苏教版高中数学选修2-2教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：27《数系的扩充与复数》全章复习与巩固 学案

《数系的扩充与复数》全章复习与巩固

【学习目标】
1. 了解引进复数的必要性，了解数集的扩充过程；
2. 理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念；理解复数相等的充要条件；
3. 了解复数的代数表示法及其几何意义；
4. 掌握进行复数代数形式的四则运算法则，了解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义. 注意在不同数集中运算法则的联系和区别.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：复数的基本知识
1、虚数单位，规定它的平方等于，即.
可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2、形如（）的数叫做复数，记作：（）；
当b=0时，是实数；
当b≠0时，叫做虚数；
当a=0且b≠0时，叫做纯虚数.
3、两个复数相等的充要条件：若，则.
4、复数的几何意义：
复数复平面内的点 平面向量
5、复数的模：设（），则向量的长度叫做复数的模，记作.
即.
要点诠释：（1）的周期性：如果n∈N，则有：，，，；
（2）复数的共轭复数，记为；
（3）.
要点二：复数的运算
设，（），则：
要点诠释：（1）设ω＝，则，，，，，(n∈N+)等；
（2）复数求解计算时，要灵活利用i、ω的性质，或适当变形，创造条件，从而转化为关于i、ω的计算问题． 比如；；；
（3）作复数除法运算时，有如下技巧：．
【典型例题】
类型一：复数的概念及运算
例1. 化简下列式子：
（1）； （2） ．
【解析】 （1）
；
（2）
．
【总结升华】灵活利用及的特点进行计算．
举一反三：
【变式1】i是虚数单位，计算 ( )
A．-l B．1 C．-i D．i
【答案】 A
【变式2】复数等于 ( )
A．i B．-i C．1 D．-1
【答案】 D
【解析】 ．
【变式3】已知复数，则________·
【答案】 -2i
例2. 已知，(a∈R)分别对应向量，（O为原点），若向量所对应的复数为纯虚数，求a的值．
【解析】 设向量对应的复数为z，
∵ ，
∴
．
∵ z为纯虚数，
∴ 即
∴ ．
【总结升华】 讨论复数z为实数、虚数、纯虚数、非纯虚数应从定义入手．
举一反三：
【变式1】设(其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是-1，则z2的虚部为________．
【答案】 1
【解析】 ，，
，由复数相等得．
【变式2】 设a，b为实数，若复数，则( )
A．， B．a＝3，b＝l C．＝， D．a＝1，b＝3
【答案】 A
【解析】
故选A．
类型二：复数的几何意义
例3. 已知复数，，，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
【解析】设复数、、所对应的点分别为A、B、C，正方形的第四个点D对应的复数为(x，y∈R)，
∴ 对应的复数为
，
对应的复数为．
∵ ，
∴ ，
即 解得
∴ 点D对应的复数为．
【总结升华】本题主要考查复数的几何意义．利用，求点D对应的复数，也可利用原点O恰好是正方形ABCD的中心来解．
举一反三：
【变式】已知复平面上的ABCD中，对应的复数为6+8i，对应的复数为-4+6i，求向量对应的复数．
【答案】如图所示，ABCD中，设对角线AC、BD的交点为E，则点E为AC、BD的中点，由复数加减法的几何意义可得
所以对应的复数为，
所以向量对应的复数为．
例4. 复数且，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．
【解析】．
由，得． ①
∵ 复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，
∴ ．
把代入上式化简得|b|＝1． ②
又∵ z对应的点在第一象限.
∴ a＜0，b＜0．
由①②得
故所求值为，．
【总结升华】要确定实数a，b的值，需列出含a，b的两个方程条件|z|＝4易使用；对于正三角形这个条件，使用方法较多，本题转化为边长相等，即．
举一反三：
【变式1】复数在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】 A
【解析】 ．
∴ 复数z在复平面内的对应点为，在第一象限．故选A．
【变式2】若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )
A．E B．F C．G D．H
【答案】 D
【解析】 由题中图示可知，
∴ ，再结合题中图示知点H表示2-i，故选D．
类型三：复数与方程
例5. 已知2+ai，b+i是实系数一元二次方程的两根，求p，q.
A．p＝-4，q＝5 B．p＝4，q＝5 C．p＝4，q＝-5 D．p＝-4，q＝-5
【思路点拨】抓住实系数一元二次方程有虚根时两根互为共轭复数来解题.
【解析】 因为2+ai，b+i)是实系数一元二次方程的两个根，
所以2+ai与b+i互为共轭复数，
所以a＝-1，b＝2，
所以实系数一元二次方程的两个根是2±i，
所以p＝-[(2+i)+(2-i)]＝-4，q＝(2+i)(2-i)＝5．
【总结升华】本题考查实系数一元二次方程有虚根时两根互为共轭复数的特点，以及根与系数的关系．
举一反三：
【变式】在复数集中解方程.
【答案】，
∴，
∴原方程的根为.
例6. 已知Z∈C，解方程．
【思路点拨】本题介绍对的熟练应用，来求得.
【解析】 ∵ ，把方程变形为， ①
两边取模得．
整理得．
解得或．
将其代入①得或．
∴ z＝-1或z＝-1+3i．
【总结升华】对于含的方程，基本解法：（1）设(x，y∈R)，利用复数相等的条件求x，y；（2）若由（1）困难，则看能否能求出，然后代回去再解. 本题可以也可以用方法求解.
举一反三：
【变式】已知Z∈C，解方程．
【答案】令(x，y∈R)，
则原方程化为：，
∴由复数相等的条件有
解得或
∴原方程的解为，.
【巩固练习】
一、选择题
1．a＝0是复数z＝a+bi(a，b∈R)为纯虚数的( )
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．复数等于( )
A．1-i B．1+i C．-1+i D．-1-i
3．复数，则在复平面内的对应点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知复数z与(z+2)2-8i均是纯虚数，则z等于( )
A．2i B．-2i C．i D．-i
5．已知，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m+ni＝ ( )
A．1+2i B．1-2i C．2+i D．2-i
6．复数( )
A．0 B．2 C．-2i D．2i
7．如图所示，在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i，-2+i，0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )
A．3+i B．3-i C．1-3i D．-l+3i
二、填空题
8．在复平面内，已知复数所对应的点都在单位圆内，则实数x的取值范围是________．
9．关于x的不等式(m，n，p∈R)的解集为(-l，2)，则复数m+pi所对应的点位于复平面内的第_______象限．
10．设x，y为实数，且，则x+y＝________．
11．设，则集合中的元素是________．
三、解答题
12．设复数，其中a∈R，当a取何值时，(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3)z是零?
13．设复数，若，求实数a、b的值．
14．计算：．
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】 复数(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0，故选B．
2．【答案】C
【解析】复数，故选C．
3．【答案】A
【解析】，所以在复平面内的对应点位于第一象限．
4．【答案】B
【解析】设(b∈R且b≠0)，则
．
∴ 解得b＝-2．
∴ z＝-2i．
5．【答案】C
【解析】，
所以 解得
6．【答案】D
【解析】∵ ，
，
∴ ．
7．【答案】D
【解析】，所以C对应的复数为．
8．【答案】
【解析】∵ z对应的点都在单位圆内，∴ ，即．
∴ ． ∴ ． ∴ ．
9．【答案】二
【解析】∵ (m、n、p∈R)的解集为(-1，2)，
∴
即m＜0，p＞0．
故复数m+pi所对应的点位于复平面内的第二象限．
10．【答案】4
【解析】
解得 所以．
11．【答案】-2，2，0
【解析】，
n＝4k时，；
n＝4k+1时，；
n＝4k+2时，；
n＝4k+3时，．
12．【解析】(1)，只需，∴ 或．
(2)z是纯虚数，只需∴ ．
(3)∵ z＝0，
∴ ∴ ．
13．【解析】．
将z＝1-i代入，得
，，
所以 解得
14．【解析】由于
，
，
，
从而．