苏教版高中数学选修2-2教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：25复数的四则运算 学案

复数的四则运算

【学习目标】
1. 会进行复数的加、减运算；
2. 会进行复数乘法和除法运算；
3. 掌握共轭复数的简单性质，理解、的含义，并能灵活运用。
【要点梳理】
要点一、复数的加减运算
1.复数的加法、减法运算法则：
设，（），我们规定：
要点诠释：
①复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。
很明显，两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．
②复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。
2.复数的加法运算律:
交换律：z1+z2=z2+z1
结合律:：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
要点二、复数的乘除运算
1．共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
通常记复数的共轭复数为。
2．乘法运算法则：
设，（），我们规定：
要点诠释：
①两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
②在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数(分母实数化)，化简后写成代数形式。
3．乘法运算律：
①交换律：z1(z2z3)=(z1z2)z3
②结合律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
③分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
要点三、复数运算的一些技巧：
1. 的周期性：如果n∈N，则有：
，，，
2.
3. 共轭复数的性质：两个共轭复数z、的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，
即，其中z=x+yi（x，y∈R）．
【典型例题】
类型一、复数的加减运算
例1.计算：
（1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)
（2）(1―2i)―(2―3i)+(3―4i)―(4―5i)+…+(1999―2000i)―(2000―2001i)
【解析】
（1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i
（2） 解法一：
原式=(1―2+3―4+…+1999―2000)+(―2+3―4+5+…―2000+2001)i=―1000+1000i。
解法二：
(1―2i)―(2―3i)=―1+i，
(3―4i)―(4―5i)=―1+i，
……
(1999―2000i)―(2000―2001i)=―1+i。
将上列1000个式子累加，得
原式=1000(―1+i)=―1000+1000i。
【总结升华】复数的加减法，相当于多项式加减法中的合并同类项的过程。如果根据给出复数求和的特征从局部入手，抓住式子中相邻两项之差是一个常量这一特点，适当地进行组合，那么可简化运算。
举一反三：
【变式】 (1)设z1=3+4i，z2=―2―i，求,
(2) 已知z1=(3x+y)+(y―4x)i，z2=(4y―2x)―(5x+3y)i（x，y∈R），求z1―z2，
【答案】
(1) z1+z2=(3+4i)+(―2―1)i=(3-2)+(4-1)i=1+3i
(2) z1－z1=(3x+y)+(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x+3y)i]
=[(3x+y)－(4y－2x)]+[(y－4x)+(5x+3y)]i
=(5x－3y)+(x+4y)i，
类型二、复数的乘除运算
例2．计算：(1) (1－i)2； (2) (1－2i)(3＋4i)(1＋2i)．
【思路点拨】第(1)题可以用复数的乘法法则计算，也可以用实数系中的乘法公式计算；第(2)题可以按从左到右的运算顺序计算，也可以结合运算律来计算．
(1)解法一：(1－i)2＝(1－i)(1－i)＝1－i－i＋i2＝－2i；
解法二：(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.
(2)解法一：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝(3＋4i－6i－8i2)(1＋2i)
＝(11－2i)(1＋2i)＝(11＋4)＋(22－2)i＝15＋20i；
解法二：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝[(1－2i)(1＋2i)](3＋4i)＝5(3＋4i)＝15＋20i.
【总结升华】此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用．特别要提醒其中(－2i)·4i＝8，而不是－8.
举一反三：
【变式1】在复平面内，复数z=i(1+2i)对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B ∵z=i(1+2i)=i+2i2=－2+i，∴复数z所对应的点为（－2，1），故选B．

【变式2】计算：（1）；（2）；（3）
【答案】（1）；
（2），
（3）

【变式3】计算：（1) （2） .
【答案】(1)
（2）.
例3.计算
【思路点拨】在复数的乘除法中，要时时注意，不能出错。
【解析】
【总结升华】
1.先写成分式形式
2.然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)
3.化简成代数形式就得结果
举一反三：
【变式1】复数等于（ ）．
A．1+2i B．1－2i C．2+i D．2－i
【解析】 ，故选C．
【变式2】 计算：（1）（2）
【答案】（1）.
（2），
类型三、复数代数形式的四则运算
例4. 计算下列各式：
（1）；（2）。
【解析】
（1）
。
（2）
。
【总结升华】 题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号，再算乘除，最后算加减．
举一反三：
【变式1】计算：
（1）
（2）
（3） ；
【答案】（1）
（2）
（3）
【变式2】计算：；
【答案】方法一：
原式。
方法二（技巧解法）：
原式。
类型四、共轭复数的有关计算

例5.，复数与复数的共轭复数相等，求x，y.
【思路点拨】先将的共轭复数要正确写出，再由复数相等的充要条件可得方程组，解之即可求结果，
【解析】

【总结升华】以z、的概念与性质为基础，结合复数代数形式的四则运算，解决有关应用问题．
举一反三：
【变式1】?设复数Z满足：
【答案】? ?
【变式2】设z的共轭复数是，,，则＝ .
【答案】设（），则，
∵，且，
∴，，
当，时，；
当，时，.
故.
【巩固练习】
一、选择题
1．两个互为共轭复数的复数之差是（ ）
A．实数 B．纯虚数 C．0 D．零或纯虚数
2．的虚部为( )
A． B． C． D．
3． 的值是( )
A． B． C． D．
4．如果(m2+i)(1+mi)是实数，则实数m=（ ）
A．1 B．－1 C． D．
5．复数的值是（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．i
6．设，z1=3+4i，z2=―2―i，则是（ ）
A．1―3i B．―2+11i C．―2+i D．5―5i
7．已知集合的元素个数是( )
A. B. C. D. 无数个
二、填空题
8．复数(15＋8i)(－1－2i)的值为________．
9. 已知复数z1=3+4i, z2=t+i,,且z1·是实数,则实数t等于
10. 计算 .
11．已知复数z=1+i，则复数的模为________。
三、解答题
12．计算：
（1）；
（2）；
（3）
13．计算：i+2i2+3i3+…+50i50。
14．复数，。若是实数，求实数a的值。
15．已知等比数列{zn}，其中z1=1，z2=a+bi，z3=b+ai（a，b∈R，且a＞0）。
（1）求a，b的值；
（2）试求使z1+z2+…+zn=0的最小正整数n；
（3）对（2）中的正整数n，求z1·z2·…·zn的值。
【答案与解析】
1.【答案】D
【解析】设两个共轭复数为a+bi、a-bi，则之差为a+bi-(a-bi)=2bi，故选D。
2．【答案】D
【解析】，虚部为
3．【答案】CD
【解析】
4．【答案】B
【解析】
解法一：(m2+i)(1+mi)=m2+m3i+i+mi2=m2―m2+(m3+1)i。
∵其为实数，∴m3+1=0，∴m=―1。
解法二：代入验证法。将m=―1代入检验，可知答案为B。
解法三：若(m2+i)(1+mi)为实数，则(m2+1)(1+mi)=(m2―1)(1―mi)，求解可知m=―1。
5．【答案】A
【解析】 按复数除法的运算法则得第一项，再由i的幂的性质得第二项。
，故选A。
6．【答案】D
【解析】 ∵z1―z2=(3+4i)―(―2―i)=(3+2)+(4+1)i=5+5i，∴。故选D。
7．【答案】B
【解析】
8. 【答案】1－38i　
【解析】由复数的乘法定义可得。
9. 【答案】
【解析】 z1·=（3 + 4i）（t-i）=（3t+4）+（-3+4t）i ,所以-3+4t=0，即
10．【答案】
【解析】记

11．【答案】
【解析】 ，
而1―i的模为。
12．【解析】
（1）
（2）法一：
法二：
（3）.
13．【解析】
设S=i=2i2+3i3+…+50i50， ①
将上式两边同乘以i，得
iS=i2+2i3+…+49i50+50i51， ②
①－②得，
∴。
14．【解析】先求，然后求，此和为实数，需满足虚部为零。
。
∵是实数，∴，∴a=3。
15．【解析】（1）∵z1，z2，z3成等比数列，∴，
即(a+bi)2=b+ai，a2―b2+2abi=b+ai，
∴（a＞0），解得，。
（2）∵z1=1，，∴公比。
于是（n∈N*），
，
∴，
则n既是3的倍数又是4的倍数，故n的最小值为12。
（3）
。