2020 年中考数学新定义二次函数
第一部分 案例分析
1．【最值问题】对某一个函数给出如下定义：若存在实数 M＞0，对于任意的函数值 y，都
满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的 M中，其最小值称为这个
函数的边界值，例如，如下图中的函数，它的最大值是 ，最小值是﹣1，它也是有界函数，
其边界值是 1．
（1）分别判断函数 和 y＝x+1（x＞0）是不是有界函数？若是有界函数，
求其边界值；
（2）若函数 y＝﹣2x﹣1（a≤x≤b，a＜b）的边界值是 3，且这个函数的最大值也是 3，
求 a的值及 b的取值范围．
【解答】解：（1）函数 是有界函数，函数 y＝x+1（x＞0）不是有界函数．
对于函数 有 ，所以其边界值为 1．
（2）∵函数 y＝﹣2x﹣1（a≤x≤b）是 y随 x的增大而减少的．
∴当 x＝a时，y 最大值＝3，即﹣2a﹣1＝3，解得 a＝﹣2．
当 x＝b时，y 最小值＝﹣2b﹣1．
∵边界值是 3，∴﹣3≤﹣2b﹣1≤3
∴﹣2≤b≤1
∵b＞a，且 a＝﹣2
∴﹣2＜b≤1
2【直线与抛物线点交点问题】
对于某一函数给出如下定义：若存在实数 p，当其自变量的值为 p时，其函数值等于 p，则
称 p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之
差 q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度 q为零．例
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如，下图中的函数有 0、1两个不变值，其不变长度 q等于 1．
（1）分别判断函数 y＝x+1，y＝ ，y＝x2﹣2有没有不变值？如果有，直接写出其不变
长度；
（2）函数 y＝2x2﹣bx
①若其不变长度为零，求 b的值；
②若 1≤b≤3，求其不变长度 q的取值范围；
（3）记函数 y＝x2﹣2x（x≥m）的图象为 G1，将 G1沿 x＝m翻折后得到的函数图象记为
G2，函数 G的图象由 G1和 G2两部分组成，若其不变长度 q满足 0≤q≤3，则 m的取值
范围为多少？
【解答】解：（1）∵函数 y＝x+1，令 y＝x，则 x+1＝x，无解；
∴函数 y＝x+1没有不变值；
∵函数 y＝ ，令 y＝x，则 x＝ ，解得：x＝± ，
∴函数 y＝ 的不变值为± ，q＝ ﹣（﹣ ）＝2 ，
∵函数 y＝x2﹣2，令 y＝x，则 x＝x2﹣2，解得：x1＝2，x2＝﹣1，
∴函数 y＝x2﹣2的不变值为：2或﹣1，q＝2﹣（﹣1）＝3；
（2）①函数 y＝2x2﹣bx，令 y＝x，则 x＝2x2﹣bx，
整理得：x（2x﹣b﹣1）＝0，
∵q＝0，
∴x＝0且 2x﹣b﹣1＝0，
解得：b＝﹣1；
②由①知：x（2x﹣b﹣1）＝0，
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∴x＝0或 2x﹣b﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝ ，
∵1≤b≤3，
∴1≤x2≤2，
∴1﹣0≤q≤2﹣0，
∴1≤q≤2；
（3）∵记函数 y＝x2﹣2x（x≥m）的图象为 G1，将 G1沿 x＝m翻折后得到的函数图象记
为 G2．
∴函数 G的图象关于 x＝m对称，
∴G：y＝ ，
∵当 x2﹣2x＝x时，x3＝0，x4＝3；
当（2m﹣x）2﹣2（2m﹣x）＝x时，△＝1+8m，
当△＜0，即 m＜﹣ 时，q＝x4﹣x3＝3；
当△≥0，即 m≥﹣ 时，x5＝ ，x6＝ ，
①当﹣ ≤m≤0时，x3＝0，x4＝3，
∴x6＜0，
∴x4﹣x6＞3（不符合题意，舍去）；
②∵当 x5＝x4时，m＝1，当 x6＝x3时，m＝3；
当 0＜m＜1时，x3＝0（舍去），x4＝3，
此时 0＜x5＜x4，x6＜0，q＝x4﹣x6＞3（舍去）；
当 1≤m≤3时，x3＝0（舍去），x4＝3，
此时 0＜x5＜x4，x6＞0，q＝x4﹣x6＜3；
当 m＞3时，x3＝0（舍去），x4＝3（舍去），
此时 x5＞3，x6＜0，q＝x5﹣x6＞3（舍去）；
综上所述：m的取值范围为 1≤m≤3或 m＜﹣ ．
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3．【“关联抛物线”】
如图 1，若抛物线 L1的顶点 A在抛物线 L2上，抛物线 L2的顶点 B也在抛物线 L1上（点 A
与点 B不重合），我们把这样的两抛物线 L1、L2互称为“友好”抛物线．
（1）一条抛物线的“友好”抛物线有 D 条．
A.1 B.2 C.3 D．无数
（2）如图 2，已知抛物线 L3：y＝2x2﹣8x+4与 y轴交于点 C，点 C关于该抛物线对称轴
的对称点为 D，请求出以点 D为顶点的 L3的“友好”抛物线 L4的表达式；
（3）若抛物线 y＝a1（x﹣m）2+n的“友好”抛物线的解析式为 y＝a2（x﹣h）2+k，请
直接写出 a1与 a2的关系式为 a1+a2＝0 ．
【解答】解：（1）一条抛物线的“友好”抛物线有无数条，
故选：D；
（2）由 L3：y＝2x2﹣8x+4化成顶点式，得
y＝2（x﹣2）2﹣4，
∴C（0，4），对称轴为 x＝2，顶点坐标（2，﹣4）．
∴点 C关于对称轴 x＝2的对称点 D（4，4）
设 L4：y＝a（x﹣h）2+k
将顶点 D（4，4）代入得，y＝a（x﹣4）2+4
再将点（2，﹣4）代入得，﹣4＝4a+4
解得：a＝﹣2
L3的友好抛物线 L4的解析式为：y＝﹣2（x﹣4）2+4；
（3）若抛物线 y＝a1（x﹣m）2+n的“友好”抛物线的解析式为 y＝a2（x﹣h）2+k，请
直接写出 a1与 a2的关系式为 a1+a2＝0，
故答案为：a1+a2＝0．
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4．【函数与几何综合问题】
如果一条抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个
交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是 等腰 三角形；
（2）若抛物线抛物线 m：y＝a（x﹣2）2+b（ab＜0）的“抛物线三角形”是直角三角形，
请求出 a，b满足的关系式；
（3）如图，△OAB是抛物线 n：y＝﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在
以原点 O为对称中心的矩形 ABCD？若存在，求出过 O、C、D三点的抛物线的表达式；
若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线与 x轴有两个交点关于抛物线的对称轴对称，
∴“抛物线三角形”是等腰三角形；
故答案为等腰；
（2）∵y＝a（x﹣2）2+b（ab＜0）的“抛物线三角形”是直角三角形，
∴此“物线三角形”是等腰直角三角形，
抛物线的顶点坐标为（2，b），
把 y＝0代入 y＝a（x﹣2）2+b得 a（x﹣2）2+b＝0，解得 x＝2± ，
∴抛物线 y＝a（x﹣2）2+b（ab＜0）与 x轴两交点的坐标为（2+ ，0），（2﹣ ，
0），
∴抛物线 y＝a（x﹣2）2+b（ab＜0）与 x轴两交点之间的线段长＝2 ，
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∴|b|＝ ×2 ，
∴b2＝﹣ ，
∴ab＝﹣1；
（3）存在．作 AH⊥OB于 H点，如图，
把 y＝0代入 y＝﹣x2+b′x得﹣x2+b′x＝0，解得 x1＝0，x2＝b′，
∴B点坐标为（b′，0），
∵y＝﹣x2+b′x＝﹣（x﹣ ）2+ ，
∴A点坐标为（ ， ），
∵矩形 ABCD以原点 O为对称中心，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴△OAB为等边三角形，
∴AH＝ OB，
∴ ＝ b′，解得 b′＝2 ，
∴A点坐标为（ ，3），B点坐标为（2 ，0）
∴C点坐标为（﹣ ，﹣3），D点坐标为（﹣2 ，0），
设过 O、C、D三点的抛物线的解析式为 y＝ax（x+2 ），
把 C（﹣ ，﹣3）代入得 a?（﹣ ）（﹣ +2 ）＝﹣3，
解得 a＝1，
∴所求抛物线的表达式为 y＝x（x+2 ）＝x2+2 x．
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5．【函数变换问题】
在平面直角坐标系 xOy中，对于点 P（x，y）和 Q（x，y′），给出如下定义：
如果 y′＝ ，那么称点 Q为点 P的“关联点”．
例如：点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（﹣5，6）的“关联点”
为点（﹣5，﹣6）．
（1）①点（2，1）的“关联点”为 （2，1） ；②如果点 A（3，﹣1），B（﹣1，3）
的“关联点”中有一个在函数 的图象上，那么这个点是 B （填“点 A”或“点 B”）．
（2）①如果点 M*（﹣1，﹣2）是一次函数 y＝x+3图象上点 M的“关联点”，
那么点 M的坐标为 （﹣1，2） ；②如果点 N*（m+1，2）是一次函数 y＝x+3图象上
点 N的“关联点”，求点 N的坐标．
（3）如果点 P在函数 y＝﹣x2+4（﹣2＜x≤a）的图象上，其“关联点”Q的纵坐标 y′
的取值范围是﹣4＜y′≤4，那么实数 a的取值是 2 ．
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【解答】解：（1）①点（2，1）的“关联点”为（2，1）；
②如果点 A（3，﹣1）的关联点为（3，﹣1）；
B（﹣1，3）的“关联点”为（﹣1，﹣3），
一个在函数 的图象上，那么这个点是 B；
故答案为：（2，1），B；
（2）①如果点 M*（﹣1，﹣2）是一次函数 y＝x+3图象上点 M的“关联点”是（﹣1，
2），
那么点 M的坐标为（﹣1，2）；
②当 m+1≥0时，即：m≥﹣1，N（m+1，2），
∴m+1+3＝2，
∴m＝﹣2，不符合题意，
当 m+1＜0时，即：m＜﹣1，
∴N（m+1，﹣2），
∴m+1+3＝﹣2，
∴m＝﹣6，
∴N（﹣5，﹣2）
故答案为：（﹣1，2）；
（3）如果点 P在函数 y＝﹣x2+4（﹣2＜x≤a）的图象上，
当﹣2＜x≤0时，0＜y≤4，即﹣2＜a≤0；
当 x＞0时，y＝y′，即﹣4＜y≤4，
﹣x2+4＞﹣4，解得 x＜2 ，
即 0＜x＜2 ，
综上所述：﹣2＜x＜2 ，函数图象如图所示：
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观察图象可知：“关联点”Q的纵坐标 y′的取值范围是﹣4＜y′≤4，那么实数 a的值为
2 ，
故答案为：2 ．
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第二部分 专项训练
专题训练 1:最值问题
1．设 p，q都是实数，且 p＜q．我们规定：满足不等式 p≤x≤q的实数 x的所有取值的全
体叫做闭区间，表示为[p，q]．对于一个函数，如果它的自变量 x与函数值 y满足：当 p
≤x≤q时，有 p≤y≤q，我们就称此函数是闭区间[p，q]上的“闭函数”．
（1）反比例函数 y＝ 是闭区间[1，2016]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数 y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此一次函数的解析
式．
【解答】解：（1）是；
由函数 y＝ 的图象可知，当 1≤x≤2016时，函数值 y随着自变量 x的增大而减少，
而当 x＝1时，y＝2016；x＝2016时，y＝1，故也有 1≤y≤2016，
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所以，函数 y＝ 是闭区间[1，2016]上的“闭函数”．
（2）因为一次函数 y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，所以根据一次函数
的图象与性质，必有：
①当 k＞0时， ，
解之得 k＝1，b＝0．
∴一次函数的解析式为 y＝x．
②当 k＜0时， ，解之得 k＝﹣1，b＝m+n．
∴一次函数的解析式为 y＝﹣x+m+n．
故一次函数的解析式为 y＝x或 y＝﹣x+m+n．
2．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数 M，对于任意的函数值 y，都满足 y≤M，那
么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的 M中，其最小值称为这个函数的上确界．
例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是 2．
（1）分别判断函数 y＝﹣ （x＜0）和 y＝2x﹣3（x＜2）是不是有上界函数？如果是有
上界函数，求其上确界；
（2）如果函数 y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上确界是 b，且这个函数的最小值不超过
2a+1，求 a的取值范围；
（3）如果函数 y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以 3为上确界的有上界函数，求实数 a的值．
【解答】解：（1）根据有界函数定义，y＝﹣ （x＜0）不是有上界函数；y＝2x﹣3（x
＜2）是有上界函数，上确界是 1；
（2）∵在 y＝﹣x+2中，y随 x的增大而减小，
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∴上确界为 2﹣a，即 2﹣a＝b，
又 b＞a，所以 2﹣a＞a，解得 a＜1，
∵函数的最小值是 2﹣b，∴2﹣b≤2a+1，得 a≤2a+1，解得 a≥﹣1，
综上所述：﹣1≤a＜1；
（3）函数的对称轴为 x＝a，
①当 a≤3时，函数的上确界是 25﹣10a+2＝27﹣10a，
∴27﹣10a＝3，解得 a＝ ，符合题意；
②当 a＞3时，函数的上确界是 1﹣2a+2＝3﹣2a，
∴3﹣2a＝3，解得 a＝0，不符合题意．
综上所述：a＝ ．
3．我们常常用符号 f（x）表示 x的函数，例如函数 f（x）＝x2﹣2x+1，则 f（3）＝32﹣2x+1
＝4．
对于函数 f（x），若存在 a，b，f（x）满足以下条件：
①当 a＜x＜x0时，随着 x的增大，函数值 f（x）增大；
②当 x0＜x＜b时，随着 x的增大，函数值 f（x）减小，则称 f（x0）为 f（x）的一个峰值．
（1）判断函数 f（x）＝x+1是否具有峰值；
（2）求函数 f（x）＝x2+4x+1的峰值；
（3）已知 m为非零实数，当 x≤m时，函数 y＝m（x﹣1）2+2m2的图象记为 T1：当 x＞
m时，函数 y＝（m2﹣1）x+2m的图象记为 T2：图象 T1，T2组成图象 T．图象 T所对应
的函数记为 f（x），若 f（x）存在峰值，求实数 m的取值范围．
【解答】解：（1）函数 f（x）＝x+1在其值域内单调递增，
故函数 f（x）＝x+1没有峰值．
（2）函数 f（x）＝x2+4x+1＝（x+2）2﹣3，结合二次函数图象可知：
当 x＜﹣2时，函数图形递减；当﹣2＜x时，函数图象递增．
故 f（﹣2）为函数 f（x）＝x2+4x+1的峰值，
f（﹣2）＝（﹣2+2）2﹣3＝3，
答：函数 f（x）＝x2+4x+1的峰值为﹣3．
（3）根据 x﹣1＝0、m＝0和 m2﹣1＝0，将整个 x的取值分五段考虑．
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①当 m＜﹣1时，即 m＜0，m2﹣1＞0，
此时图象 T1单调递增；图象 T2单调递增．
故当 m＜﹣1时，图象 T所对应的函数 f（x）无峰值；
②当 m＝±1时，图象 T2为平行 x轴的一条射线，即在此区间 f（x）为定值，
故当 m＝±1时，图象 T所对应的函数 f（x）无峰值；
③当﹣1＜m＜0时，即 m＜0，m2﹣1＜0，
此时图象 T1单调递增；图象 T2单调递减．
且当 x＝m时，y＝m（m﹣1）2+2m2＝m3+m；y＝（m2﹣1）m+2m＝m3+m，即图象 T在
m处连续．
故当﹣1＜m＜0时，函数 f（x）存在峰值 f（m）．
④当 0＜m＜1时，即 m＞0，m2﹣1＜0，
此时图象 T1单调递减；图象 T2单调递减．
故当 0＜m＜1时，图象 T所对应的函数 f（x）无峰值；
⑤当 1＜m时，结合二次函数 y＝m（x﹣1）2+2m2（x≤m）的图象 T1可知：
当 x＜1时，函数 f（x）单调递减；当 1＜x≤m时，函数 f（x）单调递增．
即 f（1）是函数 f（x）的峰值．
故当 1＜m时，图象 T所对应的函数记为 f（x）有峰值 f（1）．
综上可知：若 f（x）存在峰值，实数 m的取值范围为﹣1＜m＜0或 1＜m．
4．在平面直角坐标系中，如果点 P的横坐标和纵坐标相等，则称点 P为和谐点．例如点（1，
1），（﹣ ，﹣ ），（﹣ ，﹣ ），…，都是和谐点．
（1）分别判断函数 y＝﹣2x+1和 y＝x2+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和
谐点的坐标；
（2）若二次函数 y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（ ， ），且当 0
≤x≤m时，函数 y＝ax2+4x+c﹣ （a≠0）的最小值为﹣3，最大值为 1，求 m的取值范
围．
（3）直线 l：y＝kx+2 经过和谐点 P，与 x轴交于点 D，与反比例函数 G：y＝ 的图象
交于 M，N两点（点 M在点 N的左侧），若点 P的横坐标为 1，且 DM+DN＜3 ，请直
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接写出 n的取值范围．
【解答】解：（1）存在，
令﹣2x+1＝x，解得 ，
∴函数 y＝﹣2x+1的图象上有一个和谐点（ ， ）；
令 x2+1＝x，即 x2﹣x+1＝0，
∵根的判别式△＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，
∴方程 x2﹣x+1＝0无实数根，
∴函数 y＝x2+1的图象上不存在和谐点．
（2）令 ax2+4x+c＝x，即 ax2+3x+c＝0，
由题意，△＝32﹣4ac＝0，即 4ac＝9，
又方程的根为 ，
解得 a＝﹣1， ．
故函数 ，即 y＝﹣x2+4x﹣3，
如图 1，该函数图象顶点为（2，1），与 y轴交点为（0，﹣3），由对称性，该函数图象也
经过点（4，﹣3）．
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由于函数图象在对称轴 x＝2左侧 y随 x的增大而增大，在对称轴右侧 y随 x的增大而减
小，且当 0≤x≤m时，函数 y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为 1，
∴2≤m≤4．
（3） ，或 0＜n＜1．
∵y＝kx+2经过和谐点 P，
∴y＝x，
∴x＝kx+2，
∴点 P的横坐标为 1，
∴k＝﹣1，
∴直线 l为：y＝﹣x+2，
分两种情况：
①如图 2，当 n＞0时，
∵y＝﹣x+2，与 x轴交于点 D（2，0），与 y轴交于点 F（0，2），
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∴DF＝2 ，
∴DM+DN＜3 ，
∴只要 y＝﹣x+2与 y＝ 有交点坐标即可，
∴﹣x+2＝ ，
整理得：x2﹣2x+n＝0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4﹣4n＞0，
解得：n＜1，
则 0＜n＜1；
②如图 3，
当 n＜0时，当 DM+DN＝3 ，
则 DN＝FM＝ ，
∵y＝﹣x+2，与 x轴交于点 D（2，0），与 y轴交于点 F（0，2），
∴可求出 M（﹣ ， ），
则 xy＝n＝﹣ ，
则﹣ ＜n＜0．
综上，当﹣ ＜n＜0或 0＜n＜1时，反比例函数 G2的图象与直线 l有两个公共点 M，N，
且 DM+DN＜3 ．
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5．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于 x的二次函数 y1＝2x2﹣4mx+2m2+1和 y2＝ax2+bx+5，其中 y1的图象经过
点 A（1，1），若 y1+y2与 y1为“同簇二次函数”，求函数 y2的表达式，并求出当 0≤x≤3
时，y2的最大值．
【解答】解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为 y＝a（x﹣h）2+k，
当 a＝2，h＝3，k＝4时，
二次函数的关系式为 y＝2（x﹣3）2+4．
∵2＞0，
∴该二次函数图象的开口向上．
当 a＝3，h＝3，k＝4时，
二次函数的关系式为 y＝3（x﹣3）2+4．
∵3＞0，
∴该二次函数图象的开口向上．
∵两个函数 y＝2（x﹣3）2+4与 y＝3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，
∴两个函数 y＝2（x﹣3）2+4与 y＝3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．
∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y＝2（x﹣3）2+4与 y＝3（x﹣3）2+4．
（2）∵y1的图象经过点 A（1，1），
∴2×12﹣4×m×1+2m2+1＝1．
整理得：m2﹣2m+1＝0．
解得：m1＝m2＝1．
∴y1＝2x2﹣4x+3
＝2（x﹣1）2+1．
∴y1+y2＝2x2﹣4x+3+ax2+bx+5
＝（a+2）x2+（b﹣4）x+8
∵y1+y2与 y1为“同簇二次函数”，
∴y1+y2＝（a+2）（x﹣1）2+1
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＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．
其中 a+2＞0，即 a＞﹣2．
∴ ．
解得： ．
∴函数 y2的表达式为：y2＝5x2﹣10x+5．
∴y2＝5x2﹣10x+5
＝5（x﹣1）2．
∴函数 y2的图象的对称轴为 x＝1．
∵5＞0，
∴函数 y2的图象开口向上．
①当 0≤x≤1时，∵函数 y2的图象开口向上，
∴y2随 x的增大而减小，
∴当 x＝0时，y2取最大值，最大值为 5×（0﹣1）2＝5，
②当 1≤x≤3时，∵函数 y2的图象开口向上，
∴y2随 x的增大而增大，
∴当 x＝3时，y2取最大值，
最大值为 5（3﹣1）2＝20．
综上所述：当 0≤x≤3时，y2的最大值为 20．
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专题训练 2:直线与抛物线的交点
1．如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为 M，直线 y＝m
与 x轴平行，且与抛物线交于点 A和点 B，如果△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物
线上 A、B两点之间部分与线段 AB围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点 M称为碟
顶，线段 AB的长称为碟宽．
（1）抛物线 的碟宽为 4 ，抛物线 y＝ax2（a＞0）的碟宽为 ．
（2）如果抛物线 y＝a（x﹣1）2﹣6a（a＞0）的碟宽为 6，那么 a＝ ．
（3）将抛物线 yn＝anx2+bnx+cn（an＞0）的准蝶形记为 Fn（n＝1，2，3，…），我们定义
F1，F2，…，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．如果 Fn与 Fn﹣1的相似比
为 ，且 Fn的碟顶是 Fn﹣1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为 y1，其对应
的准蝶形记为 F1．
①求抛物线 y2的表达式；
②请判断 F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是否在一条直线上？如果是，直接写出该直线
的表达式；如果不是，说明理由．
【解答】解：（1）∵a＞0，
∴y＝ax2的图象大致如下：
其必过原点 O，记 AB为其碟宽，AB与 y轴的交点为 C，连接 OA，OB．
2020 年中考数学新定义二次函数
∵△OAB为等腰直角三角形，AB∥x轴，
∴OC⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB＝ 90°＝45°，
∴△ACO与△BCO亦为等腰直角三角形，
∴AC＝OC＝BC，
∴xA＝﹣yA，xB＝yB，代入 y＝ax2，
∴A（﹣ ， ），B（ ， ），C（0， ），
∴AB＝ ，OC＝ ，
即 y＝ax2的碟宽为 ．
抛物线 y＝ x2对应的 a＝ ，得碟宽 为 4；
抛物线 y＝ax2（a＞0），碟宽为 ；
故答案为： ， ；
（2）∵y＝a（x﹣1）2﹣6a（a＞0）
∴同（1），其碟宽为 ，∵抛物线 y＝a（x﹣1）2﹣6a（a＞0）的碟宽为 6，
∴ ＝6，
解得 a＝ ，
故答案为： ；
（3）①∵F1的碟宽：F2的碟宽＝2：1，
∴ ＝ ，
∵a1＝ ，
∴a2＝ ．
∵y＝ （x﹣1）2﹣2的碟宽 AB在 x轴上（A在 B左边），
2020 年中考数学新定义二次函数
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∴F2的碟顶坐标为（2，0），
∴y2＝ （x﹣1）2+1，
②∵Fn的准碟形为等腰直角三角形，
∴Fn的碟宽为 2hn，
∵2hn：2hn﹣1＝1：2，
∴hn＝ hn﹣1＝ hn﹣2＝（
）3hn﹣3＝…＝（ ）n+1h1，
∵h1＝3，
∴hn＝ ．
∵hn∥hn﹣1，且都过 Fn﹣1的碟宽中点，
∴h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在一条直线上，
∵h1在直线 x＝2上，
∴h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在直线 x＝2上，
∴Fn的碟宽右端点横坐标为 2+ ，
另，F1，F2，…，Fn的碟宽右端点在一条直线上，直线为 y＝﹣x+5．
分析如下：
考虑 Fn﹣2，Fn﹣1，Fn情形，关系如图 2，
Fn﹣2，Fn﹣1，Fn的碟宽分别为 AB，DE，GH；C，F，I分别为其碟宽的中点，都在直线
x＝2上，连接右端点，BE，EH．
∵AB∥x轴，DE∥x轴，GH∥x轴，
2020 年中考数学新定义二次函数
∴AB∥DE∥GH，
∴GH平行相等于 FE，DE平行相等于 CB，
∴四边形 GFEH，四边形 DCBE都为平行四边形，
∴HE∥GF，EB∥DC，
∵∠GFI＝ ?∠GFH＝ ?∠DCE＝∠DCF，
∴GF∥DC，
∴HE∥EB，
∵HE，EB都过 E点，
∴HE，EB在一条直线上，
∴Fn﹣2，Fn﹣1，Fn的碟宽的右端点是在一条直线，
∴F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是在一条直线．
∵F1：y1＝ （x﹣2）2﹣3准碟形右端点坐标为（4，1），
F2：y2＝ （x﹣2）2准碟形右端点坐标为（2+ ， ），
∴待定系数可得过两点的直线为 y＝﹣x+5，
∴F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是在直线 y＝﹣x+5上．
2．在平面直角坐标系 xOy中，定义直线 y＝ax+b为抛物线 y＝ax2+bx的特征直线，C（a，b）
为其特征点．设抛物线 y＝ax2+bx与其特征直线交于 A、B两点（点 A在点 B的左侧）．
（1）当点 A的坐标为（0，0），点 B的坐标为（1，3）时，特征点 C的坐标为 （3，0） ；
（2）若抛物线 y＝ax2+bx如图所示，请在所给图中标出点 A、点 B的位置；
（3）设抛物线 y＝ax2+bx的对称轴与 x轴交于点 D，其特征直线交 y轴于点 E，点 F的
坐标为（1，0），DE∥CF．
①若特征点 C为直线 y＝﹣4x上一点，求点 D及点 C的坐标；
②若 ＜tan∠ODE＜2，则 b的取值范围是 或 ．
2020 年中考数学新定义二次函数
【解答】解：（1）∵A（0，0），B（1.3），
代入：直线 y＝ax+b，
解得：a＝3，b＝0，
∴直线 y＝3x，抛物线解析式：y＝3x2，
∴C（3，0）．
故答案为：（3，0）；
（2）联立直线 y＝ax+b与抛物线 y＝ax2+bx，
得：ax2+（b﹣a）x﹣b＝0，
∴（ax+b）（x﹣1）＝0，
解得：x＝﹣ ，x＝1，
∴A（1，a+b），B（﹣ ，0）．
点 A、点 B的位置如图所示；
（3）①如图，
2020 年中考数学新定义二次函数
∵特征点 C为直线 y＝﹣4x上一点，
∴b＝﹣4a．
∵抛物线 y＝ax2+bx的对称轴与 x轴交于点 D，
∴对称轴 ．
∴点 D的坐标为（2，0）．
∵点 F的坐标为（1，0），
∴DF＝1．
∵特征直线 y＝ax+b交 y轴于点 E，
∴点 E的坐标为（0，b）．
∵点 C的坐标为（a，b），
∴CE∥DF．
∵DE∥CF，
∴四边形 DECF为平行四边形．
∴CE＝DF＝1．
∴a＝﹣1．
∴特征点 C的坐标为（﹣1，4）．
②由已知和已证得：
C（a，b），E（0，b），F（1，0），D（﹣ ，0），
∵ ＜tan∠ODE＜2，
∴ ＜ ＜2，
∴ ＜| |＜2，
2020 年中考数学新定义二次函数
解得： ＜|2a|＜2，
∴﹣1＜a＜﹣ 或 ＜a＜1，
∵DE∥CF，CE∥DF，
∴CE＝DF，
由题意可得：1+ ＝a，（可以画出三种图象，由此得出这个结论）
整理得：b＝2a2﹣2a
即：b＝2（a﹣ ）2﹣
当 b＝2（a﹣ ）2﹣ 时，
当﹣1＜a＜﹣ ，可得 ．
当 ＜a＜1时，可得﹣ ≤b＜0
综上所述： 或﹣ ≤b＜0．
3．定义：在平面直角坐标系中，图形 G上点 P（x，y）的纵坐标 y与其横坐标 x的差 y﹣x
称为 P点的“坐标差”，而图形 G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形 G的“特
征值”．
（1）①点 A（1，3）的“坐标差”为 2 ；
②抛物线 y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为 4 ；
（2）某二次函数 y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点 B（m，0）与点 C分别
是此二次函数的图象与 x轴和 y轴的交点，且点 B与点 C的“坐标差”相等．
①直接写出 m＝ ﹣c ；（用含 c的式子表示）
②求此二次函数的表达式．
（3）如图，在平面直角坐标系 xOy中，以 M（2，3）为圆心，2为半径的圆与直线 y＝x
相交于点 D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为 1+2 ．
2020 年中考数学新定义二次函数
【解答】解：（1）①点 A（1，3）的“坐标差”为＝3﹣1＝2，
故答案为 2；
②设 P（x，y）为抛物线 y＝﹣x2+3x+3上一点，
坐标差＝﹣x2+2x+3，＝﹣（x﹣1）2+4，最大值为 4，
所以抛物线 y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为 4
故答案为 4．
（2）①由题意：0﹣m＝c﹣0，可得 m＝﹣c．
②∵C（0，c），
又∵点 B与点 C的“坐标差”相等，
∴B（﹣c，0），
把（﹣c，0）代入 y＝﹣x2+bx+c，得到：0＝﹣c2﹣bc+c，
∴c＝1﹣b，
∵二次函数 y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1
所以 y﹣x＝﹣x2+（b﹣1）x+1﹣b的最大值为﹣1，
∴ ＝﹣1，
解得 b＝3，
∴c＝﹣2，
∴二次函数的解析式为 y＝﹣x2+3x﹣2．
故答案为﹣c．
（3）如图，设 M（2，3），作 MK⊥x轴于 K，交⊙M于 N，MJ⊥y轴于 J，作∠JMN的
2020 年中考数学新定义二次函数
平分线交⊙M于 T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点 T的“坐标差”的值最
大．
作 TF⊥x轴于 E交 MJ于 F．
易知△TMF是等腰直角三角形，
∵TF＝FM＝ ，EF＝KM＝3，EK＝FK＝M＝ ，
∴OE＝OK﹣EK＝2﹣ ，TE＝3+ ，
半径为 2的圆的“特征值”为 3+ ﹣（2﹣ ）＝1+2 ．
故答案为 1+2 ．
4．若抛物线 L：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且 abc≠0）与直线 l都经过 y轴上的同一点，
且抛物线的顶点在直线 l上，则称抛物线 L与直线 l具有“一带一路”关系，并且将直线
1叫做抛物线 L的“路线”，抛物线 L叫做直线 l的“带线”
（1）若“路线”l的表达式为 y＝2x﹣4，它的“带线”L的顶点的横坐标为﹣1，求“带
线”L的表达式；
（2）如果抛物线 y＝2x2﹣4x+1与直线 y＝nx+1具有“一带一路”关系，如图，设抛物线
与 x轴的一个交点为 A，与 y轴交于点 B，其顶点为 C．
①求△ABC的面积；
②在 y轴上是否存在一点 P，使 S△PBC＝ S△ABC，若存在，直接写出点 P的坐标，若不
存在，请说明理由．
2020 年中考数学新定义二次函数
【解答】解：（1）∵“带线”L的顶点的横坐标为﹣1，
∴y＝2×（﹣1）﹣4＝﹣6，
∴“带线”L的顶点的（﹣1，﹣6），
设 L的解析式为 y＝a（x+1）2﹣6，
∵“路线”y＝2x﹣4与 y轴的交点坐标是（0，﹣4），
∵带线”L也经过（0，﹣4），将（0，﹣4）代入 L的表达式，得
a＝2，
“带线”L的表达式为 y＝2（x+1）2﹣6＝2x2+4x﹣4；
（2）①y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1其顶点坐标是（1，﹣1），
直线 y＝nx+1经过（1，﹣1），
解得 n＝﹣2，
直线 BC的解析式为 y＝﹣2x+1，
当 y＝0时，﹣2x+1＝0，解得 x＝ ，即 D（ ，0），
AD＝1 ﹣ ＝
当 x＝0时，y＝1，即 B（0，1），
当 y＝0时，2x2﹣4x+1＝0，
解得 x＝1 ，即 A点坐标为（1+ ，0），
∴S△ABC＝ AD?（xB﹣xC）＝ × ×（1+1）＝ ；
2020 年中考数学新定义二次函数
②如图 ，
设 P（0，n），BP＝|1﹣n|，
由 S△PBC＝ S△ABC，得
|1﹣n|×1＝ × ，
化简得 1﹣n＝ ，或 n﹣1＝
解得 n＝ ，n＝ ，
P点坐标为（0， ）或（0， ）．
5．如图①，直线 L：y＝mx+n（m＜0，n＞0）与 x，y轴分别相交于 A，B两点，将△AOB
绕点 O逆时针旋转 90°，得到△COD，过点 A，B，D的抛物线 P叫做 L的关联抛物线，
而 L叫做 P的关联直线．
（1）若 L：y＝﹣x+2，则 P表示的函数解析式为 y＝﹣ +2 ；
若 P： ，则 L表示的函数解析式为 y＝﹣2x+4 ．
（2）如图②，若 L：y＝﹣3x+3，P的对称轴与 CD相交于点 E，点 F在 L上，点 Q在 P
的对称轴上．当以点 C，E，Q，F为顶点的四边形是以 CE为一边的平行四边形时，求
点 Q的坐标；
（3）如图③，若 L：y＝mx+1，G为 AB中点，H为 CD中点，连接 GH，M为 GH中点，
连 接 OM ． 若 OM ＝ ， 求 出 L ， P 表 示 的 函 数 解 析 式 ．
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【解答】解：（1）若 l：y＝﹣x+2，则 A（2，0），B（0，2）．
∵将△AOB绕点 O逆时针旋转 90°，得到△COD，
∴D（﹣2，0）．
设 P表示的函数解析式为：y＝a（x+2）（x﹣2），将点 B坐标代入得：
2＝a×2×（﹣2），
解得 a＝﹣ ，
∴P表示的函数解析式为：y＝﹣ （x+2）（x﹣2），
即 y＝﹣ +2；
若 P：＝﹣ （x+4）（x﹣2），
则 D（﹣4，0），A（2，0）．
∴B（0，4）．
设 L表示的函数解析式为：y＝kx+b，将点 A、B坐标代入得：
，
解得， ，
∴L表示的函数解析式为：y＝﹣2x+4；
故答案为：y＝﹣ +2；y＝﹣2x+4．
（2）若 L：y＝﹣3x+3，则 A（1，0）、B（0，3），
2020 年中考数学新定义二次函数
∴C（0，1）、D（﹣3，0）．求得直线 CD的解析式为：y＝ x+1．可求得 P的对称轴为
x＝﹣1．
∵以点 C，E，Q，F为顶点的四边形是以 CE为一边的平行四边形，
∴FQ∥CE，且 FQ＝CE．
设直线 FQ的解析式为：y＝ x+b．
∵点 E、点 C的横坐标相差 1，
∴点 F、点 Q的横坐标也是相差 1．
则|xF﹣（﹣1）|＝|xF+1|＝1，
解得 xF＝0或 xF＝﹣2．
∵点 F在直线 L：y＝﹣3x+3上，
∴点 F坐标为（0，3）或（﹣2，9）．
若 F（0，3），则直线 FQ为：y＝ x+3，
当 x＝﹣1时，y＝2，
∴Q1（﹣1，2）．
若 F（﹣2，9），则直线 FQ为： ，
当 x＝﹣1时，y＝ ，∴Q2（﹣1， ）．
∴满足条件的点 Q有 2个，如答图 1所示，点 Q坐标为 Q1（﹣1，2）、Q2（﹣1， ）；
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（3）如图 2所示，连接 OG、OH．
∵点 G、H为斜边中点，
∴OG＝ AB，OH＝ CD．
由旋转性质可知，AB＝CD，OG⊥OH，
∴△OGH为等腰直角三角形．
∵点 G为 GH中点，
∴△OMG为等腰直角三角形．
∴OG＝ OM＝ ? ＝ ．
∴AB＝2OG＝ ．
∵L：y＝mx+1，
∴A（ ，0），B（0，1）．
在 Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2＝AB2，即：（ ）2+12＝（ ）2，
解得：m＝﹣3或 m＝3．
∵点 B在 y轴正半轴，
∴m＝3舍去，
∴m＝﹣3．
∴L表示的函数解析式为：y＝﹣3x+1；
∴B（0，1），D（﹣1，0）．
又 A（ ，0），利用待定系数法求得 P：y＝﹣3x2﹣2x+1．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
2020 年中考数学新定义二次函数
专项训练 3:关联抛物线
1．在平面直角坐标系 xOy中，给出如下定义：形如 y＝a（x﹣m）2+a（x﹣m）与 y＝a（x
﹣m）2﹣a（x﹣m）的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”．
（1）试写出一对兄弟抛物线的解析式 y＝2（x﹣3）2+2（x﹣3） 与 y＝2（x﹣3）2
﹣2（x﹣3） ；
（2）判断二次函数 y＝x2﹣x与 y＝x2﹣3x+2的图象是否为兄弟抛物线？如果是，求出 a
与 m的值；如果不是，请说明理由；
（3）若一对兄弟抛物线各自与 x轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，其中一个抛物
线的对称轴为直线 x＝2且开口向上，请直接写出这对兄弟抛物线的解析式．
【解答】解：（1）抛物线 y＝2（x﹣3）2+2（x﹣3）与 y＝2（x﹣3）2﹣2（x﹣3）是兄弟
抛物线；
故答案为 y＝2（x﹣3）2+2（x﹣3），y＝2（x﹣3）2﹣2（x﹣3）；
（2）二次函数 y＝x2﹣x与 y＝x2﹣3x+2的图象是兄弟抛物线，理由如下：
∵y＝x2﹣x＝（x﹣1）2+（x﹣1），
y＝x2﹣3x+2＝（x﹣1）2﹣（x﹣1），
∴二次函数 y＝x2﹣x与 y＝x2﹣3x+2的图象是兄弟抛物线．此时 a＝1，m＝1．
（3）设对称轴为直线 x＝2 且开口向上的抛物线解析式为 y＝2（x﹣2）2+k（k＜0），如
图，
∵△PAB为直角三角形，
∴△PAB为等腰直角三角形，
∴AB＝﹣2k，
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∴B（2﹣k，0），
把 B（2﹣k，0）代入 y＝2（x﹣2）2+k得 2k2+k＝0，解得 k1＝0（舍去），k2＝﹣ ，
∴A（ ，0），B（ ，0），
∴抛物线解析式为 y＝2（x﹣ ）（x﹣ ），
当 y＝2（x﹣ ）（x﹣ ﹣1），则与 y＝2（x﹣ ）（x﹣ ﹣1）成一对兄弟抛物线的另一
个二次函数为 y＝2（x﹣ ）（x﹣ +1）＝2（x﹣ ）（x﹣ ），即 y＝2（x﹣ ）（x﹣ ）
与 y＝2（x﹣ ）（x﹣ ）为兄弟抛物线；
当 y＝2（x﹣ ）（x﹣ +1），则与 y＝2（x﹣ ）（x﹣ +1）成一对兄弟抛物线的另一个
二次函数为 y＝2（x﹣ ）（x﹣ ﹣1）＝2（x﹣ ）（x﹣ ），即 y＝2（x﹣ ）（x﹣ ）
与 y＝2（x﹣ ）（x﹣ ）为兄弟抛物线．
2．我们给出如下定义：在平面直角坐标系 xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经
过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．如图，抛物线 F2都是
抛物线 F1的过顶抛物线，设 F1的顶点为 A，F2的对称轴分别交 F1、F2于点 D、B，点 C
是点 A关于直线 BD的对称点
（1）如图 1，如果抛物线 y＝x2的过顶抛物线为 y＝ax2+bx，C（2，0），那么
①a＝ 1 ，b＝ ﹣2 ．
②如果顺次连接 A、B、C、D四点，那么四边形 ABCD为 D
A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形
2020 年中考数学新定义二次函数
（2）如图 2，抛物线 y＝ax2+c的过顶抛物线为 F2，B（2，c﹣1）．求四边形 ABCD的面
积．
（3）如果抛物线 y＝ 的过顶抛物线是 F2，四边形 ABCD的面积为 2 ，
请直接写出点 B的坐标．
【解答】解：（1）由 A、C点关于对称轴对称，得
对称轴 x＝1．
将 C点坐标代入解析式，及对称轴公式，得
，
解得 ，
故答案为：1，﹣2；
当 x＝1时，y＝x2，B（1，1）；
y＝x2﹣2x＝﹣1，D（1，﹣1），
四边形 ABCD的对角线相等互相平分，且互相垂直，
四边形 ABCD是正方形，
故选：D．
（2）∵B（2，c﹣1），
∴AC＝2×2＝4．
∵当 x＝0，y＝c，
∴A（0，c）．
∵F1：y＝ax2+c，B（2，c﹣1）．
∴设 F2：y＝a（x﹣2）2+c﹣1．
2020 年中考数学新定义二次函数
∵点 A（0，c）在 F2上，
∴4a+c﹣1＝c，
∴ ．
当 x＝2时，y＝ax2+c＝4a+c，B（2，4a+c）
∴BD＝（4a+c）﹣（c﹣1）＝2．
∴S 四边形 ABCD＝ AC?BD＝4．
（3）如图所示
，
y＝ ＝ （x﹣1）2+2
设 F2的解析式 y＝ （x﹣1﹣a）2+2﹣b，把（1，2）代入得到 a2＝3b，
B（1+a，2+b），C（3b+1+a，2），D（1+a， a2+2）．
B点在 A点的右侧时，AC＝2a，BD＝2b，
∴ ?2a?2b＝2 ，
∴ab＝ ，
∴a＝ ，b＝1，
∴B1（ ，1），
B在点 A的左侧时，同法可得 B2（1﹣ ，1），
综上所述：B1（ ，1），B2（ ，1）．
3．定义：我们把二次函数 y＝ax2+bx+c和 y＝﹣ax2+bx﹣c这两个二次函数称为一对友好函
数，并称函数 y＝ax2+bx+c是函数 y＝﹣ax2+bx﹣c的友好函数．函数 y＝﹣ax2+bx﹣c也
2020 年中考数学新定义二次函数
是函数 y＝ax2+bx+c的友好函数．
（1）请你写出一对友好函数；
（2）若函数 y＝2x2+bx+c与它的友好函数的图象的顶点重合，求 b和 c的值；
（3）如图，若函数 y＝﹣x2+bx+c的图象的顶点 P是抛物线 y＝ 第一象限上的
一个动点，且与 x轴交于点 A（x1，0）和点 B（x2，0），且 x1＜x2，并且它的友好函数的
图象与 x轴交于点 C（x3，0）和点 D（x4，0），且 x3＜x4若点 D和点 A是线段 CB的三
等分点，求 b和 c的值．
【解答】解：（1）令 a＝1，b＝2，c＝3 得：y＝ax2+bx+c＝x2+2x+3，y＝﹣ax2+bx﹣c＝
﹣x2+2x﹣3，
∴y＝x2+2x+3和 y＝﹣x2+2x﹣3是一对友好函数；
（2）∵两个函数的顶点重合，
∴两抛物线的对称轴重合，即： ．
∴b＝0．
∴两抛物线的解析式为 y＝2x2+c和 y＝﹣2x2﹣c．
∵两个函数的顶点重合，
∴c＝﹣c．
解得：c＝0，
所以 b＝0，c＝0；
（3）设点P的坐标为（m， ），则两抛物线的解析式为 y1＝
和 y2＝ ，
令 y1＝0得：﹣ ，
2020 年中考数学新定义二次函数
解得：xA＝ ，xB＝ ，
∴AB＝ ＝ ．
令 y2＝0得： ＝0，
解得：xC＝ ，xD＝ ，
如图 1：
则 AD＝ ＝
∵点 D和点 A是线段 CB的三等分点，
∴AD＝AB
∴ ．
解得：m＝4，
∴y1＝﹣（x﹣4）2+4＝﹣x2+8x﹣12，所以 b＝8，c＝﹣12．
如图 2；
则 AD＝ ＝2﹣ ．
∵点 D和点 A是线段 CB的三等分点，
∴AD＝ AB．
2020 年中考数学新定义二次函数
∴ ．
解得：m＝ ，
∴y1＝ ＝﹣ ＝﹣ ．
∴b＝ ，c＝ ．
综上所述，可知 b＝8，c＝﹣12或 b＝ ，c＝ ．
4．在平面直角坐标系 xOy中，把抛物线 C1：y＝x2﹣4沿 x轴向右平移 m（m＞0）个单位长
度，得抛物线 C2，C1和 C2的交点为点 M（如图 1）
（1）用含 m的式子来表示抛物线 C2的解析式和点 M的坐标；
（2）定义：像 C1和 C2两条抛物线，是把其中一条沿水平方向向左（像向右）平移得到
另一条．若两抛物线的顶点 P、Q以及交点 M满足∠PMQ＝90°，则这样的两条抛物线
互为“和谐线”．
①求抛物线 C1：y＝x2﹣4的和谐线；
②如图 2，抛物线 C1：y＝x2﹣4与 x轴正半轴的交点为 A，与它的和谐线的交点为 M（点
M在第四象限），连接 MA，过点 M作 MH⊥x轴，在 x轴上存在一点 N，使∠ONM+∠
AMH ＝ 45 ° ， 求 点 N 的 坐 标
【解答】解：（1）∵抛物线 C1：y＝x2﹣4①沿 x轴向右平移 m（m＞0）个单位长度，得
抛物线 C2，
∴抛物线 C2的解析式为 y＝（x﹣m）2﹣4＝x2﹣2mx+m2﹣4②，
联立①②得，x＝ ，y＝ ﹣4，
2020 年中考数学新定义二次函数
∴M（ ， ）；
（2）设抛物线 C1：y＝x2﹣4的和谐线抛物线 C2的解析式为 y＝（x﹣m）2﹣4，
∴抛物线 C1的顶点 P（0，﹣4），抛物线 C2的顶点 Q（m，﹣4），
∴PQ＝|m|，同（1）的方法得，M（ ， ）；
由“和谐线”的定义，易知，△PMQ是等腰直角三角形，
∴ ﹣4+4＝ |m|，
∴m＝﹣2或 m＝2，
∴抛物线 C2的解析式为 y＝（x﹣2）2﹣4或 y＝（x+2）2﹣4．
（3）当点 N在 x轴负半轴上时，如图，
由（2）知，M（1，﹣3），抛物线 C2过原点，
∴直线 OM的解析式为 y＝﹣3x，
过点 O作 OD⊥OM，截取 OD＝OM，
∴△ODM是等腰直角三角形，
∴∠ODM＝45°，
∵∠DON+∠MOA＝90°，∠OMH+∠MOH＝90°，
∴∠DON＝∠OMH，
∵∠OMH＝∠AMH，
∴∠AMH＝∠DON，
∴直线 OD的解析式为 y＝ x，
设点 D的坐标为（3m，m）（m＜0），
∴9m2+m2＝10，
∴m＝1（舍）或 m＝﹣1，
∴D（﹣3，﹣1），
∵M（1，﹣3），
∴直线 DM的解析式为 y＝﹣ x﹣ ，
2020 年中考数学新定义二次函数
令 y＝0，得﹣ x﹣ ＝0，
∴x＝﹣5，
∴N（﹣5，0），
同理可得，x轴正半轴上的一个 N点的坐标为（7，0）．
即：满足条件的点 N（﹣5，0）或（7，0）．
5．如果抛物线的顶点 C1在抛物线 C2上，同时，抛物线 C2的顶点在抛物线 C1上，那么我
们称抛物线 C1与 C2互相关联．
（1）已知抛物线①y＝x2+2x﹣1，则抛物线②y＝﹣x2+2x+1；③y＝x2+2x+1已知抛物线
①互相关联的有 ② （填序号即可）．
（2）如图所示的是抛物线 C1：y＝ （x+1）2﹣2，将抛物线 C1绕点 P（t，2）旋转 180°
得到抛物线 C2，若抛物线 C1与 C2关联．
①求抛物线 C2的解析式．
②当 t＜0时，若点 A为抛物线 C1的顶点，点 B为抛物线 C2的顶点，在 y轴上是否存在
点 C，使△ABC是以 AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点 C的坐标；若不存在，
请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线①y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，其顶点坐标为 M（﹣1，﹣2）．
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经验算，点 M在抛物线②上，不在抛物线③上，所以，抛物线①与抛物线③不是关联
的；
抛物线②y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，其顶点坐标为 N1（1，2），
经验算点 N1在抛物线①上，所以抛物线①、②是关联的，物线①与抛物线③不是关联
的，
故答案为：②．
（2）①如图 ，
抛物线 C1：y＝ （x+1）2﹣2，的顶点 M的坐标为（﹣1，﹣2），
因为动点 P的坐标为（t，2），所以点 P在直线 y＝2上，
作 M关于 P的对称点 N，分别过点 M、N作直线 y＝2 的垂线，垂足为 E、F，则 ME＝
NF＝4，所以点 N的纵坐标为 6．
当 y＝6时， （x+1）2﹣2＝6，解之得，x1＝7，x2＝﹣9．
∴N（7，6）或 N（﹣9，6）．
设抛物线 C2的抛物线为 y＝a（x﹣7）2+6．
因为点 M（﹣1，﹣2）在抛物线 C2上，
∴﹣2＝a（﹣1﹣7）2+6，a＝﹣ ．
∴抛物线 C2的解析式为 y＝﹣ （x﹣7）2+6；
设抛物线 C2的抛物线为 y＝a（x+9）2+6．
因为点 M（﹣1，﹣2）在抛物线 C2上，
2020 年中考数学新定义二次函数
∴﹣2＝a（﹣1+9）2+6，a＝﹣ ．
∴抛物线 C2的解析式为 y＝﹣ （x﹣7）2+6或 y＝﹣ （x+9）2+6；
②存在点 C，使△ABC是以 AB为斜边的直角三角形，理由如下：
如图 1 ，
当 t＜0时，A（﹣1，﹣2），B（﹣9，6），点 C为 y轴上的点，可设点 C的坐标为（0，
c），
过点 B作 BE⊥y轴，过点 A作 AF⊥y轴，
若∠ACB＝90°，则∠BCE+∠CBE＝∠BCE+∠ACF＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF，又∵∠BEC＝∠CFA＝90°，
∴△BCE∽△CAF，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得 c1＝2+ ，c2＝2﹣ ，
∴存在点 C，使△ABC是以 AB为斜边的直角三角形，此时 C（0，2+ ）或（0，2﹣ ）．
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2020 年中考数学新定义二次函数
专项训练 4:函数与几何综合
1．已知点 A、B分别是 x轴、y轴上的动点，点 C、D是某个函数图象上的点，当四边形
ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正
方形．例如：如图，正方形 ABCD是一次函数 y＝x+1图象的其中一个伴侣正方形．
（1）若某函数是一次函数 y＝x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；
（2）若某函数是反比例函数 ，它的图象的伴侣正方形为 ABCD，点 D（2，
m）（m＜2）在反比例函数图象上，求 m的值及反比例函数解析式．
【解答】解：（1）如图 1，当点 A在 x轴正半轴，点 B在 y轴负半轴上时，
∵OC＝0D＝1，
∴正方形 ABCD的边长 CD＝ ；
∵当点 A在 x轴负半轴、点 B在 y轴正半轴上时，
∴设正方形的边长为 a，
∴3a＝CD＝ ．
∴a＝ ，
∴正方形边长为 ，
∴一次函数 y＝x+1图象的伴侣正方形的边长为 或 ；
（2）如图 2，作 DE，CF分别垂直于 x、y轴，
∵AB＝AD＝BC，∠DAE＝∠OBA＝∠FCB，
∴△ADE≌△BAO≌△CBF．
2020 年中考数学新定义二次函数
∵m＜2，
∴DE＝OA＝BF＝m，OB＝CF＝AE＝2﹣m，
∴OF＝BF+OB＝2，
∴C点坐标为（2﹣m，2），
设反比例函数的解析式为： ，
∵D（2，m），C（2﹣m，2）
∴ ，
∴由②得：k＝2m③，
∴把 k＝2m代入①得：2m＝2（2﹣m），
∴解得 m＝1，k＝2，
∴反比例函数的解析式为 y＝ ．
2．在平面直角坐标系 xOy中，对于任意三点 A，B，C，给出如下定义：
若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且 A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，
则称该矩形为点 A，B，C的外延矩形．点 A，B，C的所有外延矩形中，面积最小的矩
形称为点 A，B，C的最佳外延矩形．例如，图 1中的矩形 A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3CD3
都是点 A，B，C的外延矩形，矩形 A3B3CD3是点 A，B，C的最佳外延矩形．
（1）如图 1，已知 A（﹣2，0），B（4，3），C（0，t）．
①若 t＝2，则点 A，B，C的最佳外延矩形的面积为 18 ；
②若点 A，B，C的最佳外延矩形的面积为 24，则 t的值为 4或﹣1 ；
2020 年中考数学新定义二次函数
（2）如图 2，已知点 M（6，0），N（0，8）．P（x，y）是抛物线 y＝﹣x2+4x+5上一点，
求点 M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点 P的横坐标 x的取值范围；
（3）如图 3，已知点 D（1，1）．E（m，n）是函数 y＝ （x＞0）的图象上一点，矩形
OFEG是点 O，D，E的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H是矩形 OFEG的外接圆，请
直接写出⊙H的半径 r的取值范围．
【解答】解：（1）①如图 1，
∵A（﹣2，0），B（4，3），C（0，2）．
∴点 A，B，C的最佳外延矩形的面积为[4﹣（﹣2）]×3＝18．
故答案为：18．
②如图 2，
2020 年中考数学新定义二次函数
∵点 A，B，C的最佳外延矩形的面积为 24，
∴A（﹣2，0），B（4，3），C（0，4）或 A（﹣2，0），B（4，3），C（0，﹣1）．
∴t＝4或 t＝﹣1；
故答案为：4或﹣1．
（2）如图 3，过 M点作 x轴的垂线与过 N点垂直于 y轴的直线交于点 Q，则当点 P位于
矩形 OMQN内部或边界时，矩形 OMQN是点 M，N，P的最佳外延矩形，且面积最小．
∵S 矩形OMQN＝OM?ON＝6×8＝48，
∴点 M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值为 48．
抛物线 y＝﹣x2+4x+5与 y轴交于点 T（0，5）．
令 y＝0，有﹣x2+4x+5＝0，
解得 x＝﹣1（舍），或 x＝5．
令 y＝8，有＝﹣x2+4x+5＝8，
解得 x＝1，或 x＝3．
∴0≤x≤1，或 3≤x≤5．
（3）如图 4，OD所在的直线交双曲线于点 E，矩形 OFEG是点 O，D，E的一个面积最
小的最佳外延矩形，
2020 年中考数学新定义二次函数
∵点 D（1，1），
∴OD所在的直线表达式为 y＝x，
∴点 E的坐标为（2，2）
∴OE＝2 ，
∴⊙H的半径 r＝ ，
如图 5，
∵当点 E的纵坐标为 1时，1＝ ，解得 x＝4，
∴OE＝ ＝ ，
∴⊙H的半径 r＝ ，
∴ ．
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2020 年中考数学新定义二次函数
专项训练 5:函数变换
1．在平面直角坐标系 xOy中，对于点 P（a，b）和点 Q（a，b'），给出如下定义：
若 b'＝ ，则称点 Q为点 P的限变点，例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，
3），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5）．
（1）①点（ ，1）的限变点的坐标是 （ ，1） ；
②在点 A（﹣1，﹣2），B（﹣1，2）中有一个点是函数 y＝2x图象上某一个点的限变点，
这个点是 B ；
（2）若点 P在函数 y＝﹣x+3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其限变点 Q的纵坐标 b'
的取值范围是﹣5≤b'≤2，求 k的取值范围．
（3）若点 P在关于 x的二次函数 y＝x2﹣2tx+t2+t的图象上，其限变点 Q的纵坐标 b'的取
值范围是 b'≥m或 b'＜n，其中 m＞n，令 s＝m﹣n，求 s关于 t的函数解析式及 s的取值
范围．
【解答】解：（1）①点（ ，1），∵ ，故该点的限变点的坐标（ ，1），
故答案为：（ ，1）；
②设点 B是符合条件的点，则在直线上的点坐标为：（﹣1，﹣2），该点限变点为（﹣1，
2），即为点 B，
同理验证点 A不符合条件，
故答案为：点 B；
2020 年中考数学新定义二次函数
（2）由题意得：函数 y＝﹣x+5（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）图象上的点 P的限变点 Q必在函
数 y＝ 的图象上（如图 1）．
当 b′＝﹣5时，﹣5＝x﹣3或﹣5＝﹣x+3，
∴x＝﹣2或 x＝8；
当 b′＝2时，2＝﹣x+3，
∴x＝5．
∵﹣5≤b'≤2，
∴由图象可知，k的取值范围是 5≤k≤8；
（3）∵y＝x2﹣2tx+t2+t＝（x﹣t）2+t，
∴顶点坐标为（t，t）．
若 t＜1，如图 2所示，b′的取值范围是 b′≥m或 b′≤n，与题意不符．
若 t≥1，如图 3所示，当 x≥1时，y的最小值为 t，即 m＝t；
2020 年中考数学新定义二次函数
当 x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2+t]，即 n＝﹣[（1﹣t）2+t]．
∴s＝m﹣n＝t+（1﹣t）2+t＝t2+1，
∴s关于 t的函数解析式为 s＝t2+1（t≥1），
当 t＝1时，s取最小值 2，
∴s的取值范围是 s≥2．
2．在平面直角坐标系 xOy中，点 P的坐标为（a，b），点 P的变换点 P'的坐标定义如下：
当 a＞b时，点 P'的坐标为（﹣a，b）；当 a≤b时，点 P'的坐标为（﹣b，a）．
（1）点 A（3，1）的变换点 A'的坐标是 （﹣3，1） ；点 B（﹣4，2）的变换点为 B'，
连接 OB，OB'，则∠BOB'＝ 90° °；
（2）已知抛物线 y＝﹣（x+2）2+m与 x轴交于点 C，D（点 C在点 D的左侧），顶点为
E．点 P在抛物线 y＝﹣（x+2）2+m上，点 P的变换点为 P'．若点 P'恰好在抛物线的对
称轴上，且四边形 ECP'D是菱形，求 m的值；
（3）若点 F是函数 y＝﹣2x﹣6（﹣4≤x≤﹣2）图象上的一点，点 F的变换点为 F'，连
接 FF'，以 FF'为直径作⊙M，⊙M的半径为 r，请直接写出 r的取值范围．
【解答】解：（1）∵点 A（3，1），3＞1，
∴点 A的对应点 A'的坐标是（﹣3，1）．
∵B（﹣4，2），﹣4＜2，
∴点 B的变换点为 B'的坐标为（﹣2，﹣4）．
2020 年中考数学新定义二次函数
过点 B作 BC⊥y轴，垂足为 C，过点 B′作 B′D⊥y轴，垂足为 D．
∵B（﹣4，2）、B′（﹣2，﹣4），
∴OC＝B′D＝2，BC＝OD＝4．
在 Rt△BCO和 Rt△ODB′中 ，
∴Rt△BCO≌Rt△ODB′．
∴∠BOC＝∠B′．
∵∠B′+∠B′OD＝90°，
∴∠B′OD+∠BOC＝90°．
∴∠BOB'＝90°．
故答案为：（﹣3，1）；90°．
（2）由题意得 y＝﹣（x+2）2+m的顶点 E的坐标为 E（﹣2，m），m＞0．
∵点 P在抛物线 y＝﹣（x+2）2+m上，
∴设点 P的坐标为（x，﹣（x+2）2+m）．
①若 x＞﹣（x+2）2+m，则点 P'的坐标为 P'（﹣x，﹣（x+2）2+m）．
∵点 P'恰好在抛物线的对称轴上，且四边形 ECP'D是菱形，
∴
∴m＝8，符合题意．
②若 x≤﹣（x+2）2+m，则点 P'的坐标为 P'（（x+2）2﹣m，x）．
∵点 P'恰好在抛物线的对称轴上，且四边形 ECP'D是菱形，
2020 年中考数学新定义二次函数
∴
∴m＝2或 m＝3，符合题意．
综上所述，m＝8或 m＝2或 m＝3．
（3）设点 F的坐标为（x，﹣2x﹣6）．
当 x＞﹣2x﹣6时，解得：x＞﹣2，不和题意．
当 x≤﹣2x﹣6时，解得：x≤﹣2，符合题意．
∵点 F的坐标为（x，﹣2x﹣6），且 x≤﹣2x﹣6，
∴点 F′的坐标为（2x+6，x）．
∴FF′＝ ＝ ＝ ．
∴当 x＝﹣ 时，FF′有最小值，FF′的最小值＝ ＝ ，当 x＝﹣4时，FF′
有最大值，EF′的最大值＝2 ．
∴FF′的取值范围为： ≤FF′≤2 ．
∵r＝ FF′，
∴r的取值范围是 ≤r≤ ．
3．对某一个函数给出如下定义：若存在实数 k，对于函数图象上横坐标之差为 1 的任意两
点（a，b1），（a+1，b2），b2﹣b1≥k都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件
的 k中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数 y＝﹣x+2，当 x取值 a和 a+1
时，函数值分别为 b1＝﹣a+2，b2＝﹣a+1，故 b2﹣b1＝﹣1≥k，因此函数 y＝﹣x+2是限
减函数，它的限减系数为﹣1．
（1）写出函数 y＝2x﹣1的限减系数；
（2）m＞0，已知 （﹣1≤x≤m，x≠0）是限减函数，且限减系数 k＝4，求 m的取
值范围．
（3）已知函数 y＝﹣x2的图象上一点 P，过点 P作直线 l垂直于 y轴，将函数 y＝﹣x2
的图象在点 P右侧的部分关于直线 l翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，
如果这个新函数是限减函数，且限减系数 k≥﹣1，直接写出 P点横坐标 n的取值范围．
2020 年中考数学新定义二次函数
【解答】解：（1）当 x取值 a和 a+1时，函数值分别为 b1＝2a﹣1，b2＝2a+1，故 b2﹣b1
＝2≥k，因此函数 y＝2x﹣1是限减函数，它的限减系数为 2．
（2）若 m＞1，则 m﹣1＞0，（m﹣1， ）和（m， ）是函数图象上两点，
，与函数的限减系数 k＝4不符，且 m＝1不符合题意，
∴m＜1．
若 ，（t﹣1， ）和（t， ）是函数图象上横坐标之差为 1的任意两点，则
0＜t≤m， ，
∵﹣t（t﹣1）＞0，且 ，
∴ ，与函数的限减系数 k＝4不符．
∴ ．
若 ≤m＜1，（t﹣1， ）和（t， ）是函数图象上横坐标之差为 1的任意两点，则 0
＜t≤m， ，
∵﹣t（t﹣1）＞0，且 ，
∴ ，当 时，等号成立，故函数的限减系数 k＝4．
∴m的取值范围是 ≤m＜1．
（3）设 P（n，﹣n2），则翻折后的抛物线的解析式为 y＝x2﹣2n2，
对于抛物线 y＝﹣x2，（m﹣1，﹣（m﹣1）2），（m，﹣m2）是抛物线图象上两点，
由题意：﹣m2+m2﹣2m+1≥﹣1，解得 m≤1，
对于抛物线 y＝x2﹣2n2，（m，m2﹣2n2），（m+1，（m+1）2﹣2n2）是抛物线图象上两点，
由题意：（m+1）2﹣2n2﹣（m2﹣2n2）≥﹣1，
解得 m≥﹣1，
∴满足条件的 P点横坐标 n的取值范围：﹣1≤n≤1．
4．对于平面直角坐标系 xOy中的点 P（m，n），定义一种变换：作点 P（m，n）关于 y轴
对称的点 P′，再将 P′向左平移 k（k＞0）个单位得到点 Pk′，Pk′叫做对点 P（m，n）
2020 年中考数学新定义二次函数
的 k阶“? ”变换．
（1）求 P（3，2）的 3阶“? ”变换后 P3′的坐标；
（2）若直线 y＝3x﹣3与 x轴，y轴分别交于 A，B两点，点 A的 2阶“? ”变换后得到
点 C，求过 A，B，C三点的抛物线 M的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线 M的对称轴与 x轴交于 D，若在抛物线 M对称轴上存在
一点 E，使得以 E，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，求点 E的坐标．
【解答】解：（1）由 3阶“? ”变换定义：P（3，2）关于 y轴对称的点为 P'的坐标为（﹣
3，2），再将 P'（﹣3，2）向左平移 3个单位得 P3'的坐标 P3'（﹣6，2）；
（2）当 y＝0，3x﹣3＝0，解得 x＝1，则 A（1，0）；当 x＝0，y＝3x﹣3＝﹣3，则 B（0，
﹣3）；
由 2阶“? ”变换定义：A（1，0）关于 y轴对称的点为 A'的坐标为（﹣1，0），再将 A'
（﹣1，0）向左平移 2个单位得 P3'的坐标 A3'（﹣3，0），则 C（﹣3，0）；
设过 A，B，C三点的抛物线 M的解析式 y＝a（x+3）（x﹣1），
将 B（0，﹣3）代入得 a?3?（﹣1）＝﹣3，解得 a＝1，
所以抛物线 M的解析式为 y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；
（3）抛物线的对称轴为直线 x＝﹣ ＝﹣1，则 D（﹣1，0），
而 B（0，﹣3），
∴BD＝ ＝ ，
若 DB＝DE＝ ，如图，则 E1（﹣1， ），E2（﹣1，﹣ ），
若 BD＝BE，如图，则 E3（﹣1，﹣6）；
若 ED＝EB，如图，E4B＝E4D，设 E4（﹣1，t），
则 t2＝（﹣1）2+（t+3）2，解得 t＝﹣ ，则 E4（﹣1，﹣ ），
综上所述，点 E的坐标为（﹣1， ）、（﹣1，﹣ ）、（﹣1，﹣6）、（﹣1，﹣ ）．
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5．在平面直角坐标系 xOy中，若点 P和点 P1关于 y轴对称，点 P1和点 P2关于直线 l对称，
则称点 P2是点 P关于 y轴，直线 l的二次对称点．
（1）如图 1，点 A（﹣1，0）．
①若点 B是点 A关于 y轴，直线 l1：x＝2的二次对称点，则点 B的坐标为 （3.0） ；
②若点 C（﹣5，0）是点 A关于 y轴，直线 l2：x＝a的二次对称点，则 a的值为 ﹣
2 ；
③若点 D（2，1）是点 A关于 y轴，直线 l3的二次对称点，则直线 l3的表达式为 y＝
﹣x+2 ；
（2）如图 2，⊙O的半径为 1．若⊙O上存在点 M，使得点 M'是点 M关于 y轴，直线 l4：
x＝b的二次对称点，且点 M'在射线 y＝ x（x≥0）上，b的取值范围是 ﹣ ≤b≤
1 ；
（3）E（t，0）是 x轴上的动点，⊙E的半径为 2，若⊙E上存在点 N，使得点 N'是点 N
关于 y轴，直线 l5：y＝ x+1的二次对称点，且点 N'在 y轴上，求 t的取值范围．
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【解答】解：（1）．①如图 1中，点 A（﹣1，0）关于 y轴的对称点 A1（1，0），A1关于
直线 x＝2的对称点 B（3，0）．
②如图 2中，由题意 C（﹣5，0），A1（1，0），∵A1、C关于直线 x＝a对称，
∴a＝﹣2．
③如图 3中，∵A1（1，0），D（2，1），
∴直线 A1D的解析式为 y＝x﹣1，线段 A1D的中垂线的解析式为 y＝﹣x+2，
∴直线 l3的解析式为 y＝﹣x+2．
故答案分别为（3，0），a＝﹣2．y＝﹣x+2．
2020 年中考数学新定义二次函数
（2）如图 4中，
由题意 b＝ MM′，由此可知，当 MM′的值最大时，可得 b的最大值，
∵直线 OM′的解析式为 y＝ x，
∴∠MM′O＝∠M′OD＝30°，
∵OM＝1，易知，OM⊥OM′时，MM′的值最大，最大值为 2，
∴b的最大值为 1，
如图 5中，易知当点 M在 x轴的正半轴上时，可得 b的最小值，最小值为﹣ ，
综上所述，满足条件的 b取值范围为﹣ ≤b≤1．
故答案为﹣ ≤b≤1．
（3）如图 6中，设点 E关于 y轴的对称点为 E1，E1关于直线 y＝ x+1的对称点为 E′，
易知当点 N在⊙E上运动时，点 N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与 y轴相切或相
交时满足条件．
2020 年中考数学新定义二次函数
连接 E1E′交直线 y＝ x+1于 K，易知直线 E1E′的解析式为 y＝﹣ x﹣ t，
由 解得 ，
∴K（ ， ），
∵KE1＝KE′，
∴E′（ ， ），
当⊙E′与 y轴相切时，| |＝2，解得 t＝ ﹣4或 +4，
综上所述，满足条件的 t的取值范围为 ﹣4≤t≤ +4．
6．在平面直角坐标系 xOy中，点 P的坐标为（x1，y1），点 Q的坐标为（x2，y2），若 a＝|x1
﹣x2|，b＝|y1﹣y2|，则记作（P，Q）→{a，b}．
（1）已知（P，Q）→{a，b}，且点 P（1，1），点 Q（4，3），求 a，b的值；
（2）点 P（0，﹣1），a＝2，b＝1，且（P，Q）→{a，b}，求符合条件的点 Q的坐标；
（3）⊙O的半径为 ，点 P在⊙O上，点 Q（m，n）在直线 y＝﹣ x+ 上，若（P，
Q）→{a，b}，且 a＝2k，b＝k （k＞0），求 m的取值范围．
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【解答】解：（1）∵点 P（1，1），点 Q（4，3），
∴a＝|1﹣4|＝3，b＝|1﹣3|＝2．
（2）设 Q（m，n），
由题意|m﹣0|＝2，|n﹣1|＝1，
∴m＝±2，n＝2或 0，
∴点 Q坐标为（﹣2，0）或（﹣2，﹣2）或（2，0）或（2，﹣2）．
（3）如图，
∵⊙O的半径为 ，点 P在⊙O上，点 Q（m，n）在直线 y＝﹣ x+ 上，若（P，Q）
→{a，b}，且 a＝2k，b＝k （k＞0），
∴可以假设直线 PQ的解析式为 y＝ x+b，（点 P、点 Q的横坐标的差的绝对值是纵坐标
差的绝对值的两倍，点 P不可能在直线 AB上，所以直线线 PQ的解析式为 y＝ x+b）
①当直线 PQ与⊙O相切，切点为 P时，在 Rt△PCO中，OP＝ ，tan∠PCO＝tan∠
ABO＝ ，
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∴PC＝2 ，
∴CO＝ ＝ ＝5，
∴C（﹣5，0），
∴直线 PQ的解析式为 y＝ x+ ，
由 ，解得 ，即 Q（2， ），
②当直线 P′Q′与⊙O相切，切点为 P′时，同理可得直线 P′Q′的解析式为 y＝ x
﹣ ，
由 ，解得 ，即 Q′（7，1）
∴满足条件的点 Q的横坐标 m的范围是 2≤m≤7．
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第一部分 案例分析
1．【最值问题】对某一个函数给出如下定义：若存在实数 M＞0，对于任意的函数值 y，都
满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的 M中，其最小值称为这
个函数的边界值，例如，如下图中的函数，它的最大值是 ，最小值是﹣1，它也是有界
函数，其边界值是 1．
（1）分别判断函数 和 y＝x+1（x＞0）是不是有界函数？若是有界函数，
求其边界值；
（2）若函数 y＝﹣2x﹣1（a≤x≤b，a＜b）的边界值是 3，且这个函数的最大值也是 3，
求 a的值及 b的取值范围．
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2．【直线与抛物线点交点问题】对于某一函数给出如下定义：若存在实数 p，当其自变量的
值为 p时，其函数值等于 p，则称 p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的
最大不变值与最小不变值之差 q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值
时，其不变长度 q为零．例如，下图中的函数有 0、1两个不变值，其不变长度 q等于 1．
（1）分别判断函数 y＝x+1，y＝ ，y＝x2﹣2有没有不变值？如果有，直接写出其不变
长度；
（2）函数 y＝2x2﹣bx
①若其不变长度为零，求 b的值；
②若 1≤b≤3，求其不变长度 q的取值范围；
（3）记函数 y＝x2﹣2x（x≥m）的图象为 G1，将 G1沿 x＝m翻折后得到的函数图象记为
G2，函数 G的图象由 G1和 G2两部分组成，若其不变长度 q满足 0≤q≤3，则 m的取值
范围为多少？
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3．【“关联抛物线”】如图 1，若抛物线 L1的顶点 A在抛物线 L2上，抛物线 L2的顶点 B也
在抛物线 L1上（点 A与点 B不重合），我们把这样的两抛物线 L1、L2互称为“友好”抛
物线．
（1）一条抛物线的“友好”抛物线有 条．
A.1 B.2 C.3 D．无数
（2）如图 2，已知抛物线 L3：y＝2x2﹣8x+4与 y轴交于点 C，点 C关于该抛物线对称轴
的对称点为 D，请求出以点 D为顶点的 L3的“友好”抛物线 L4的表达式；
（3）若抛物线 y＝a1（x﹣m）2+n的“友好”抛物线的解析式为 y＝a2（x﹣h）2+k，请
直接写出 a1与 a2的关系式为 ．
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4．【函数与几何综合问题】如果一条抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x轴有两个交点，那么
以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是 三角形；
（2）若抛物线抛物线 m：y＝a（x﹣2）2+b（ab＜0）的“抛物线三角形”是直角三角形，
请求出 a，b满足的关系式；
（3）如图，△OAB是抛物线 n：y＝﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在
以原点 O为对称中心的矩形 ABCD？若存在，求出过 O、C、D三点的抛物线的表达式；
若不存在，说明理由．
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5．【函数变换问题】在平面直角坐标系 xOy中，对于点 P（x，y）和 Q（x，y′），给出如
下定义：
如果 y′＝ ，那么称点 Q为点 P的“关联点”．
例如：点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（﹣5，6）的“关联点”
为点（﹣5，﹣6）．
（1）①点（2，1）的“关联点”为 ；②如果点 A（3，﹣1），B（﹣1，3）的“关
联点”中有一个在函数 的图象上，那么这个点是 （填“点 A”或“点 B”）．
（2）①如果点 M*（﹣1，﹣2）是一次函数 y＝x+3图象上点 M的“关联点”，
那么点 M的坐标为 ；②如果点 N*（m+1，2）是一次函数 y＝x+3图象上点 N的
“关联点”，求点 N的坐标．
（3）如果点 P在函数 y＝﹣x2+4（﹣2＜x≤a）的图象上，其“关联点”Q的纵坐标 y′
的取值范围是﹣4＜y′≤4，那么实数 a的取值是 ．
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第二部分 专项训练
专题训练 1:最值问题
1．设 p，q都是实数，且 p＜q．我们规定：满足不等式 p≤x≤q的实数 x的所有取值的全
体叫做闭区间，表示为[p，q]．对于一个函数，如果它的自变量 x与函数值 y满足：当 p
≤x≤q时，有 p≤y≤q，我们就称此函数是闭区间[p，q]上的“闭函数”．
（1）反比例函数 y＝ 是闭区间[1，2016]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数 y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此一次函数的解析
式．
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2．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数 M，对于任意的函数值 y，都满足 y≤M，那
么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的 M中，其最小值称为这个函数的上确界．
例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是 2．
（1）分别判断函数 y＝﹣ （x＜0）和 y＝2x﹣3（x＜2）是不是有上界函数？如果是有
上界函数，求其上确界；
（2）如果函数 y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上确界是 b，且这个函数的最小值不超过
2a+1，求 a的取值范围；
（3）如果函数 y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以 3为上确界的有上界函数，求实数 a的值．
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3．我们常常用符号 f（x）表示 x的函数，例如函数 f（x）＝x2﹣2x+1，则 f（3）＝32﹣2x+1
＝4．
对于函数 f（x），若存在 a，b，f（x）满足以下条件：
①当 a＜x＜x0时，随着 x的增大，函数值 f（x）增大；
②当 x0＜x＜b时，随着 x的增大，函数值 f（x）减小，则称 f（x0）为 f（x）的一个峰值．
（1）判断函数 f（x）＝x+1是否具有峰值；
（2）求函数 f（x）＝x2+4x+1的峰值；
（3）已知 m为非零实数，当 x≤m时，函数 y＝m（x﹣1）2+2m2的图象记为 T1：当 x＞
m时，函数 y＝（m2﹣1）x+2m的图象记为 T2：图象 T1，T2组成图象 T．图象 T所对应
的函数记为 f（x），若 f（x）存在峰值，求实数 m的取值范围．
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4．在平面直角坐标系中，如果点 P的横坐标和纵坐标相等，则称点 P为和谐点．例如点（1，
1），（﹣ ，﹣ ），（﹣ ，﹣ ），…，都是和谐点．
（1）分别判断函数 y＝﹣2x+1和 y＝x2+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和
谐点的坐标；
（2）若二次函数 y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（ ， ），且当 0
≤x≤m时，函数 y＝ax2+4x+c﹣ （a≠0）的最小值为﹣3，最大值为 1，求 m的取值范
围．
（3）直线 l：y＝kx+2 经过和谐点 P，与 x轴交于点 D，与反比例函数 G：y＝ 的图象
交于 M，N两点（点 M在点 N的左侧），若点 P的横坐标为 1，且 DM+DN＜3 ，请直
接写出 n的取值范围．
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5．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于 x的二次函数 y1＝2x2﹣4mx+2m2+1和 y2＝ax2+bx+5，其中 y1的图象经过
点 A（1，1），若 y1+y2与 y1为“同簇二次函数”，求函数 y2的表达式，并求出当 0≤x≤3
时，y2的最大值．
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专题训练 2:直线与抛物线的交点
1．如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为 M，直线 y＝m
与 x轴平行，且与抛物线交于点 A和点 B，如果△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物
线上 A、B两点之间部分与线段 AB围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点 M称为碟
顶，线段 AB的长称为碟宽．
（1）抛物线 的碟宽为 ，抛物线 y＝ax2（a＞0）的碟宽为 ．
（2）如果抛物线 y＝a（x﹣1）2﹣6a（a＞0）的碟宽为 6，那么 a＝ ．
（3）将抛物线 yn＝anx2+bnx+cn（an＞0）的准蝶形记为 Fn（n＝1，2，3，…），我们定义
F1，F2，…，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．如果 Fn与 Fn﹣1的相似比
为 ，且 Fn的碟顶是 Fn﹣1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为 y1，其对应
的准蝶形记为 F1．
①求抛物线 y2的表达式；
②请判断 F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是否在一条直线上？如果是，直接写出该直线
的表达式；如果不是，说明理由．
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2．在平面直角坐标系 xOy中，定义直线 y＝ax+b为抛物线 y＝ax2+bx的特征直线，C（a，b）
为其特征点．设抛物线 y＝ax2+bx与其特征直线交于 A、B两点（点 A在点 B的左侧）．
（1）当点 A的坐标为（0，0），点 B的坐标为（1，3）时，特征点 C的坐标为 ；
（2）若抛物线 y＝ax2+bx如图所示，请在所给图中标出点 A、点 B的位置；
（3）设抛物线 y＝ax2+bx的对称轴与 x轴交于点 D，其特征直线交 y轴于点 E，点 F的
坐标为（1，0），DE∥CF．
①若特征点 C为直线 y＝﹣4x上一点，求点 D及点 C的坐标；
②若 ＜tan∠ODE＜2，则 b的取值范围是 ．
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3．定义：在平面直角坐标系中，图形 G上点 P（x，y）的纵坐标 y与其横坐标 x的差 y﹣x
称为 P点的“坐标差”，而图形 G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形 G的“特
征值”．
（1）①点 A（1，3）的“坐标差”为 ；
②抛物线 y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为 ；
（2）某二次函数 y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点 B（m，0）与点 C分别
是此二次函数的图象与 x轴和 y轴的交点，且点 B与点 C的“坐标差”相等．
①直接写出 m＝ ；（用含 c的式子表示）
②求此二次函数的表达式．
（3）如图，在平面直角坐标系 xOy中，以 M（2，3）为圆心，2为半径的圆与直线 y＝x
相交于点 D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为 ．
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4．若抛物线 L：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且 abc≠0）与直线 l都经过 y轴上的同一点，
且抛物线的顶点在直线 l上，则称抛物线 L与直线 l具有“一带一路”关系，并且将直线
1叫做抛物线 L的“路线”，抛物线 L叫做直线 l的“带线”
（1）若“路线”l的表达式为 y＝2x﹣4，它的“带线”L的顶点的横坐标为﹣1，求“带
线”L的表达式；
（2）如果抛物线 y＝2x2﹣4x+1与直线 y＝nx+1具有“一带一路”关系，如图，设抛物线
与 x轴的一个交点为 A，与 y轴交于点 B，其顶点为 C．
①求△ABC的面积；
②在 y轴上是否存在一点 P，使 S△PBC＝ S△ABC，若存在，直接写出点 P的坐标，若不
存在，请说明理由．
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5．如图①，直线 L：y＝mx+n（m＜0，n＞0）与 x，y轴分别相交于 A，B两点，将△AOB
绕点 O逆时针旋转 90°，得到△COD，过点 A，B，D的抛物线 P叫做 L的关联抛物线，
而 L叫做 P的关联直线．
（1）若 L：y＝﹣x+2，则 P表示的函数解析式为 ；
若 P： ，则 L表示的函数解析式为 ．
（2）如图②，若 L：y＝﹣3x+3，P的对称轴与 CD相交于点 E，点 F在 L上，点 Q在 P
的对称轴上．当以点 C，E，Q，F为顶点的四边形是以 CE为一边的平行四边形时，求
点 Q的坐标；
（3）如图③，若 L：y＝mx+1，G为 AB中点，H为 CD中点，连接 GH，M为 GH中点，
连 接 OM ． 若 OM ＝ ， 求 出 L ， P 表 示 的 函 数 解 析 式 ．
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专项训练 3:“关联抛物线”
1．在平面直角坐标系 xOy中，给出如下定义：形如 y＝a（x﹣m）2+a（x﹣m）与 y＝a（x
﹣m）2﹣a（x﹣m）的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”．
（1）试写出一对兄弟抛物线的解析式 与 ；
（2）判断二次函数 y＝x2﹣x与 y＝x2﹣3x+2的图象是否为兄弟抛物线？如果是，求出 a
与 m的值；如果不是，请说明理由；
（3）若一对兄弟抛物线各自与 x轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，其中一个抛物
线的对称轴为直线 x＝2且开口向上，请直接写出这对兄弟抛物线的解析式．
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2．我们给出如下定义：在平面直角坐标系 xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经
过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．如图，抛物线 F2都是
抛物线 F1的过顶抛物线，设 F1的顶点为 A，F2的对称轴分别交 F1、F2于点 D、B，点 C
是点 A关于直线 BD的对称点
（1）如图 1，如果抛物线 y＝x2的过顶抛物线为 y＝ax2+bx，C（2，0），那么
①a＝ ，b＝ ．
②如果顺次连接 A、B、C、D四点，那么四边形 ABCD为
A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形
（2）如图 2，抛物线 y＝ax2+c的过顶抛物线为 F2，B（2，c﹣1）．求四边形 ABCD的面
积．
（3）如果抛物线 y＝ 的过顶抛物线是 F2，四边形 ABCD的面积为 2 ，
请直接写出点 B的坐标．
2020 年中考数学新定义二次函数
3．定义：我们把二次函数 y＝ax2+bx+c和 y＝﹣ax2+bx﹣c这两个二次函数称为一对友好函
数，并称函数 y＝ax2+bx+c是函数 y＝﹣ax2+bx﹣c的友好函数．函数 y＝﹣ax2+bx﹣c也
是函数 y＝ax2+bx+c的友好函数．
（1）请你写出一对友好函数；
（2）若函数 y＝2x2+bx+c与它的友好函数的图象的顶点重合，求 b和 c的值；
（3）如图，若函数 y＝﹣x2+bx+c的图象的顶点 P是抛物线 y＝ 第一象限上的
一个动点，且与 x轴交于点 A（x1，0）和点 B（x2，0），且 x1＜x2，并且它的友好函数的
图象与 x轴交于点 C（x3，0）和点 D（x4，0），且 x3＜x4若点 D和点 A是线段 CB的三
等分点，求 b和 c的值．
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4．在平面直角坐标系 xOy中，把抛物线 C1：y＝x2﹣4沿 x轴向右平移 m（m＞0）个单位长
度，得抛物线 C2，C1和 C2的交点为点 M（如图 1）
（1）用含 m的式子来表示抛物线 C2的解析式和点 M的坐标；
（2）定义：像 C1和 C2两条抛物线，是把其中一条沿水平方向向左（像向右）平移得到
另一条．若两抛物线的顶点 P、Q以及交点 M满足∠PMQ＝90°，则这样的两条抛物线
互为“和谐线”．
①求抛物线 C1：y＝x2﹣4的和谐线；
②如图 2，抛物线 C1：y＝x2﹣4与 x轴正半轴的交点为 A，与它的和谐线的交点为 M（点
M在第四象限），连接 MA，过点 M作 MH⊥x轴，在 x轴上存在一点 N，使∠ONM+∠
AMH＝45°，求点 N的坐标
2020 年中考数学新定义二次函数
5．如果抛物线的顶点 C1在抛物线 C2上，同时，抛物线 C2的顶点在抛物线 C1上，那么我
们称抛物线 C1与 C2互相关联．
（1）已知抛物线①y＝x2+2x﹣1，则抛物线②y＝﹣x2+2x+1；③y＝x2+2x+1已知抛物线
①互相关联的有 （填序号即可）．
（2）如图所示的是抛物线 C1：y＝ （x+1）2﹣2，将抛物线 C1绕点 P（t，2）旋转 180°
得到抛物线 C2，若抛物线 C1与 C2关联．
①求抛物线 C2的解析式．
②当 t＜0时，若点 A为抛物线 C1的顶点，点 B为抛物线 C2的顶点，在 y轴上是否存在
点 C，使△ABC是以 AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点 C的坐标；若不存在，
请说明理由．
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专项训练 4:函数与几何综合
1．已知点 A、B分别是 x轴、y轴上的动点，点 C、D是某个函数图象上的点，当四边形
ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正
方形．例如：如图，正方形 ABCD是一次函数 y＝x+1图象的其中一个伴侣正方形．
（1）若某函数是一次函数 y＝x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；
（2）若某函数是反比例函数 ，它的图象的伴侣正方形为 ABCD，点 D（2，
m）（m＜2）在反比例函数图象上，求 m的值及反比例函数解析式．
2020 年中考数学新定义二次函数
2．在平面直角坐标系 xOy中，对于任意三点 A，B，C，给出如下定义：
若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且 A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，
则称该矩形为点 A，B，C的外延矩形．点 A，B，C的所有外延矩形中，面积最小的矩
形称为点 A，B，C的最佳外延矩形．例如，图 1中的矩形 A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3CD3
都是点 A，B，C的外延矩形，矩形 A3B3CD3是点 A，B，C的最佳外延矩形．
（1）如图 1，已知 A（﹣2，0），B（4，3），C（0，t）．
①若 t＝2，则点 A，B，C的最佳外延矩形的面积为 ；
②若点 A，B，C的最佳外延矩形的面积为 24，则 t的值为 ；
（2）如图 2，已知点 M（6，0），N（0，8）．P（x，y）是抛物线 y＝﹣x2+4x+5上一点，
求点 M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点 P的横坐标 x的取值范围；
（3）如图 3，已知点 D（1，1）．E（m，n）是函数 y＝ （x＞0）的图象上一点，矩形
OFEG是点 O，D，E的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H是矩形 OFEG的外接圆，请
直接写出⊙H的半径 r的取值范围．
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专项训练 5:函数变换
1．在平面直角坐标系 xOy中，对于点 P（a，b）和点 Q（a，b'），给出如下定义：
若 b'＝ ，则称点 Q为点 P的限变点，例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，
3），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5）．
（1）①点（ ，1）的限变点的坐标是 ；
②在点 A（﹣1，﹣2），B（﹣1，2）中有一个点是函数 y＝2x图象上某一个点的限变点，
这个点是 ；
（2）若点 P在函数 y＝﹣x+3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其限变点 Q的纵坐标 b'
的取值范围是﹣5≤b'≤2，求 k的取值范围．
（3）若点 P在关于 x的二次函数 y＝x2﹣2tx+t2+t的图象上，其限变点 Q的纵坐标 b'的取
值范围是 b'≥m或 b'＜n，其中 m＞n，令 s＝m﹣n，求 s关于 t的函数解析式及 s的取值
范围．
2020 年中考数学新定义二次函数
2．在平面直角坐标系 xOy中，点 P的坐标为（a，b），点 P的变换点 P'的坐标定义如下：
当 a＞b时，点 P'的坐标为（﹣a，b）；当 a≤b时，点 P'的坐标为（﹣b，a）．
（1）点 A（3，1）的变换点 A'的坐标是 ；点 B（﹣4，2）的变换点为 B'，连接
OB，OB'，则∠BOB'＝ °；
（2）已知抛物线 y＝﹣（x+2）2+m与 x轴交于点 C，D（点 C在点 D的左侧），顶点为
E．点 P在抛物线 y＝﹣（x+2）2+m上，点 P的变换点为 P'．若点 P'恰好在抛物线的对
称轴上，且四边形 ECP'D是菱形，求 m的值；
（3）若点 F是函数 y＝﹣2x﹣6（﹣4≤x≤﹣2）图象上的一点，点 F的变换点为 F'，连
接 FF'，以 FF'为直径作⊙M，⊙M的半径为 r，请直接写出 r的取值范围．
2020 年中考数学新定义二次函数
3．对某一个函数给出如下定义：若存在实数 k，对于函数图象上横坐标之差为 1 的任意两
点（a，b1），（a+1，b2），b2﹣b1≥k都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件
的 k中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数 y＝﹣x+2，当 x取值 a和 a+1
时，函数值分别为 b1＝﹣a+2，b2＝﹣a+1，故 b2﹣b1＝﹣1≥k，因此函数 y＝﹣x+2是限
减函数，它的限减系数为﹣1．
（1）写出函数 y＝2x﹣1的限减系数；
（2）m＞0，已知 （﹣1≤x≤m，x≠0）是限减函数，且限减系数 k＝4，求 m的取
值范围．
（3）已知函数 y＝﹣x2的图象上一点 P，过点 P作直线 l垂直于 y轴，将函数 y＝﹣x2
的图象在点 P右侧的部分关于直线 l翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，
如果这个新函数是限减函数，且限减系数 k≥﹣1，直接写出 P点横坐标 n的取值范围．
2020 年中考数学新定义二次函数
4．对于平面直角坐标系 xOy中的点 P（m，n），定义一种变换：作点 P（m，n）关于 y轴
对称的点 P′，再将 P′向左平移 k（k＞0）个单位得到点 Pk′，Pk′叫做对点 P（m，n）
的 k阶“? ”变换．
（1）求 P（3，2）的 3阶“? ”变换后 P3′的坐标；
（2）若直线 y＝3x﹣3与 x轴，y轴分别交于 A，B两点，点 A的 2阶“? ”变换后得到
点 C，求过 A，B，C三点的抛物线 M的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线 M的对称轴与 x轴交于 D，若在抛物线 M对称轴上存在
一点 E，使得以 E，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，求点 E的坐标．
2020 年中考数学新定义二次函数
5．在平面直角坐标系 xOy中，若点 P和点 P1关于 y轴对称，点 P1和点 P2关于直线 l对称，
则称点 P2是点 P关于 y轴，直线 l的二次对称点．
（1）如图 1，点 A（﹣1，0）．
①若点 B是点 A关于 y轴，直线 l1：x＝2的二次对称点，则点 B的坐标为 ；
②若点 C（﹣5，0）是点 A关于 y轴，直线 l2：x＝a的二次对称点，则 a的值为 ；
③若点 D（2，1）是点 A关于 y轴，直线 l3的二次对称点，则直线 l3的表达式为 ；
（2）如图 2，⊙O的半径为 1．若⊙O上存在点 M，使得点 M'是点 M关于 y轴，直线 l4：
x＝b的二次对称点，且点 M'在射线 y＝ x（x≥0）上，b的取值范围是 ；
（3）E（t，0）是 x轴上的动点，⊙E的半径为 2，若⊙E上存在点 N，使得点 N'是点 N
关于 y轴，直线 l5：y＝ x+1的二次对称点，且点 N'在 y轴上，求 t的取值范围．
2020 年中考数学新定义二次函数
6．在平面直角坐标系 xOy中，点 P的坐标为（x1，y1），点 Q的坐标为（x2，y2），若 a＝|x1
﹣x2|，b＝|y1﹣y2|，则记作（P，Q）→{a，b}．
（1）已知（P，Q）→{a，b}，且点 P（1，1），点 Q（4，3），求 a，b的值；
（2）点 P（0，﹣1），a＝2，b＝1，且（P，Q）→{a，b}，求符合条件的点 Q的坐标；
（3）⊙O的半径为 ，点 P在⊙O上，点 Q（m，n）在直线 y＝﹣ x+ 上，若（P，
Q）→{a，b}，且 a＝2k，b＝k （k＞0），求 m的取值范围．
