2020春湘教版八下数学1.4角平分线的性质教学课件（17张）

(共17张PPT)
教学课件
数学 八年级下册 湘教版

第1章 直角三角形

1.4 角平分线的性质
回忆旧知
角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角.
新知探究
如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，试问PD与PE相等吗？


A
B
O
P
C
将∠AOB沿OC对折，可以发现PD与PE重合，即PD与PE相等.
D
E
解 ∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中，
∵∠PDO=∠PEO，
∠DOP=∠EOP，
OP=OP，
∴△PDO≌△PEO.
∴PD=PE.
角平分线上的点到角的两边
的距离相等.
由此得到角平分线的性质定理：
O
E
P
D
A
C
B



思考
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？
如图，点P在 的内部，作 垂足分别为点D，E.若PD=PE，那么点P在 的平分线上吗？
如图，过点O，P作射线OC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∵OP=OP，PD=PE，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO.
∴∠AOC=∠BOC.
∴OC是∠AOB的平分线，
即点P在∠AOB的平分线OC上.
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
由此得到角平分线的性质定理的逆定理：

【例1】如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.
（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；
（2）求证：BD平分∠ABC.




A
B
C
D
1
2
证明：（1）在△ABC中，
∵∠1=∠2，
∴BA=BC.
又BA⊥AD，BC⊥CD，
∴点B在∠ADC的平分线上.
（2）在Rt△BAD和Rt△BCD中，
∵BA=BC，BD=BD，
∴Rt△BAD ≌ Rt△BCD.
∴∠ABD=∠CBD.
∴BD平分∠ABC.

1.如图，在直线MN上求作一点P，使点P到∠AOB两边的距离相等.
B
A
O
M
N
解：如图.



P

练习
2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD=CD.
求证：AB=AC.

A
B
C
D
E
F
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF.
∵BD=CD,
∴Rt△DBE≌Rt△DCF.
∴∠B=∠C.
∴AB=AC.
如图，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点.需添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？



C
D
B
A
E
F
M
N
可以添加条件MN=ME（或MN=MF）.
∵ME⊥CD，MN⊥CA，
∴M在∠ACD的平分线上，
即CM是∠ACD的平分线.
同理可得AM是∠CAB的平分线.

思考
【例2】如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系.
解 ∵AP是∠DAC的平分线，
又PE⊥DB，PF⊥AC，
∴PE=PF.
在△EBP中，BE+PE>PB，
∴BE+PF>PB.
如图，你能在△ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？

A
B
C
因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作△ABC任意两角（例如∠A与∠B）的平分线，其交点P即为所求作的点.点P也在∠C的平分线上，如图.
P

思考
3.E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C，
ED⊥OB于点D，求证：（1）∠ECD=∠EDC；
（2）OC=OD.


A
B
O
C
D
E
证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，
EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，
∴CE=DE.∴∠ECD=∠EDC.
（2）在Rt△COE和Rt△DOE中，
CE=DE，OE=OE.
∴Rt△COE≌Rt△DOE(HL).
∴OC=OD.

练习
4.如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上.
求证：AB=AD+BE.


A
B
C
D
E
证明：过点C作CF⊥AB于点F.
∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，
且AD⊥DE，BE⊥DE，
∴DC=CF，CE=CF.
∴Rt△ACD≌Rt△ACF(HL)，Rt△BCE≌Rt△BCF(HL).
∴AD=AF，BE=BF.
∴AB=AF+BF=AD+BE.
通过本节课，你有什么收获？
你还存在哪些疑问，和同伴交流.


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