人教A版高中数学必修二第二章点直线平面之间的位置关系单元测试题（原卷版)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．已知、是异面直线，给出下列结论：
①一定存在平面，使直线平面，直线平面；
②一定存在平面，使直线平面，直线平面；
③一定存在无数个平面，使直线与平面交于一个定点，且直线平面．
则所有正确结论的序号为（ ）
A．①② B．② C．②③ D．③
2．已知两条直线a，b与两个平面α，β，b⊥α，则下列命题中正确的是( )．
①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b∥β.
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
3．已知下列各命题：
①两两相交且不共点的三条直线确定一个平面：
②若真线不平行于平面，则直线与平面有公共点：
③若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线：
④若两个二面角的两个面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补.
则其中正确的命题共有（ ）个
A． B． C． D．
4．在棱长为的正方体中,点分别是线段（不包括端点）上的动点,且线段平行于平面,则四面体的体积的最大值是
A． B． C． D．
5．下列命题正确的是( )
A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行
B．平行于同一个平面的两条直线平行
C．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面
D．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行
6．如图，在三棱柱中，点为的中点，点是上的一点，若//平面，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
7．如图，在三棱锥中，侧面底面BCD，，，，，直线AC与底面BCD所成角的大小为
A． B． C． D．
8．三棱锥的高，若，二面角为，为的重心，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．长方体中，，，则直线与平面ABCD所成角的大小（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在三棱锥中，已知平面，，且，设是棱上的点（不含端点）．记，，二面角的大小为，则（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
评卷人
得分
二、填空题
11．在正四棱锥P-ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为___________．
12．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是________．
①若m?β，α⊥β，则m⊥α
②若m∥α，m⊥β，则α⊥β
③若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ
④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
13．棱长为的正方体中，是棱的中点，过作正方体的截面，则截面的面积是_________________．
14．已知点是等边三角形所在平面外一点，点分别是的中点，则平面与平面的位置关系是_______.
15．已知球内接三棱锥中，平面ABC，为等边三角形，且边长为，又球的体积为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为________.
评卷人
得分
三、解答题
16．如图，四棱锥中，，且平面平面.
（1）求证：；
（2）在线段上是否存在点，使平面？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由.
17．在直四棱柱中，底面四边形是边长为2的菱形，，，是的中点.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求异面直线和所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积.
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，M为PD的中点，E为AM的中点，点F在线段PB上，且．
Ⅰ求证平面ABCD；
Ⅱ若平面底面ABCD，且，求．
20．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，EFAB，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，G为BC的中点，求证：
（1）OG∥平面ABFE；
（2）AC⊥平面BDE．
21．如图，正三棱柱的所有棱长均为2，，分别为和的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
人教A版高中数学必修二第二章点直线平面之间的位置关系单元测试题（含答案解析)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．已知、是异面直线，给出下列结论：
①一定存在平面，使直线平面，直线平面；
②一定存在平面，使直线平面，直线平面；
③一定存在无数个平面，使直线与平面交于一个定点，且直线平面．
则所有正确结论的序号为（ ）
A．①② B．② C．②③ D．③
【答案】C
【解析】
【分析】
利用反证法结合线面垂直的定义可判断①的正误；利用面面平行的性质可判断②的正误；利用正方体模型判断③的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于①，假设存在平面，使得，，
过直线作平面，使得，则，，则，可得，
但、不一定垂直，矛盾，假设不成立，命题①错误；
对于②，在空间一点作，，由于、是异面直线，则，
直线、确定平面，使得，，则，，命题②正确；
对于③，如下图所示：
在正方体中，与为异面直线，
存在平面，使得平面，且平面，
将平面平移，可形成无数个平面满足条件，命题③正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查空间中有关线面、面面位置关系命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.
2．已知两条直线a，b与两个平面α，β，b⊥α，则下列命题中正确的是( )．
①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b∥β.
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】A
【解析】
过直线a作平面γ使α∩γ＝c，则a∥c，再根据b⊥α可得b⊥c，从而b⊥a，命题①是真命题；下面考虑命题③，由b⊥α，b⊥β，可得α∥β，命题③为真命题．故正确选项为A.
3．已知下列各命题：
①两两相交且不共点的三条直线确定一个平面：
②若真线不平行于平面，则直线与平面有公共点：
③若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线：
④若两个二面角的两个面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补.
则其中正确的命题共有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
①利用平面的基本性质判断.②利用直线与平面的位置关系判断.③由面面垂直的性质定理判断.④通过举反例来判断.
【详解】
①两两相交且不共点，形成三个不共线的点，确定一个平面，故正确.
②若真线不平行于平面，则直线与平面相交或在平面内，所以有公共点，故正确.
③若两个平面垂直，则一个平面内，若垂直交线的直线则垂直另一个平面，垂直另一平面内所有直线，若不垂直与交线，也与另一平面内垂直交线的直线及其平行线垂直，也有无数条，故正确.
④若两个二面角的两个面分别对应垂直，则这两个二面角关系不确定，如图：
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角D-AA1-F与二面角D1-DC-A的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．故错误..
故选：B
【点睛】
本题主要考查了点、线、面的位置关系，还考查了推理论证和理解辨析的能力，属于基础题.
4．在棱长为的正方体中,点分别是线段（不包括端点）上的动点,且线段平行于平面,则四面体的体积的最大值是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意在棱长为的正方体中，点分别是线段上的动点，
且线段平行于平面，
设，即到平面的距离为，
所以四棱锥的体积为，
当时，体积取得最大值，故选A．
点睛：本题考查了空间几何体的结构特征，及几何体的体积的计算，其中解答中找出所求四面体的底面面积和四面体的高是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于空间几何体的体积与表面积的计算时，要正确把握几何体的结构特征和线面位置关系在解答中的应用．
5．下列命题正确的是( )
A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行
B．平行于同一个平面的两条直线平行
C．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面
D．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行
【答案】D
【解析】
A错误；平行于平面的直线，和这个平面内的直线平行或异面；
B错误；平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面；
C错误；与两个相交平面的交线平行的直线也可能在其中一个平面内；
D正确；设故做一平面，则，
又故选D
6．如图，在三棱柱中，点为的中点，点是上的一点，若//平面，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
假设点是中点或不是中点，利用反证法，根据面面平行的性质定理，可得结果.
【详解】
若//平面，则.
①当点满足时，
由平行四边形，可得//.
又平面，平面，
//平面.
同理//平面，又，
∴平面//平面，
//平面，满足已知条件.
②假设点不是线段的中点
由//平面，则可取线段的中点，
由①可知，平面//平面，
∴平面//平面，
与平面平面相矛盾，
因此假设不成立，
故点是线段的中点.
故选：B.
【点睛】
本题考查反证法的应用以及面面平行的性质定理，属中档题.
7．如图，在三棱锥中，侧面底面BCD，，，，，直线AC与底面BCD所成角的大小为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
取BD中点,可证，为直线AC与底面BCD所成角。
【详解】
取BD中点，由，，又侧面底面BCD，所以。
所以为直线AC与底面BCD所成角。
,所以。选A.
【点睛】
本题考查线面角，用几何法求线面角要一作、二证、三求，要有线面垂直才有线面角。
8．三棱锥的高，若，二面角为，为的重心，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据AB=AC，取BC的中点E，连结AE，得到AE⊥BC，再由由AH⊥平面BCD，得到EH⊥BC.，所以∠GEH是二面角的平面角，然后在△GHE中，利用余弦定理求解.
【详解】
:如图所示：
取BC的中点E，连结AE，
∵AB=AC，∴AE⊥BC，且点G在中线AE上，连结HE.
∵AH⊥平面BCD，∴EH⊥BC.∴∠GEH=60°.
在Rt△AHE中，∵∠AEH=60°，AH=
∴EH=AHtan30°=3，
AE=6，GE=AE=2
由余弦定理得HG2=9+4-2×3×2cos60°=7.
∴HG=
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二面角问题，还考查了空间想象和推理论证的能力，属于中档题.
9．长方体中，，，则直线与平面ABCD所成角的大小（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接，根据长方体的性质和线面角的定义可知：是直线与平面ABCD所成角，在底面ABCD中，利用勾股定理可以求出，在中，利用锐角三角函数知识可以求出的大小.
【详解】
连接，在长方体中，显然有平面ABCD，
所以是直线与平面ABCD所成角，在底面ABCD中，，在中，，故本题选B.
【点睛】
本题考查了线面角的求法,考查了数学运算能力.
10．如图，在三棱锥中，已知平面，，且，设是棱上的点（不含端点）．记，，二面角的大小为，则（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【答案】D
【解析】
【分析】
作出二面角的平面角，利用角的余弦值的大小关系得出与、与的大小关系.
【详解】
如下图所示：
过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接、、.
，平面，平面，平面，，
，，，，平面，
同理可得平面，
平面，，，
易知，，
，，则，，
，.
，，，则四边形为矩形，，
则，.
综上所述，，且.
故选：D.
【点睛】
本题考查二面角与线线角的大小比较，作出二面角的平面角，并利用三角函数值的大小关系来得出角的大小关系是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
评卷人
得分
二、填空题
11．在正四棱锥P-ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为___________．
【答案】45°
【解析】
【分析】
先确定直线PA与平面ABCD所成的角，然后作两异面直线PA和BE所成的角，最后求解．
【详解】
∵四棱锥P－ABCD是正四棱锥，∴就是直线PA与平面ABCD所成的角，即＝60°，∴是等边三角形，AC＝PA＝2，
设BD与AC交于点O，连接OE，则OE是的中位线，即，且，
∴是异面直线PA与BE所成的角，
正四棱锥P－ABCD中易证平面PAC，∴，
中，，∴是等腰直角三角形，∴＝45°．
∴异面直线PA与BE所成的角是45°．
故答案为45°．
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，考查直线与平面所成的角，考查正四棱锥的性质．要注意在求空间角时，必须作出其“平面角”并证明，然后再计算．
12．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是________．
①若m?β，α⊥β，则m⊥α
②若m∥α，m⊥β，则α⊥β
③若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ
④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
【答案】②
【解析】
【分析】
由线面、面面的平行垂直的判定和性质一一检验即可得解.
【详解】
若m?β，α⊥β，则m与α的关系不确定，故①错误；
若m∥α，则存在直线n?α，使m∥n，又由m⊥β，可得n⊥β，进而由面面垂直的判定定理得到α⊥β，故②正确；
若α⊥β，α⊥γ，则β与γ相交或平行，故③错误；
若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α与β可能平行，也可能相交(此时交线与m，n均平行)，故④错误．
故答案为②.
【点睛】
本题主要考查了线面、面面的垂直和平行位置关系的判定和性质，属于基础题.
13．棱长为的正方体中，是棱的中点，过作正方体的截面，则截面的面积是_________________．
【答案】
【解析】
【分析】
由由面面平行的性质作出截面，依据图形求出面积即可．
【详解】
如图，由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，又 故梯形的高为，则其面积．
故答案为
【点睛】
考查空间中截面的作法及梯形的面积公式，注意面面平行性质的运用
14．已知点是等边三角形所在平面外一点，点分别是的中点，则平面与平面的位置关系是_______.
【答案】平行
【解析】
【分析】
根据题中条件，先得到平面，平面，再由面面平行的判定定理，即可得出结果.
【详解】
∵分别是的中点，∴是的中位线，∴.
又∵平面，平面，所以平面.
同理平面.
∵，
所以平面平面.
【点睛】
本题主要考查判断面面是否平行，熟记面面平行的判定定理即可，属于常考题型.
15．已知球内接三棱锥中，平面ABC，为等边三角形，且边长为，又球的体积为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据正弦定理求出小圆的半径,根据球的体积求出球的半径,再根据垂径定理求得,根据勾股定理求得,,取的中点,连,可得就是直线PC与平面PAB所成的角,在直角三角形中可求得.
【详解】
如图:
由正弦定理得小圆的半径为:,则,
又由,得球的半径R,
所以,取的中点,连接, ,则就是直线PC与平面PAB所成的角,
又,
,
所以.
直线PC与平面PAB所成角的余弦值为.
【点睛】
本题考查了直线与平面所成的角,垂径定理,属中档题.
评卷人
得分
三、解答题
16．如图，四棱锥中，，且平面平面.
（1）求证：；
（2）在线段上是否存在点，使平面？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明过程见解析；（2）当点是线段的中点时，平面，证明过程见解析.
【解析】试题分析：（1）由平面平面，根据面面垂直性质定理可得平面，故可得线线垂直；（2）当为中点时，取中点，连接，，利用三角形中位线结合构造平行四边行可得，故可得结论.
试题解析：证明：（1）∵平面平面，平面平面，
，平面，
∴平面,
∵平面,所以.
(2) 当点是线段的中点时，平面.
证明如下： 分别取的中点，连接
则为的中位线，
所以,且，
又，所以,且，
所以四边形是平行四边形，所以,
又因为平面，平面
所以平面.
点睛：本题考查了线线垂直的判定以及线面平行的探究等；破解线面、线线垂直关系的技巧：(1)解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．(2)由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．求解线面平行的题型中，常见的方式有：1.利用三角形中位线；2.构造平行四边形；3.利用面面平行等.
17．在直四棱柱中，底面四边形是边长为2的菱形，，，是的中点.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求异面直线和所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
【答案】（1）；（2）；
【解析】
【分析】
（1）求解三角形求出底面梯形的面积，再由棱锥体积公式求解；
（2）在直四棱柱中，由题意可得，则即为异面直线和所成角，求解三角形得答案．
【详解】
解：（1）在直四棱柱中，
底面四边形是边长为2的菱形，，
到边的距离为，又是的中点，，
则．
，
；
（2）在直四棱柱中，
，即为异面直线和所成角，
连接，在中，，，
．
，
异面直线和所成角的大小为．
【点睛】
本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．
18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）连接，交于点，连接，可知点为的中点，利用中位线定理可得出，利用线面平行的判定定理可得出结论；
（2）证明平面，可得出，再由等腰三角形三线合一的性质得出，再利用线面垂直的判定定理可得出结论；
（3）由（2）知平面，则为三棱锥的高，计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出三棱锥的体积.
【详解】
（1）连接，交于点，连接，如图所示：
是正方形对角线的交点，为的中点，
由已知为线段的中点，，
又平面，平面，平面；
（2），为线段的中点，，
平面，平面，，
在正方形中，，又，平面，
平面，，，平面；
（3）平面，
故三棱锥的体积.
【点睛】
本题考查线面平行和垂直的证明，同时也考查了三棱锥体积的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，M为PD的中点，E为AM的中点，点F在线段PB上，且．
Ⅰ求证平面ABCD；
Ⅱ若平面底面ABCD，且，求．
【答案】（I）见证明；（II）
【解析】
【分析】
（I）取的中点，连结，，，推导出平面平面，由此能证明平面；（II）取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出．
【详解】
（I）取的中点，连结，，
在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，
为的中点，为的中点，点在线段上，且
，
，
平面平面
平面 平面
（II）平面底面，且
平面
取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系
，，，
平面的法向量
点到平面的距离
【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
20．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，EFAB，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，G为BC的中点，求证：
（1）OG∥平面ABFE；
（2）AC⊥平面BDE．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据中位线的性质证明OG∥AB后即可得证；
（2）连接FG、EO，由题意EO⊥平面ABCD，可得EO⊥AC，由线面垂直的判定即可得解.
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，
∴O是AC中点，
∵G为BC的中点，∴OG∥AB，
∵OG?平面ABFE，AB?平面ABFE，
∴OG∥平面ABFE．
（2）连接FG、EO，
∵四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，
∴AC⊥BD，O是AC中点，
∵G为BC的中点，∵EF∥AB，EFAB，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，
∴FG⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥AC，
∵EO∩BD＝O，∴AC⊥平面BDE．
【点睛】
本题考查了线面平行和线面垂直的判定，属于中档题.
21．如图，正三棱柱的所有棱长均为2，，分别为和的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】(1)详见解析;(2) .
【解析】
试题分析：(1)证明线面垂直，一般方法为利用线面垂直的判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证，可从两个方面出发，一是利用面面垂直得线面垂直，再得线线垂直，二是利用平几知识，如本题中正方形有关性质，(2)求点到直线距离，一般方法为利用等体积法，即根据可得分别求出两个三角形面积代入可得点到平面的距离.
试题解析：（I）证明：由知,又平面平面，所以平面,而平面，∴,在正方形中，由分别是和的中点知,而，∴平面.
(Ⅱ)解法1: 由（I）平面,过点作， 交和分别于点和,则平面,即的长为到平面的距离， 在正方形中,易知， ,即,得，故到平面的距离为.
解法2：如图，连接，在三棱锥中，设到平面的距离为，则，将，代入得，得， 故到平面的距离为.
