20.1常量与变量
课题
20.1常量与变量
课型
新授
时间
审核
八年级数学组
主备人
课时
第1课时
学习目标
能确定简单的函数自变量取值范围。
学习重点
函数表达式有意义和实际问题有意义时自变量的取值范围。
学习难点
实际问题有意义时自变量的取值范围。
学习方式
师友互助、自助探究
教具
多媒体课件
学习过程
教学
环节
互助学习
教师
点拨
预
习
交
流
相关知识链接：
y 是x 的函数：
在某个变化过程中，有______个变量x和y，如果给定x一个值， y就有唯一的一个值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中______是自变量。
如果y是x的函数，那么也说y与x具有函数关系。
如何确定函数自变量的取值范围？
注意函数的定义。
互
助
探
究
互
助
探
究
函数的自变量可以在允许的范围内取值，超出这个范围可能失去意义，这就是函数的自变量的取值范围问题。
使函数有意义的自变量的全体，叫做函数自变量的取值范围。
互助探究一：自变量的取值必须使函数表达式有意义
（1）函数y=2x-5的自变量取值范围是_________________。?
函数表达式是一个含有自变量的整式时，自变量的取值范围是_________。
（2）函数的自变量 的取值范围是___________________。
?当函数关系式是分式时，自变量的取值范围是使_________________。
（3）?在函数中，自变量x的取值范围是___________。
当函数关系式是二次根式时，自变量取值范围是使___________________。
（4）在函数中，自变量x的取值范围是___________。
当函数关系式中，自变量同时含在分式、二次根式中时，函数自变量的取值范围
是_______________，即建立不等式组，取它们的公共解。
小结：自变量的取值必须使函数表达式有意义
（1）表达式是整式时自变量取值范围是＿＿＿＿。
（2）表达式是分式时自变量取值范围是＿＿＿＿。
（3）表达式是二次根式时自变量取值范围是＿＿＿＿。
（4）表达式中同时含有分式、二次根式时变量取值范围是＿＿＿＿。
例1：求下列函数自变量的取值范围.
（1）y=2x+1； (2) ； （3）； （4）； （5）.
跟踪训练一：求下列函数自变量的取值范围
（1）； (2) ； （3） ； （4）
注意每种情况中代数式的形式，从而确定自变量的取值范围。
注意：
例1中（5）
跟踪训练一：(4)
互
助
探
究
互
助
探
究
互助探究二：自变量的取值必须使实际问题有意义
在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素：（1）自变量自身表示的意义，如时间、路程、用油量等不能为负数；（2）问题中的限制条件，此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围。
例1：如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm,边CA与边MN在同一条直线上，点A与点M重合。让△ABC沿MN方向=运动，当点A与点N重合时停止运动。试写出运动中两个图形重叠部分的面积y(cm2)与MA的长度x(cm)之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围。
几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还需考虑几何图形的构成条件及运动范围，如在三角形中“两边之和大于第三边”。
跟踪训练二：写出下列问题中的函数关系式及自变量的取值范围
某市民用电费标准为0.52元/千瓦时，求电费y(元)与用电量x（千瓦时）的函数关系式。
已知一等腰三角形的面积为20cm2,设它的底边长为x(cm),求底边上的高y(cm)与x的函数关系式。
一辆长途汽车，一60km/h的平均速度，从甲地驶往相距270km的乙地。求汽车距乙地的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系式。
注意分析实际意义，使自变量有意义。
重叠部分的三角形是什么三角形？
互
助
提
高
1、使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A. B. C.且 D.一切实数
2、函数中自变量x的取值范围是 ．
3、函数中，自变量x的取值范围是 ．
4、如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）.求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
注意动点的运动方向和速度。
归纳总结
函数自变量的取值范围有两个条件所确定：
一、自变量的取值必须使函数表达式有意义
（1）表达式是整式时自变量取值范围是＿＿＿＿。
（2）表达式是分式时自变量取值范围是＿＿＿＿。
（3）表达式是二次根式时自变量取值范围是＿＿＿＿。
（4）表达式中同时含有分式、二次根式时变量取值范围是＿＿＿＿。
二、实际问题中自变量的取值范围要符合实际意义。
知识点要全
板书设计
互助探究一：自变量的取值必须使函数表达式有意义
互助探究二：自变量的取值必须使实际问题有意义
课后反思
当
堂
检
测
1、在函数中，自变量的取值范围是____________.
2.函数 的自变量x的取值范围是____________。
3、设电报费标准是每字0.14元，电报纸每张0.20元，写出电报费y(元)与字数x(个)之间的函数关系及x的取值范围。
4、矩形周长20，一边长x，面积为y，试写出y与x关系及x取值范围．
5、等腰三角形腰长x，底边长y，周长30，写出y与x的函数关系及自变量的取值范围．
6、如图1。在边长为的正方形ABCD以边BC上有一点P，从B点运动到C点，设PB＝x，四边形APCD面积为y，写出y与x之间的函数关系及x的取值范围．
20.2函数
教学目标：
知识与技能：1、体会函数是刻画和研究变化过程中量与量之间关系的一种重要数学模型。
2、探究具体问题中的数量关系和对应的规律。
3、结合具体的实例理解函数的概念和自变量的意义。
4、能够写出实例中的函数解析式，会确定自变量的取值范围，求函数值。
过程与方法：
1、通过探究具体的实例，体会从特定的事例中抽象出函数概念，分析两个变量是否满足函数过程，理解函数及其自变量的意义。
2、让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式。
情感态度与价值观：
1、积极参与探究活动，进行知识和情感的交流，激发探究的兴趣。
2、通过函数概念的学习，渗透从特殊到一般、从具体到抽象的思考方式，体会数形结合的数学思想。
3、体会生活中事物的相互联系，感受函数的普遍性。
教学重点和难点：
1、重点：了解函数的含义，会列简单解析式，会求函数自变量的取值范围及函数值。
2、难点：函数的概念，列函数解析式。
教法学法
1、针对八年级学生的认知和心理特征，结合本节课的具体内容，设置“创设情景——主体探究——合作交流——应用提高”的教学过程，体会“做中学”的教学模式。
2、充分调动学生思考、探究的积极性，尽可能地给学生创设活动的时间和空间，在老师的指导下以探究为主，辅以合作交流。
教学流程设计：
教师活动
学生活动
设计意图
创设情景
引入新课
出示图片（这是老师手机中今天天气的实时预报）
1、回答问题
问题：根据这个图表，你能说出1-6点钟，每个时刻的温度吗？
2、思考：生活中的各种对应关系
激发学生的兴趣，体会事物的对应联系，为学习概念做准备。
思考问题
探究概念
问题一：
1、出示图片
1、观察这个气温变化图，你能找到凌晨3时，上午9时和下午16时对应的温度吗？你能得到这天24小时内任意时刻对应的温度吗？
2、这一天的最高气温是多少？最低气温是多少？
引导学生体会：在这个变化过程中有两个变量，T（温度）随t（时间）的变化而变化；给定一个时间t有唯一的温度T对应。
问题二：
1、出示问题情景
我们曾做过“对折纸”的游戏：取一张纸，第1次对折，1页纸折为2层；第2次对折2层纸折为4层；第3次对折，4层纸折为8层……用n表示对折的次数,p表示对折后的层数.
1、请写出用n表示p的表达式。
2、根据写出的表达式，是否可以得出任意次对折后的层数？
引导学生体会：在这个变化过程中有两个变量，p（对折的层数）随n（对折的次数）的变化而变化；给定一个次数n有唯一的层数p对应。
问题三：出示概念
一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y,如果给定x的一个值,就能相应地确定一个y值,那么我们就说y是x的函数.
1、在上述几个问题中，分别指出其中的变量。
2、说明在同一个问题中，当其中一个量变化时，另一个量是否也在相应地变化。
3、当其中一个量取定一个值时，另一个量是否也相应地取定一个值。
问题四：
练习：
判断两个变量是否具有函数关系的依据。
1、思考交流，结合图象，回答问题。
2、体会：
在问题一的变化过程中有两个变量，T（温度）随t（时间）的变化而变化；给定一个时间t有唯一的温度T对应；
问题二的变化过程中有两个变量，p（对折的层数）随n（对折的次数）的变化而变化；给定一个次数n有唯一的层数p对应。
3、找出变化过程的共同点：
（1）两个变量；
（2）一个量随着另一个量的变化而变化；
（3）一个变量取一个定值时，另一个变量就有确定的值与之对应。
4、讨论两个变量是否成函数关系的依据：对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一的值与其对应。
1、通过两个问题的探究使学生明确具体问题中变量之间的相互联系。
2、以学生活动为中心，充分发挥学生的主动性，自己探究函数的概念。
3、能够体会和探讨出判断函数关系的依据。
深入实质
剖析应用
问题一：出示问题
1、某市某一天的气温T（温度）是t（时间）的函数，其中自变量t可取哪些值?如果t取第二天凌晨3时,原问题还有意义吗?
2、折纸的层数是折纸次数的函数，其中自变量n可取哪些值?当n=0.5时,原问题有没有意义?
引导学生总结：
t可取这一天0-24时中的任意值,n只能取正整数。
函数的自变量可以在允许的范围内取值，超出这个范围可能失去意义，这就是函数自变量的取值范围问题。
问题二：出示问题
1、求下列函数的自变量x的取值范围
(1)y=2x+1(2)y=(3)y=
2、如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm ，边CA与边MN 在同一条直线上，点A与点M重合。让△ABC沿MN方向运动.当点A与点N 重合时停止运动。试写出运动中两个图形重叠部分的面积y(cm2) 与MA 的长度x(cm)之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
解答过程：
解:因为△ABC是等腰直角三角形, 四边形MNPQ是正方形,且AB=BC=QM=MN,所以运动中两个图形的重叠部分也是等腰直角三角形，由MA=x,得
函数的自变量的取值范围条件的确定。点拨：函数的自变量的取值范围由哪些条件确定。
1、学生分析、归纳后发现自变量的取值可能存在问题，进而得出函数的自变量可以在允许的范围内取值。
2、独立思考问题，随后合作交流，最后总结归纳出：函数的自变量的取值范围由两个条件所确定，一是使函数表达式有意义；二是使所描述的实际问题有意义。
1、对上面的活动中获得的概念进行巩固、补充、运用升华。
2、使学生经历探究思考的过程，挖掘学生的深层次思维。
3、给学生一个自主探索的机会，同时也有利于培养学生的合作精神。
归纳反思
课堂小结
学生自主小结，
归纳整理
出示概念：
1、函数概念
2、两个变量成为函数关系的依据
3、函数自变量的取值范围的确定
1、归纳本节课有哪些收获？还有哪些疑惑？
2、畅所欲言，
互补得失。
3、展示成果，升华规律。
1、回顾本节课的流程，让学生体验到学习数学的快乐，在交流中与全班同学分享。
2、使所学知识条理化，系统化。
分层作业
强化新知
1、巩固本节课所学内容，增强应用意识。
2、尊重学生的个体差异，为不同学生的成功创造条件，分层分类。
函数的表示
课题
20.3函数的表示
课型
新授
时间
审核
主备人
课时
1课时
学习目标
1.通过实例了解函数三种表示方法。从具体问题中了解函数各种表示方法的特点。
2.能选择恰当的方法表示实际问题中函数的关系，发展符号感。初步体会数形结合的思想方法。
3.通过探索过程，让学生充分感受函数的三种表示方法在解决实际问题中的作用.
学习重点
1.认清函数的不同表示方法，知道其优缺点。
2.能按具体情况选用适当方法。
学习难点
对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析。
学习方式
师友互助、自助探究
教具
多媒体课件
学习过程
教学环节
学习内容
师生活动
预
习
交
流
1.函数关系有 种表示方法，分别是 ， ， 。
2.由函数的关系式画其图象的一般步骤是 ， ， 。
3.函数的图象：一般地，我们把 叫做这个函数的图象。
理解函数的图像定义
互
助
探
究
互
助
探
究
高
互
助
探
究
互
助
提
高
互助探究一 函数关系的表示法
人们发现，声音在空气中传播的速度（简称声速）与气温之间具有函数关系。某研究者通过实验得到了如下一组关于气温x与声速y对应的数值:
x/℃
-10
-5
0
5
10
15
20
y/(m/s)
325.36
328.36
331.36
334.36
337.36
340.36
343.36
（1）声速y是否为气温x的函数？
（2）这是用什么方法表示的这个函数关系？
（3）能否用表达式表示声速y与气温x之间的函数关系？
（4）如何求气温为－4℃，28℃时声速的值？
（5）这些表示方法有什么特点？
互助探究二：用描点法画函数的图像
上题中声速与气温之间的函数关系，还可借助图像表示出来，具体可以这样做：
（1）画出直角坐标系,以横轴上的点表示气温x,用纵轴上的点表示声速y.
（2）借助于表格或表达式找出x和y的若干对应值,分别以每对值为横、纵坐标确定出坐标系中相应的点.
（3）用平滑的线将这些点连结,就得到声速y和气温x之间用图像表示的函数关系.
知识点归纳：一般地，我们把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的 坐标和 坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像. 用图像表示的函数关系,更为直观和形象.
例1.在直角坐标系中，画出函数y=2x+1的图像.
例2.如图是函数显示器.
（1）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.
（2）根据函数关系式，填写表格
X
0
1
4
9
16
Y
（3）借助这些对应的数值画出这个函数的图像。
跟踪训练
1．通过测量得出气温t(℃)与高度h(千米)之间的一组数据如下表：
h（千米）
0
1
2
3
4
…
t（°C）
24
18
12
6
0
…
则气温t(℃)与高度h(千米)之间的函数关系式为 。
2.某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表：
砝码的质量（x/g）
0
50
100
150
200
250
300
400
500
指针位置（y/cm）
2
3
4
5
6
7
7.5
7.5
7.5
则y关于x的函数图像是( )
3．对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方用华氏温度表示，摄氏温度与华氏温度之间存在着某种函数关系．从温度计的刻度上可以看出，摄氏(℃)温度x与华氏(°F)温度y有如下的对应关系：
x（°C）
…
－10
0
10
20
30
…
y（°F）
…
14
32
50
68
86
…
(1)确定y与x之间的函数关系式．
(2)某天，A市的最高气温是8°C，澳大利亚悉尼的最高气温是91°F，问这一天悉尼的最高气温比A市的最高气温高多少摄氏度(结果保留整数)?
为了缓解用电紧张矛盾，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x(度)与应付电费y(元)的关系如图所示．
根据图像，请求出y与x的函数关系式．
同一个函数关系，可以用不同方法表 示
，体会各自的特点。
画图像 时，描
出的点越 多，图像越准 确
体会数形结合思 想
函数表示方 法，可
互相转 换，要
仔细分析表中的数 值。
归纳总结
师友总结本节课收获
板书设计
函数关系的表示法
用描点法画函数的图像
课后反思
当
堂
检
测
1. 甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系在平面直角坐标系中如图所示，结合图形和数据回答问题：
⑴这是____米赛跑；
⑵甲乙两人中先到达终点的是____；
⑶乙在这次赛跑中的速度是____米/秒．
2. 如图，一水库现蓄水a立方米，从开闸放水起，每小时放水b立方米，同时从上游每小时流入水库2b立方米，那么到水库蓄满水为止，水库蓄水量y（立方米）是开闸时间t（时）的函数，其图像只能是图中的（ ）
3．某电话公司对手机的收费标准是：①“快捷通”每分钟通话费0．6元；②“全球通”每月交月租费45元，通话每分钟0．45元，设每月所缴费用y(元)，通话时间x(分)，则y与x之间的函数关系式可表示为
(1)y快捷通＝ ， y全球通= 。
(2)通话时间为多少分钟时，两种手机的钱一样多?
(3)若某一教师每月的通话时间不超过4小时，则选用哪种手机合算?
(4)某公司经理每天通话都在1小时以上，选用哪种手机合算?
函数的初步应用
课题
20.4函数的初步应用
主备人
审核
课型
新授课
课时
1课时
时间
学习目标
能从函数关系中获取相应信息，运用函数解决简单的实际问题。
2体会函数模型的作用，增强数学应用意识。
重点难 点
重点：数形结合思想的应用。
难点：从函数关系中获取相应信息，运用函数解决简单的实际问题。
学习过程
教学环节
互助学习
教师点拨
互助探究
互助探究一 函数在数量型关系的应用
已知摄氏温度值和华氏温度值有下表所示的对应关系：
摄氏温度/℃
0
10
20
30
40
50
华氏温度/°F
32
50
68
86
104
122
（1）当摄氏温度为30℃时，华氏温度为多少？
（2）当摄氏温度为36℃时，由数值表能直接求出华氏温度吗？试写出这两种温度之间关系的函数表达式，并求摄氏温度为36℃时的华氏温度。
（3）当华氏温度为140°F时，摄氏温度时多少？
跟踪训练一：
1、一辆汽车的油箱内有油48升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0. 6升，如果设剩油量为y升，行驶路程为x千米。
（1）写出x与y的关系式。
（2）用表格表示汽车从出发地行驶10千米，20千米，30千米，40千米，50千米时的剩油量。
（3）根据表格中的数据说明剩油量时怎样随着行驶路程的变化而变化的。
互助探究二：函数在图形问题中的应用
例：一圆锥的高是20㎝，当底面半径r（㎝）由1㎝变化到10㎝时，圆锥的体积
V（㎝3）也在变化。
（1）请写出V与r之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围。
（2）完成下表：
r（㎝）
1
3
5
9
10
V（㎝3）
60π
跟踪训练二：
在△ABC中，BC=16，高AD=10.动点C’由点C沿CB向点B移动（不与点B重合）。设CC’，DE 长为x，△ABC’的面积为S。
（1）在这个过程中，哪些量是常量，哪些量是变量？
（2）请写出S与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。
当x分别取10、5、3时，计算相应的S的值。
互助探究三：利用函数图象解决实际问题
一支20㎝长的蜡烛，点燃后，每小时燃烧5㎝，在下列图像中，哪一幅能够大致刻画出这支蜡烛点燃后剩余长度h（㎝）与点燃时间t（h）之间的函数关系？请说明理由。
跟踪训练三：
某批发部对经销的一种电子元件调查后发现，一天的盈利y（元）与这天的销售量x（个）之间的函数关系的图像如图所示。观察图像并回答：
（1）一天售出这种电子元件多少个时盈利最多，最多盈利是多少？
（2）这种电子元件一天卖出多少时不赔不赚？
教师引导学生师友互助探究知识点。
构建函数模型，解决实际问题。
例题由师友交流，教师巡视并指导。
函数表示方 法，可互相转 换，要仔细分析表中的数 值。
分层提高
为了缓解用电紧张矛盾，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x(度)与应付电费y(元)的关系如图所示．
根据图像，请求出y与x的函数关系式．
总结归纳
师友总结本节课收获
教师引导学生回顾本节课所学知识
点。
教学反思
当
堂检测
当堂检测
在靠墙（墙长为18m）的地方围建一个矩形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为35m，求鸡场的长y（m）与宽x（m）之间的函数关系式，并求自变量的取值范围。
