增大而增大的?而哪些函数y的值是随x值的增大而减小的?这两类函数的区别和自变量的系数的符号有什么关系?
由此，我们得到：
一次函数y=kx+b的性质
当k>0时，y的值随x值得增大而增大；
当k<0时，y的值随x值得增大而减小。
注：1.注意引导学生观察图像趋势：从左向右看是上升还是下降。尤应解释清“从左向右即表示x的值增大”。
2.注意引导学生进行图像与解析式的对照，从而把对解析式的分类 (k>0或k<0)与对图像的分类(上升或下降)联系起来。
（五）大家谈谈
已知两个函数：y1＝2x＋30，y2=4x。1.不画出它们的图像，说出当x的值增大时，y1，y2的值怎样变化。
2.当x从1开始增大时，预测哪个函数的值先达到80。
3.函数值增大的快慢与k(这里k>0)的值有什么关系?
注：1.当x值增大时， y1，y2的值均增大。
2.当x从1开始增大时，y2＝4x的值先达到80。
提示：设y1＝80，求得x1＝25；设y2＝80，求得x2＝20，说明对于y2，当x＝20时函数值达到 80;而对于y1，则当x=25时函数值才达到80。
3.当k>0时，k越大，函数值增大得越快。
（六）练习
已知函数y=-3x+3，y=3x-3，，y=x-5。 其中，y的值随x值的增大而减小的是___________。
答案：y=-3x+3，
（七）小结
学生总结出正比例函数的图像特征、一次函数的性质。
（八）板书设计
一次函数的图像和性质（二）
正比例函数的图像特征
一起探究一次函数的性质
大家谈谈
练习
? 21.3用待定系数法确定一次函数表达式
教学设计思想
在第二十章我们已经学习了根据实际问题的意义写出函数表达式，本节突出解决用待定系数法求一次函数的表达式。首先向学生提出问题，有问题引出讨论，最后得出求一次函数表达式的方法：待定系数法。待定系数法是难点要分步引导。
教学目标
知识与技能：能依照不同情境选择确定一次函数表达式的方法；
会用解二元一次方程组的方法求y=kx＋b中的待定系数k与b。
过程与方法：经历由图像或实际问题的意义确定一次函数表达式的过程。
情感态度价值观：通过本节的学习，加强图像与关系式，即“形”与“数”的联系。
教学重难点
重点：用待定系数法求一次函数的表达式。
难点：待定系数法解决办法：分步引导，把问题分层来提出有助于掌握。
教学方法?? 启发引导、小组讨论
课时安排????? 1课时
教具学具准????? 投影仪或电脑、直尺
教学过程设计
许多实际问题的解决都需要求出一次函数的表达式。那么，怎样才能简便地求出一次函数的表达式呢？
（一）问题的提出
图25—7中的直线是一个一次函数的图像。已知这个图像(直线)上的两点的坐标P(－20，5)，Q(10，20)，怎样确定这个一次函数的表达式呢?
?
小惠是这样想的；
设这个一次函数的表达式为y=kx＋b。
因为点P，Q在它的图像 (直线)上，所以这两个点的坐标都应当满足表达式y=kx＋b。即
解这个关于k和b的二元一次方程组，得
所以，这个一次函数的表达式为
注：分步引导：①既然是一次函数?其表达式应具备什么形式?②既然已知图像上两点坐标，它们是否应满足表达式(或与表达式y＝kx＋b有何联系)?③k与b可通过什么方法求出?（二）大家谈谈
你认为小惠这样做对吗?请说说你的理由。
? 通过谈谈，调动学生合作交流，说出自己对“待定系数法”道理的看法与感悟，从而避免机械记忆其步骤。
（二）做一做
某汽车在加油后开始匀速行驶。已知汽车行驶至20km时，油箱剩油58.4L;行驶至50km时，油箱剩油56L。如果油箱中剩余油量y(L)与汽车行驶的路程x(km)之间的关系是一次函数关系，请你求出这个一次函数的表达式，并写出自变量x的取值范围。
一定质量的气体，在体积不变的情况下，压强随温度的变化而变化。下表是一定质量的某种气体在体积不变的情况下，其压强p(千帕)随温度t(℃)变化的实验数据：
t/℃
0
5
15
25
30
40
50
p/千帕
100
102
106
110
112
116
120
注１：设y=kx＋b,则
?? 解得?????? ∴y=－0.08x＋60(0≤x≤750)。
注２：对“气压随温度变化”的问题，应注重引导学生学会通过定量观察获取表格信息，故在“一起探究”问题1之前可增设“观察表格，你能发现什么规律”，从而增进学生读取表格信息的意识。
（三）一起探究
1.由表格中的数据可以看出：0℃时的压强为100千帕，温度每升高1℃，压强增大千帕。? 由此能写出p(干帕)与t(℃)之间的函数关系式吗?它是一次函数吗?
2.如果设这个一次函数的表达式为p=kt＋b，你能用解二元一次方程组的方法求出k和b吗?请你用这种方法把函数表达式求出来。
注：1.，是一次函数。
2.设y=kt＋b,则
??? 解得????? ∴。
求一次函数(含正比例函数)的表达式常有以下情况，
1.由问题的实际意义直接写出。
2.确认其为一次函数，然后采用以下步骤：
(1)设表达式为y=kx＋b(正比例函数设为y=kx)。
(2)根据变量的两组对应值(正比例函数只需一组)列方程组(或方程)，求出k与b的值。
（四）练习
1.一次函数的图像过点A（1，2）和点B（－2，1），则该函数的表达式为_________。
2.由S市寄往G市的包裹，邮寄费用的标准是3元/千克，每件另收取挂号费2元。
（1）写出邮寄总费用y(元)与包裹质量x（kg）之间的函数关系式。
（2）如果邮寄包裹的质量为7.8kg，那么，邮寄总费用是多少元？
（五）小结
引导学生总结本节的主要知识点。
注：总结求一次函数表达式的方法，应通过合作交流，由师生共同完成。其中，“确认其为一次函数”的方法应从本课时的操作实践中归纳出：①已知条件明确；②图像是直线；③由表格的规律概括出问题的意义；④由表格描点，获得“图像是直线”。
（六）板书设计
用待定系数法确定一次函数表达式
如何求一次函数的表达式
做一做中题的分析
例题
?
? 21.4一次函数的应用
教学设计思想
在掌握了一次函数的图像、性质等知识后，这节课我们将学习一次函数的应用，通过两个课时对一次函数的应用进行简单概括、归纳，这一节是本章的重点与归宿。教学过程中鼓励解法和表述的多样化，充分加强图象识别与应用能力的培养，避免习惯的“代数化”倾向。突出通过函数获取信息,发展形象思维；突出一次函数的简单应用；突出函数与方程、不等式的关系。根据不同学生的基础，有针对性地增强问题的探索性与开放性，使不同层次学生的思维能力均得到充分的发展，调动学生自主学习与合作交流的积极性。
教学目标
知识与技能：经历应用一次函数解决实际问题的过程，熟悉一次函数在生活中的应用；通过解决实际问题领悟函数与方程、不等式的关系及应用价值；提高通过文字、表格、图像获取信息的能力。
在解决问题的过程中，提高综合思维的能力。
过程与方法：经历探求直线解析式的过程，体验数学学习探究的方法。
情感态度价值观：初步学会利用函数性质进行判断及决策的方法，增进应用函数思想的意识；体验数学学习活动充满着探索，并在探索中感受成功，建立自信；体验数学来源于生活并应用于生活。
教学重难点
重点：应有一次函数解决实际问题
难点：准确的图像识别与应用，领悟函数与方程、不等式的关系
教学方法：启发式教学，学生探索为主
教学用具：多媒体
课时安排： 2课时
教学过程设计???? 第一课时
一、导入新课
在前几节课里，我们学习了一次函数的图象和性质以及一次函数与方程、不等式的关系，其实一次函数在现实生活中也有着广泛的应用，现在我们就来一起探究一下。
二、试着做做
（出示题目）某公司与营销人员签订了这样的工资合同，工资由两部分组成，一部分是基本工资，每人每月300元；另一部分是按月销售量确定的奖励工资，每销售1件产品奖励工资4元．
1．设某营销员月销售产品x件，他应得的工资为y元，求y与x之间的函数关系式．
学生活动：独立阅读，领悟问题情境给出的数量关系，自己写出函数关系式。
师：让学生说出答案，并说出题中的数量关系。
营销员的月工资y(元)与他当月销售产品的件数x之间的函数关系式为y=4x+300．
2．用求出的函数关系式，尝试解决以下问题：
?? (1)该营销员某月的工资为l 220元，他这个月销售了多少件产品?
?? (2)要想使月工资超过1 500元，当月的销售量应当超过多少件?
学生活动：积极思考，自主探究
解：当营销员的月工资为1 220元时，他当月销售的产品件数x应当满足方程4x+300=1 220．
??? 解这个方程，得 x=230．
???要想使月工资超过1 500元，则当月销售的产品件数x应当满足不等式4x+300>1 500．
?? ? 解这个不等式，得? x>300．
三、一起探究
某型号体重秤，有效称重范围是0～100 kg．称体重时，体重x(kg)与指针按顺时针方向转过的角度y(°)有如下一些对应数值：
x/kg
0
15
40
55
60
y/°
0
54
144
198
216
1．请你在直角坐标系中，分别以上表中的每对对应数值为横坐标和纵坐标，描出相应的点，用线连结这些点，画出图像．
2．根据图像，求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
3．当体重为多少千克时，秤的指针恰好转了180°?称量体重为 75kg时，秤的指针转过的角度是多少?
学生活动：小组讨论，得出答案
老师讲解点评。
解：（2）因为函数的图像是直线上的一段，并且经过原点，所以y是x的正比例函数，求得函数表达式为，自变量的取值范围为0≤x≤100．
（3）由180=，解得x=50．
即称得体重为50kg时，秤的指针恰好转了180°．
当x=75时，即秤的指针转了270°．
四、巩固练习
课本 练习
五、课堂小结
这节课你的收获有哪些？
掌握一次函数的应用有两个层次：
（1）如果给出了一次函数表达式，则可直接应用一次函数的性质解决问题。
（2）如果问题只用语言叙述或用表格或用图像提供了一次函数的情境（有时是隐含的表述），则应先求出函数表达式，进而利用函数性质解决问题。
六、板书设计
一次函数的应用
例1??????????????????????????? 例2????????????????????????????? 练习
?
?
?
?
? 21.5一次函数与二元一次方程的关系
一、教材分析
本节内容使学生初步形成相互联系与相互制约、一般与特殊的标 辨证唯物主义观点。 通过运用图形直观地解决代数问题，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷。 通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦。
二、学情分析
本节内容充分体现了数与形的有机结合，数形结合是数学思想的一个重要组成部分，通过运用图形直观地解决代数问题，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷。
三、教学目标
1. 理解一次函数与相应的一次方程的关系。
2.会利用函数图象求一次方程的解。
四、重点、难点
重点：利用函数图象求一次方程的解。
难点：两个“一次”间的关系。
五 、教学设计
教学环节
教学活动设计
设计意图说明
创设问题情境
问题：某班小昆同学所在的科技小组，利用课余时间制作航模。一次小昆?带10元钱去商店购买小型发动机，但不知单价，店老板告诉他，所带的钱够买2台发动机，如果小昆买2台发动机，那么他剩余多少钱？
从实际问题中发现问题解决问题
创设问题情境
y是x的一次函数即y=-2x+10。?当x取什么值时，函数y的值等于零？?在函数y=-2x+10中，当y=0时，得 -2x+10=0， ∴x=5. 求它的图象与x轴的交点坐标 0.5 x.
?
一起
探究
设每台发动机x元，剩余y元，那么y与x之间有怎样的关系？（y=10-2x）
如果小昆所带的钱恰好用完，那么每台发动机单价是多少？?如果小昆所得的钱还有剩余，那么每台发动机单价应在什么范围内？
函数的图象与x轴的交点的纵坐标为0，而由（1）知，这个点的横坐标为5，所以它的图象与x轴的交点坐标为（5，0），直线y=-2x+10与x轴交点的横坐标与一元一次方程-2x+10=0的根有何关系？?
?
以分组讨论的形式，让学生自己总结．
例题解析
y=-2x+10.
当x取什么值时，函数y的值大于零，小于零？?
（2）?能否利用已作出的一次函数y=-2x+10的图象，而不解具体的不等式呢？?
引深：（3）解不等式-2x+10＞0，在函数图象上表现的是什么？图象上何时点的纵坐标大于零？?
?
以分组讨论的形式，让学生自己总
结．
辨析研讨
一元一次不等式kx+b＞0（或kx+b＜0＝的解集可以看作使一次函数y=kx+b取正值（或负值）时x的取值范围。
观察思考
函数?方程? 不等式的联系与区别
通过发现问题，解决问题的过程，感受统计在生产和生活中的应用.
教师?适当进行点拨与补充.
巩固练习
类似地，解不等式-2x+10＜0呢？
?
评价反思
?
?
?
