课时跟踪检测（十五） 探究弹性势能的表达式
1．(多选)下列物体中，具有弹性势能的是( )
A．被拉长的橡皮筋
B．在空中自由下落的球
C．被拉细的铜丝
D．被弯曲的钢片
解析：选AD 拉伸的橡皮筋、弯曲的钢片具有弹性势能，自由下落的小球具有重力势能，被拉细的铜丝无弹性势能。
2．(多选)关于弹力做功与弹性势能变化的关系，我们在进行猜想时，可以参考对重力做功与重力势能变化的关系的讨论，则下面的猜想有道理的是( )
A．弹力做功将引起弹性势能的变化，当弹力做正功时，弹性势能将增加
B．弹力做功将引起弹性势能的变化，当弹力做正功时，弹性势能将减少
C．弹力做功将引起弹性势能的变化，当弹力做负功时，弹性势能将增加
D．弹力做功将引起弹性势能的变化，当弹力做负功时，弹性势能将减少
解析：选BC 弹力做功将引起弹性势能的变化，当弹力做正功时，弹性势能将减少；当弹力做负功时，弹性势能将增加。故选项B、C正确。
3.一根弹簧的弹力－伸长量图像如图所示，那么弹簧由伸长量8 cm到伸长量4 cm的过程中，弹力做的功和弹性势能的变化量为( )
A．3.6 J，－3.6 J B．－3.6 J，3.6 J
C．1.8 J，－1.8 J D．－1.8 J，1.8 J
解析：选C F-x图像中梯形的“面积”表示弹力做的功。
W＝×0.08×60 J－×0.04×30 J＝1.8 J，
此过程弹力做正功，弹簧的弹性势能减小1.8 J，故只有C选项正确。
4．在光滑的水平面上，物体A以较大速度va向前运动，与以较小速度vb向同一方向运动的、连有轻质弹簧的物体B发生相互作用，如图所示。在相互作用的过程中，当系统的弹性势能最大时( )
A．va＞vb B．va＝vb
C．va＜vb D．无法确定
解析：选B 只要va＞vb，A、B就有相对运动，弹簧就会被压缩，弹力做负功，弹性势能增加，当va＝vb时，A、B相距最近，弹簧的形变量最大，弹性势能最大，故选项B正确。
5.如图所示，轻弹簧下端系一重物，O点为其平衡位置(即重力和弹簧弹力大小相等的位置)，今用手向下拉重物，第一次把它直接拉到A点，弹力做功W1，第二次把它拉到B点后再让其回到A点，弹力做功W2，则这两次弹力做功的关系为( )
A．W1C．W2＝2W1 D．W1＝W2
解析：选D 弹力做功的特点与重力做功一样，不用考虑路径，只看起始与终止位置，故D项正确。
6．弹簧原长l0＝15 cm，受拉力作用后弹簧逐渐伸长，当弹簧伸长到l1＝20 cm时，作用在弹簧上的力为400 N，问：
(1)弹簧的劲度系数k为多少？
(2)在该过程中弹力做了多少功？
(3)弹簧的弹性势能变化了多少？
解析：(1)据胡克定律F＝kx得k＝＝ N/m＝8 000 N/m。
(2)由于F＝kx，作出F-x图像如图所示，求出图中阴影面积，即为弹力做功的绝对值，由于在伸长过程中弹力F方向与位移x方向相反，故弹力F在此过程中做负功。
所以W＝－10 J。
(3)弹力F做负功，则弹簧弹性势能增加，且做功的多少等于弹性势能的变化量。
E＝－W＝10 J。
答案：(1)8 000 N/m (2)－10 J (3)增加10 J
7.如图所示，质量相等的两木块间连有一弹簧。今用力F缓慢向上提A，直到B恰好离开地面。开始时A静止在弹簧上面。设开始时弹簧的弹性势能为Ep1，B刚要离开地面时弹簧的弹性势能为Ep2，则关于Ep1、Ep2的大小关系及弹性势能的变化ΔEp，下列说法中正确的是( )
A．Ep1＝Ep2 B．Ep1＞Ep2
C．ΔEp＞0 D．ΔEp＜0
解析：选A 设开始时弹簧的形变量为x1，B刚要离开地面时弹簧的形变量为x2，则有kx1＝mg，kx2＝mg，可得x1＝x2，所以Ep1＝Ep2，ΔEp＝0，选项A正确。
8.如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速释放，让它自由摆下。不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中( )
A．重力做正功，弹力不做功
B．重力做正功，弹力做正功
C．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做正功，弹力不做功
D．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做功不变，弹力不做功
解析：选C 用细绳拴住小球向下摆动时重力做正功，弹力不做功，C对。用弹簧拴住小球下摆时，弹簧要伸长，重力做正功，小球轨迹不是圆弧，弹力做负功，A、B、D错。
9.如图所示，a、b两条斜线分别表示两根劲度系数不同的弹簧所受拉力F和弹簧伸长量之间的关系。设它们的劲度系数分别为ka、kb，拉力都为F1时的弹性势能分别为Ea、Eb。则下列说法正确的是( )
A．ka＞kb Ea＞Eb B．ka＜kb Ea＞Eb
C．ka＞kb Ea＜Eb D．ka＜kb Ea＜Eb
解析：选C 由F＝kl可知，F-l图线的斜率为弹簧的劲度系数，
由图可知，ka＞kb，当拉力为F1时，两弹簧的形变量为la＝，lb＝，
可得：Ea＝kala2＝，Eb＝，可得Ea＜Eb。故C正确。
10.一个小孩在蹦床上做游戏，他从高处落到蹦床上后又被弹起到原高度，小孩从高处开始下落到弹回的整个过程中，他运动的速度v随时间t变化的图像如图所示，图中只有Oa段和cd段为直线。则根据该图像可知，蹦床的弹性势能增大的过程所对应的时间间隔为( )
A．仅在t1到t2的时间内
B．仅在t2到t3的时间内
C．在t1到t3的时间内
D．在t1到t5的时间内
解析：选C 小孩从高处落下，在0～t1时间内小孩只受重力作用；在t1～t2时间内加速度减小，说明小孩又受到了弹力作用，蹦床受到压力；t3时刻，小孩的速度为零，蹦床受到的压力最大，弹性势能也最大；t3时刻后小孩反弹，蹦床的弹性势能减小。故选项C正确。
11.通过探究得到弹性势能的表达式为Ep＝kx2，式中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧伸长(或缩短)的长度，请利用弹性势能表达式计算下列问题。放在地面上的物体上端系在劲度系数k＝400 N/m的弹簧上，弹簧的另一端拴在跨过定滑轮的绳子上，如图所示。手拉绳子的另一端，从轻绳处于张紧状态开始，当往下拉0.1 m物体开始离开地面时，继续拉绳，使物体缓慢升高到离地h＝0.5 m高处。如果不计弹簧重和滑轮跟绳的摩擦，求整个过程拉力所做的功以及弹性势能的最大值。
解析：由题意知弹簧的最大伸长量x＝0.1 m，
弹性势能Ep＝kx2＝×400×0.12 J＝2 J，
此过程中拉力做的功与弹力做的功数值相等，
则有W1＝W弹＝ΔEp＝2 J，
刚好离开地面时G＝F＝kx＝400×0.1 N＝40 N
物体缓慢升高，F＝40 N，
物体上升h＝0.5 m时拉力克服重力做功
W2＝Fh＝40×0.5 J＝20 J，
拉力共做功W＝W1＋W2＝(2＋20) J＝22 J。
答案：22 J 2 J
12.如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计。物块(可视为质点)的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动，与桌面间的动摩擦因数为μ。以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F＝kx，k为常量。
(1)请画出F随x变化的示意图；并根据F-x图像求物块沿x轴从O点运动到位置x的过程中弹力所做的功。
(2)物块由x1向右运动到x3，然后由x3返回到x2，在这个过程中，
a．求弹力所做的功，并据此求弹性势能的变化量。
b．求滑动摩擦力所做的功；并与弹力做功比较，说明为什么不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能”的概念。
解析：(1)F-x图像如图所示。
物块沿x轴从O点运动到位置x的过程中，弹力做负功；F-x图线下的面积等于弹力做功大小。弹力做功
WT＝－·kx·x＝－kx2。
(2)a.物块由x1向右运动到x3的过程中，弹力做功
WT1＝－·(kx1＋kx3)·(x3－x1)＝kx12－kx32
物块由x3向左运动到x2的过程中，弹力做功
WT2＝·(kx2＋kx3)·(x3－x2)＝kx32－kx22
整个过程中，弹力做功
WT＝WT1＋WT2＝kx12－kx22
弹性势能的变化量ΔEp＝－WT＝kx22－kx12
b．整个过程中，摩擦力做功Wf＝－μmg(2x3－x1－x2)
与弹力做功比较，弹力做功与x3无关，即与实际路径无关，只与始末位置有关，所以，我们可以定义一个由物体之间的相互作用力(弹力)和相对位置决定的能量——弹性势能。而摩擦力做功与x3有关，即与实际路径有关，所以，不可以定义与摩擦力对应的“摩擦力势能”。
答案：(1)见解析图 －kx2
(2)a.kx12－kx22 kx22－kx12 b．－μmg(2x3－x1－x2) 见解析
