苏教版高中数学选修2-2教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：26复数的几何意义 学案

复数的几何意义

【学习目标】
1.理解复数的几何意义；
2.理解复数加、减运算的几何意义；
3.对复数加、减运算的几何意义能简单运用。
【要点梳理】
要点一、复数的两种表示形式
代数形式：（）
几何表示：
①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）；
②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数.
要点诠释：
复数复平面内的点平面向量
要点二、复数加、减法的几何意义
如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量.对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量.
说明：设复数z1=a+bi，z2=c+di，（）在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=(a，b)，=(c，d)以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是，
由于= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)，所以和 的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量
类似复数加法的几何意义，由于z1－z2=(a－c)+(b－d)i，而向量= =(a，b)-(c，d)=(a-c，b-d)，所以和 的差就是与复数(a－c)+(b－d)i对应的向量.
要点三、复数的几何意义的应用
要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面：
1.利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理
2.反过来，对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数做为工具运用于几何之中。
【典型例题】
类型一、复数的几何意义
例1 .实数x满足什么条件时，复数所对应的点Z在第三象限？
【思路点拨】确定点Z在哪个象限，就是看点Z的实部和虚部的正负。
【解析】若点Z在第三象限，则有
举一反三：
【变式1】已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)|； (2)|z－1|； (3)|z+2i|；
(4)已知复数m=2－3i,若复数z满足不等式|z－m|<1,则z所对应的点的集合是什么图形?
【答案】(1) 点A与点（1,2）之间的距离；
(2) 点A与点（1,0）之间的距离；
(3) 点A与点（0,-2）之间的距离；
(4)以点（2，-3）为圆心，1为半径的圆的内部。
类型二、复数加减法的几何意义
例2. 如图所示，已知复平面内的正方形ABCD的三个顶点A（1，2），B（―2，1）， C（―1，―2），求D点对应的复数。
【思路点拨】根据点D的位置，利用解析几何的方法确定D对应的复数的实部与虚部。
【解析】
解法一：设D（x，y），则。
。
因为，
∴（x―1，y―2）=（1，―3），得。
∴D点对应的复数为2―i。
解法二：∵A，C关于原点对称，∴O为正方形ABCD的中心。
设D（x，y），则B，D关于O点对称，即，得。
∴D点对应的复数为2―i。
【总结升华】在平面几何图形中，结合向量的运算法则的几何意义，以复数加减法的几何意义为媒介，实现量之间的转化，进而求相关问题．
举一反三：
【变式1】若在复平面上的ABCD中，对应的复数为6+8i，对应的复数为―4+6i，则对应的复数是____。
【答案】
由复数加减法的几何意义可得，
其对应的复数为 。

【变式2】 已知为纯虚数，则复数z在复平面中对应的点Z组成什么图形？
【答案】设，
则
所以即（）.
以为圆心，为半径的圆去掉原点和后剩下的部分.
类型三、复数的几何意义的综合应用
例3. 说明|Z+1|+|Z-2|=2a(a∈R+)表示的曲线。
【思路点拨】判断复数Z所表示的曲线，抓住复数以及模的几何意义即可。
【解析】原式|Z-(-1)|+|Z-2|=2a.
几何意义是Z在复平面上对应的点Z与F1(-1,0),F2(2,0)距离之和等于2a的轨迹，|F1F2|=3。
(1)当2a>3即时，Z的轨迹是以F1，F2为焦点，2a为长轴的椭圆。
(2)当2a=3即时，Z的轨迹是线段F1F2。
(3)当2a<3即时，Z的轨迹不存在。
举一反三：
【变式1】若P、Q是复平面内|Z|=2与直线的两个交点，则P与Q之间的距离为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】|Z|=2表示的是圆心在原点、半径为2的圆。直线即直线，所以这是一个直线与圆相交的弦长问题。
.
【变式2】若，则复数在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B.
【巩固练习】
一、选择题
1．下面四个命题
(1)比大
(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数
(3)的充要条件为
(4)如果让实数与对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，
其中正确的命题个数是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．已知复数z1=2+i，z2=1+2i，则复数z=z2－z1在复平面内所表示的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知,那么复数在平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B． 第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．已知,则等于( )
A． B． C． D．
6．复平面内点A、B、C对应的复数分别为i、1、4+2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD，则等于（ ）
A．5 B． C． D．
二、填空题
7.已知则= .
8.若,那么的值是 .
9.如果,复数在复平面上的对应点在 象限.
10.已知z1=a+i，z2=2―ai（a∈R），且z1―z2在复平面内对应的点在直线y=2x+1上，则a=________。
11．复数在复平面内，所对应的点在第________象限。
三、解答题
12.已知：|Z+2-2i|=1.求：|Z|的最值。
13.求的平方根
14. 已知复数满足: 求的值.
15. 已知复数，，求| z1·z2|的最大值和最小值.
【答案与解析】
1.【答案】A
【解析】(1) 比大，实数与虚数不能比较大小；
（2）两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数；
（3）的充要条件为是错误的，因为没有表明是否是实数；
（4）当时，没有纯虚数和它对应
2．【答案】B
【解析】∵z=z2―z1=(1+2i)―(2+i)=―1+i，由复数的几何意义知其在第二象限，故选B。
3．【答案】D
【解析】 因为，故复数z对应的点在第四象限，选D项。
4．【答案】A
【解析】
5．【答案】C
【解析】
6．【答案】B
【解析】∵
。∴。故选B。
7. 【答案】
【解析】
8. 【答案】
【解析】

9. 【答案】三
【解析】，
10．【答案】
【解析】将z1―z2=(a―2)+(1+a)i所对应的点（a―2，1+a）代入直线方程y=2x+1，即可。
11．【答案】二
【解析】所以在第二象限.
12．【解析】
|Z-(-2+2i)|=1.几何意义：Z在复平面上对应的点集是以O＇(-2,2)为圆心，r=1的圆。
|Z|的几何意义是⊙O＇上的点与原点的距离；
.
∴ , .
13．【解析】设的平方根为x+yi(x,y∈R).
则

由复数相等的定义得
(1)2+(2)2得 (x2+y2)2=25
x2+y2=5 (舍去负值)........(3)
(1)+(3) x2=3, x=,
(3)-(1), y2=2, .
∵ . ∴ 或
∴ 的平方根为。
14．【解析】设，而
即
则
15．【解析】
故的最大值为最小值为.