2019-2020下学期人教版九年级数学专题复习资料四：《锐角三角函数》常见考点例举（无答案）
文档属性
| 名称 | 2019-2020下学期人教版九年级数学专题复习资料四：《锐角三角函数》常见考点例举（无答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 643.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-23 08:54:33 | ||
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文档简介
九年级数学下学期专题复习资料 四
《锐角三角函数》常见考点例举
注：本复习以《锐角三角函数》的内容为主. 编制：赵化中学 郑宗平
一.知识链接
1.锐角三角函数的定义：锐角 的正弦、余弦、正切都叫做的锐角三角函数．
2.特殊锐角三角函数值（请同学们完成下面表格）：
⑴.列表法：
⑵.图示法：
⑶.口诀法：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七;弦是二，切是三，分子根号不能删.
3.锐角三角函数的拓展延伸：
⑴.锐角三角函数的增减性：sinA,cosA,tanA是∠A的函数；在锐角的范围内，∠A的正弦值、正切值随着角度增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小.
⑵.互余角和同角的三角函数关系：（请同学们结合图形标示完成下列结论的证明）
如图，在△中，.
①.一个锐角的正弦值等于这个角余角的余弦值.
②.一个锐角的正切值等于这个角的正弦值与其余弦值的商.
③.一个锐角的正弦值与其余弦值的平方和等于1. .
4.解直角三角形：在△中，，所对的边分别为.
⑴.常用关系：
①.三边之间的关系： （勾股定理）
②.两个锐角之间的关系： （直角三角形两锐角互余）
③.边角之间的关系：
利用上面这些关系，可以“知二求三”（直角除外，已知中至少要有一条边）.
⑵. 解直角三角形基本类型 （请同学们结合上面图形用式子表达各种类型）
㈠.已知两边： 1.已知两直角边； 2.已知一直角边和斜边；
㈡.已知一角一边：1.已知一锐角和一直角边； 2.已知一锐角和斜边.
解答时请注意“有斜用弦，无斜用切”.
⑶.解直角三角形的实际应用
㈠.实际应用的关联概念：
1.⑴.仰角：从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
⑵.俯角：从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
⑶.方位角：以正北、正南方向为准的偏向角，如果偏向的是
45°，则分别叫西南方向、西北方向、东北方向、东南方向.
2.坡角、坡度：
⑴.坡角：坡面于水平面的夹角（见右面图示）
⑵.坡度：如图，斜坡的坡角（见图标示）对应的铅直高度与
水平宽度的比，叫做这个斜坡的坡度.常记为的形式.
注意：①.坡度不是坡角的度数；②.坡度等于坡角的正切值.即
㈡.实际应用解答的一般步骤：
1.①.把实际问题转化为数学问题；②.选择适当方法；③.得到数学答案；④.得到实际答案.
2.直角三角形实际应用的常见基本图形.
二.常见考点例举
1.锐角三角函数的定义
例1. 若△中， ,且，求的三角函数值.
分析：本题主要是利用三角函数的定义并结合勾股定理把三边用同一个辅助未知数表示出来.然后利用三角函数的定义解决问题.
略解：根据题意画出图形（见右图）
∵ ,
∴
设，则 ，根据勾股定理有：
∴
例2. 如图，与⊙ 相切于点，经过点圆心且与该圆相交于两点；若;;求的值.
分析：“遇切点，连半径，得垂直”，我们连接半径后，可以
得到△,然后利用勾股定理建立方程，求出⊙的半径，
在直角三角形中，利用三角函数的定义即可解决问题.
略解：连接半径.
∵与⊙ 相切于点
∴
∴
设 ⊙的半径,则
在△根据利用勾股定理有：
,即 解得：
∴
∴
追踪练习：
1. 如图，已知△的三个顶点均在格点上，则的值为 （ ）
A. B. C. D.
2. 如图，是上的一点，且点的坐标为，则和
的值分别为 （ ）
A. B. C. D.
3. 如图，点是正方形网格上的三个格点，⊙的半径是,点
是优弧上的一点，则的值为 （ ）
A. B. C. D.
4.如图，在△中，,垂足为;若;
，则= .
5.如图，在△中，,点为边的中点，于点,连结
,求的值.
6.如图，点是矩形中边上一点，△沿折叠为△,点落在上.
⑴.求证：△∽△;
⑵.若,求的值.
2.特殊锐角的三角函数.
例1.已知锐角满足 ，则= .
略解：∵ ∴ ∴； 故应填：45°.
例2.若△的内角满足 ,请判断△的形状.
略解：∵ 且，.
∴，
∴
∴
∴
∴△为直角三角形.
例3.计算：
略解：原式=
=
=
追踪练习：
1.如图，已知⊙的两条弦相交于点,,
那么的值为 （ ）
A. B. C. D.
2. 在△中，若,你认为最确切的判断是 （ ）
A.△是等腰三角形 B.△是等腰直角三角形
C.△是直角三角形 D.△是一般锐角三角形
3.如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点,再以
点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点,画射线,则
的值等于 .
4. 若 ，则锐角= ;若,则锐角= .
5。在△中，若，求的度数；
6..在△ABC中∠A、∠C均为锐角，且有，判断△ABC的形状.
7.计算：
①.； ②.；
③. ； ④.
⑤.;
3.解直角三角形.
例.（2018.自贡）如图，在⊿中，；求和的长.
分析：本题关键爱是把问题转化在直角三角形中，当我们过点
作出边的高后，可以问题转化在两个直角三角形中，利用高
作为桥梁使问题获得解决.
略解：
过点作于点,则
在⊿中, , ∴
根据勾股定理可求 . （可用三角函数解答！）
在⊿中, ,即，解得：
∴
根据勾股定理可求 .
追踪练习：
1.在△中，,所对的边分别为；请根据下列条件画出分析图并进行解答：
⑴.若，分别求出的值？
⑵.若，分别求出的值？
⑶.若，分别求出的值？
⑷.若，分别求出的值？
2.如图，在四边形中，,,
.求的长？
4.解直角三角形的实际应用
例.某国发生8.1级地震，我国积极组织抢险队前往地震灾区
与抢险工作.如图，某探测队在地面两处均探测出建筑
物下方处有生命迹象，已知探测先与地面的夹角分别是25°
和60°，且米，求该生命迹象所在的位置的深度.
（结果精确到1米，参考数据：）
分析：本题关键是化归在直角三角形中，利用三角函数建立方程来使问题获得解决.比如过作的延长线于,在△和△中利用正切表示出
，再由建立为未知数的方程.
略解：过作的延长线于.
设米，
在△中， ,∴，
∴
在△中， ∴，解得：.
答：求该生命迹象所在的位置的深度约为3米.
追踪练习：
1.如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学
知识去测釜溪河沙湾段的宽度.小宇同学在处观测对
岸点，测得,小英同学在处50米远的
处测得,请你根据这些数据算出河宽.
（精确到0.01米，）
2. 如图，海平面上灯塔方圆100千米范围内有暗礁，
一艘轮船自西向东方向航行，在点处测量得灯塔
在北偏东60?方向，继续航行100千米后，在点处
测量得灯塔在北偏东37?方向；请你作出判断，为
了避免触礁，这艘轮船是否要改变航向？
（参考数据：sin37?≈0.6018，cos37?≈0.7986，tan37?≈0.7536，cot37?≈1.327，）
3.赵化鑫城第N期工程有一居民小区有一朝向为正南方向的居
民楼，该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民
住房; 二期工程计划在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的
新楼，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.
⑴.问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？
⑵.若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？
（结果保留整数，参考数据:）
4.水利部门决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD.如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B=60°，背水坡面CD的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米.
⑴.已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？
⑵.求加固后的大坝背水坡DE的坡度.
5.如图有一两面都是斜坡的地势，其截面是梯形，其中AD∥BC，左面斜坡有阶梯；其相关数据见图中的标注，若要沿B-A-D-C的路线铺上宽为2m的地毯，问总共要多长的地毯？若每平方米的地毯为120元，问所需地毯的总花费是多少？
注：坡度是是破面的铅直高度与水平宽度 之比， ，常记成得形式.
5.综合运用
例.是△ 的三边，且满足，且有，求的值.
略解：
由整理为：；所以△是直角三角形 且.
∵ ∴
设，则；∴根据勾股定理可求：
∴ ∴
追踪练习：
1.△中，,方程有两个相等的实数根，斜边为，方程也有两个相等的实数根，求这个直角三角形三边的长.
2.如图,为半圆的直径， 为的中点，连结交于点交于,,求的长？
2020.3.12编制
新 楼
居 民 楼
《锐角三角函数》常见考点例举
注：本复习以《锐角三角函数》的内容为主. 编制：赵化中学 郑宗平
一.知识链接
1.锐角三角函数的定义：锐角 的正弦、余弦、正切都叫做的锐角三角函数．
2.特殊锐角三角函数值（请同学们完成下面表格）：
⑴.列表法：
⑵.图示法：
⑶.口诀法：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七;弦是二，切是三，分子根号不能删.
3.锐角三角函数的拓展延伸：
⑴.锐角三角函数的增减性：sinA,cosA,tanA是∠A的函数；在锐角的范围内，∠A的正弦值、正切值随着角度增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小.
⑵.互余角和同角的三角函数关系：（请同学们结合图形标示完成下列结论的证明）
如图，在△中，.
①.一个锐角的正弦值等于这个角余角的余弦值.
②.一个锐角的正切值等于这个角的正弦值与其余弦值的商.
③.一个锐角的正弦值与其余弦值的平方和等于1. .
4.解直角三角形：在△中，，所对的边分别为.
⑴.常用关系：
①.三边之间的关系： （勾股定理）
②.两个锐角之间的关系： （直角三角形两锐角互余）
③.边角之间的关系：
利用上面这些关系，可以“知二求三”（直角除外，已知中至少要有一条边）.
⑵. 解直角三角形基本类型 （请同学们结合上面图形用式子表达各种类型）
㈠.已知两边： 1.已知两直角边； 2.已知一直角边和斜边；
㈡.已知一角一边：1.已知一锐角和一直角边； 2.已知一锐角和斜边.
解答时请注意“有斜用弦，无斜用切”.
⑶.解直角三角形的实际应用
㈠.实际应用的关联概念：
1.⑴.仰角：从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
⑵.俯角：从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
⑶.方位角：以正北、正南方向为准的偏向角，如果偏向的是
45°，则分别叫西南方向、西北方向、东北方向、东南方向.
2.坡角、坡度：
⑴.坡角：坡面于水平面的夹角（见右面图示）
⑵.坡度：如图，斜坡的坡角（见图标示）对应的铅直高度与
水平宽度的比，叫做这个斜坡的坡度.常记为的形式.
注意：①.坡度不是坡角的度数；②.坡度等于坡角的正切值.即
㈡.实际应用解答的一般步骤：
1.①.把实际问题转化为数学问题；②.选择适当方法；③.得到数学答案；④.得到实际答案.
2.直角三角形实际应用的常见基本图形.
二.常见考点例举
1.锐角三角函数的定义
例1. 若△中， ,且，求的三角函数值.
分析：本题主要是利用三角函数的定义并结合勾股定理把三边用同一个辅助未知数表示出来.然后利用三角函数的定义解决问题.
略解：根据题意画出图形（见右图）
∵ ,
∴
设，则 ，根据勾股定理有：
∴
例2. 如图，与⊙ 相切于点，经过点圆心且与该圆相交于两点；若;;求的值.
分析：“遇切点，连半径，得垂直”，我们连接半径后，可以
得到△,然后利用勾股定理建立方程，求出⊙的半径，
在直角三角形中，利用三角函数的定义即可解决问题.
略解：连接半径.
∵与⊙ 相切于点
∴
∴
设 ⊙的半径,则
在△根据利用勾股定理有：
,即 解得：
∴
∴
追踪练习：
1. 如图，已知△的三个顶点均在格点上，则的值为 （ ）
A. B. C. D.
2. 如图，是上的一点，且点的坐标为，则和
的值分别为 （ ）
A. B. C. D.
3. 如图，点是正方形网格上的三个格点，⊙的半径是,点
是优弧上的一点，则的值为 （ ）
A. B. C. D.
4.如图，在△中，,垂足为;若;
，则= .
5.如图，在△中，,点为边的中点，于点,连结
,求的值.
6.如图，点是矩形中边上一点，△沿折叠为△,点落在上.
⑴.求证：△∽△;
⑵.若,求的值.
2.特殊锐角的三角函数.
例1.已知锐角满足 ，则= .
略解：∵ ∴ ∴； 故应填：45°.
例2.若△的内角满足 ,请判断△的形状.
略解：∵ 且，.
∴，
∴
∴
∴
∴△为直角三角形.
例3.计算：
略解：原式=
=
=
追踪练习：
1.如图，已知⊙的两条弦相交于点,,
那么的值为 （ ）
A. B. C. D.
2. 在△中，若,你认为最确切的判断是 （ ）
A.△是等腰三角形 B.△是等腰直角三角形
C.△是直角三角形 D.△是一般锐角三角形
3.如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点,再以
点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点,画射线,则
的值等于 .
4. 若 ，则锐角= ;若,则锐角= .
5。在△中，若，求的度数；
6..在△ABC中∠A、∠C均为锐角，且有，判断△ABC的形状.
7.计算：
①.； ②.；
③. ； ④.
⑤.;
3.解直角三角形.
例.（2018.自贡）如图，在⊿中，；求和的长.
分析：本题关键爱是把问题转化在直角三角形中，当我们过点
作出边的高后，可以问题转化在两个直角三角形中，利用高
作为桥梁使问题获得解决.
略解：
过点作于点,则
在⊿中, , ∴
根据勾股定理可求 . （可用三角函数解答！）
在⊿中, ,即，解得：
∴
根据勾股定理可求 .
追踪练习：
1.在△中，,所对的边分别为；请根据下列条件画出分析图并进行解答：
⑴.若，分别求出的值？
⑵.若，分别求出的值？
⑶.若，分别求出的值？
⑷.若，分别求出的值？
2.如图，在四边形中，,,
.求的长？
4.解直角三角形的实际应用
例.某国发生8.1级地震，我国积极组织抢险队前往地震灾区
与抢险工作.如图，某探测队在地面两处均探测出建筑
物下方处有生命迹象，已知探测先与地面的夹角分别是25°
和60°，且米，求该生命迹象所在的位置的深度.
（结果精确到1米，参考数据：）
分析：本题关键是化归在直角三角形中，利用三角函数建立方程来使问题获得解决.比如过作的延长线于,在△和△中利用正切表示出
，再由建立为未知数的方程.
略解：过作的延长线于.
设米，
在△中， ,∴，
∴
在△中， ∴，解得：.
答：求该生命迹象所在的位置的深度约为3米.
追踪练习：
1.如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学
知识去测釜溪河沙湾段的宽度.小宇同学在处观测对
岸点，测得,小英同学在处50米远的
处测得,请你根据这些数据算出河宽.
（精确到0.01米，）
2. 如图，海平面上灯塔方圆100千米范围内有暗礁，
一艘轮船自西向东方向航行，在点处测量得灯塔
在北偏东60?方向，继续航行100千米后，在点处
测量得灯塔在北偏东37?方向；请你作出判断，为
了避免触礁，这艘轮船是否要改变航向？
（参考数据：sin37?≈0.6018，cos37?≈0.7986，tan37?≈0.7536，cot37?≈1.327，）
3.赵化鑫城第N期工程有一居民小区有一朝向为正南方向的居
民楼，该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民
住房; 二期工程计划在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的
新楼，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.
⑴.问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？
⑵.若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？
（结果保留整数，参考数据:）
4.水利部门决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD.如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B=60°，背水坡面CD的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米.
⑴.已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？
⑵.求加固后的大坝背水坡DE的坡度.
5.如图有一两面都是斜坡的地势，其截面是梯形，其中AD∥BC，左面斜坡有阶梯；其相关数据见图中的标注，若要沿B-A-D-C的路线铺上宽为2m的地毯，问总共要多长的地毯？若每平方米的地毯为120元，问所需地毯的总花费是多少？
注：坡度是是破面的铅直高度与水平宽度 之比， ，常记成得形式.
5.综合运用
例.是△ 的三边，且满足，且有，求的值.
略解：
由整理为：；所以△是直角三角形 且.
∵ ∴
设，则；∴根据勾股定理可求：
∴ ∴
追踪练习：
1.△中，,方程有两个相等的实数根，斜边为，方程也有两个相等的实数根，求这个直角三角形三边的长.
2.如图,为半圆的直径， 为的中点，连结交于点交于,,求的长？
2020.3.12编制
新 楼
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