2020 中考数学新定义（一次函数与反比例函数）
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第一部分 案例分析
【案例 1】一次函数问题
在平面直角坐标系 xOy中，点 P的坐标为（x1，y1），点 Q的坐标为（x2，y2），且 x1≠x2，
y1≠y2．若 P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩
形为点 P，Q的“相关矩形”，下图①为点 P，Q的“相关矩形”的示意图．
已知点 A的坐标为（1，0），
（1）若点 B的坐标为（3，1），求点 A，B的“相关矩形”的面积；
（2）点 C在直线 x＝3上，若点 A，C的“相关矩形”为正方形，求直线 AC的表达式；
（3）若点 D的坐标为（4，2），将直线 y＝2x+b平移，当它与点 A，D的“相关矩形”
没有公共点时，求出 b的取值范围．
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【案例 2】反比例函数问题
如图，定义：若双曲线 y＝ （k＞0）与它的其中一条对称轴 y＝x相交于 A、B两点，则线
段 AB的长度为双曲线 y＝ （k＞0）的对径．
（1）求双曲线 y＝ 的对径．
（2）仿照上述定义，定义双曲线 y＝ （k＜0）的对径，并直接写出 y＝﹣ 的对径．
（3）若双曲线 y＝ 的对径是 10 ，求 k的值．
【案例 3】一次函数与反比例函数综合问题
定义运算 max{a，b}：当 a≥b时，max{a，b}＝a；当 a＜b时，max{a，b}＝b．如 max{﹣3，
2}＝2．
（1）max{ ，3}＝ 3 ；
（2）已知 y1＝ 和 y2＝k2x+b在同一坐标系中的图象如图所示，若 max{ ，k2x+b}
＝ ，结合图象，直接写出 x的取值范围；
（3）用分类讨论的方法，求 max{2x+1，x﹣2}的值．
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第二部分 专项训练
专项训练 1:一次函数问题
一．选择题（共 2 小题）
1．定义：点 A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足 x＝y，则把点 A叫做“平衡点”，
例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”，当﹣1≤x≤3时，直线 y＝2x+m上有
“平衡点”，则 m的取值范围是（ ）
A．0≤m≤1 B．﹣1≤m≤0 C．﹣3≤m≤3 D．﹣3≤m≤1
2．对于实数 a，b，我们定义符号 max{a，b}的意义为：当 a≥b时，max{a，b}＝a；当 a
＜b时，max{a，b}＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于 x的函数为 y＝
max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共 1 小题）
3．我们规定：当 k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数 y＝kx+b与 y＝bx+k互为交
换函数．例如：y＝4x+3的交换函数为 y＝3x+4．一次函数 y＝kx+2与它的交换函数图象
的交点横坐标为 ．
三．解答题（共 9 小题）
4．如果两个一次函数 y＝k1x+b1和 y＝k2x+b2满足 k1＝k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数
为“平行一次函数”．
已知函数 y＝﹣2x+4 的图象与 x轴、y轴分别交于 A、B两点，一次函数 y＝kx+b与 y＝
﹣2x+4是“平行一次函数”
（1）若函数 y＝kx+b的图象过点（3，1），求 b的值；
（2）若函数 y＝kx+b的图象与两坐标轴围成的面积是△AOB面积的 ，求 y＝kx+b的解
析式．
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5．定义：对于给定的两个函数，任取自变量 x的一个值，当 x＜0时，它们对应的函数值互
为相反数；当 x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例
如：一次函数 y＝x﹣1，它们的相关函数为 y＝ ．
（1）已知点 A（﹣5，8）在一次函数 y＝ax﹣3的相关函数的图象上，求 a的值；
（2）已知二次函数 y＝﹣x2+4x﹣ ．
①当点 B（m， ）在这个函数的相关函数的图象上时，求 m的值；
②当﹣3≤x≤3时，求函数 y＝﹣x2+4x﹣ 的相关函数的最大值和最小值．
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6．当 m，n是正实数，且满足 m+n＝mn时，就称点 P（m， ）为“完美点”，已知点 A（0，
5）与点 M都在直线 y＝﹣x+b上，点 B，C是“完美点”，且点 B在线段 AM上，若 MC
＝ ，AM＝4 ，求△MBC的面积．
7．对于平面直角坐标系中的任意两点 P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫
做 P1、P2两点间的直角距离，记作 d（P1，P2）．
（1）已知 P1（1，﹣2），P2（﹣3，4），求 d（P1，P2）；
（2）已知 O为坐标原点，动点 P（x，y）满足 d（O，P）＝1，请写出 x与 y之间满足
的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点 P所组成的图形；
（3）设 P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线 y＝ax+b上的动点，我们把 d（P0，Q）
的最小值叫做 P0到直线 y＝ax+b的直角距离，试求点 M（2，1）到直线 y＝x+2 的直角
距离．
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8．我们给出如下定义：如图 1，平面内两直线 l1、l2相交于点 O，对于平面内的任意一点 M，
若 p、q分别是点 M到直线 l1和 l2的距离（p≥0，q≥0），我们称有序非负实数对[p，q]
是点 M的距离坐标．
根据上述定义请解答下列问题：
如图 2，平面直角坐标系 xOy中，直线 l1的解析式为 y＝x，直线 l2的解析式为 y＝ x，
M是平面直角坐标系内的点，
（1）若 p＝q＝0，求距离坐标为[0，0]时，点 M的坐标；
（2）若 q＝0，且 p+q＝m（m＞0），利用图 2，求距离坐标为[p，q]时，点 M的坐标；
（3）若 p＝1，q＝1，则坐标平面内距离坐标为[p，q]的时候，点 M可以有几个位置？在
图 3中画出所有符合条件的点 M（简要说明画法）．
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9．设关于 x的一次函数 y＝a1x+b1与 y＝a2x+b2，则称函数 y＝m（a1x+b1）+n（a2x+b2）（其
中 m+n＝1）为此两个函数的生成函数．
（1）当 x＝1时，求函数 y＝x+1与 y＝2x的生成函数的值；
（2）若函数 y＝a1x+b1与 y＝a2x+b2的图象的交点为 P，判断点 P是否在此两个函数的生
成函数的图象上，并说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，3）、B（6，3），连结 AB．如果点 P在直线
y＝x+1上，且点 P到直线 AB的距离大于或等于 1，那么称点 P是线段 AB的“疏远点”．
（1）判断点 C（ ， ）是否是线段 AB的“疏远点”，并说明理由；
（2）若点 Q（m，n）是线段 AB的“疏远点”，求 m的取值范围．
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11．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形叫做此一次函数的坐标三
角形．例如，图中的一次函数的图象与 x，y轴分别交于点 A，B，则△OAB为此函数的
坐标三角形．
（1）求函数 y＝ x+3的坐标三角形的三条边长；
（2）若函数 y＝ x+b（b为常数）的坐标三角形周长为 16，求函数关系式．
12．对于平面直角坐标系 xOy中的点 P和线段 AB，其中 A（t，0）、B（t+2，0）两点，给
出如下定义：若在线段 AB上存在一点 Q，使得 P，Q两点间的距离小于或等于 1，则称
P为线段 AB的伴随点．
（1）当 t＝﹣3时，
①在点 P1（1，1），P2（0，0），P3（﹣2，﹣1）中，线段 AB的伴随点是 ；
②在直线 y＝2x+b上存在线段 AB的伴随点 M、N，且 MN＝ ，求 b的取值范围；
（2）线段 AB的中点关于点（2，0）的对称点是 C，将射线 CO以点 C为中心，顺时针
旋转 30°得到射线 l，若射线 l上存在线段 AB的伴随点，直接写出 t的取值范围．
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专项训练 2:反比例函数问题
一．解答题（共 2 小题）
1．在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到
的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．
（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？
（2）M、N是一对“互换点”，若点 M的坐标为（m，n），求直线 MN的表达式（用含 m、
n的代数式表示）；
（3）在抛物线 y＝x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点 A在反比例函数 y
＝﹣ 的图象上，直线 AB经过点 P（ ， ），求此抛物线的表达式．
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2．定义：点 P为△ABC内部或边上的点，若满足△PAB、△PBC、△PAC至少有一个三角
形与△ABC相似（点 P不与△ABC顶点重合），则称点 P为△ABC的自相似点．
例如：如图 1，点 P在△ABC的内部，∠PBC＝∠A，∠PCB＝∠ABC，则△BCP∽△ABC，
故点 P为△ABC的自相似点．
在平面直角坐标系 xOy中，
（1）点 A坐标为（2，2 ），AB⊥x轴于 B点，在 E（2，1），F（ ， ），G（ ，
）这三个点中，其中是△AOB自相似点的是 （填字母）；
（2）若点 M是曲线 C：y＝ （k＞0，x＞0）上的一个动点，N为 x轴正半轴上一个动
点；
①如图 2，k＝3 ，M点横坐标为 3，且 NM＝NO，若点 P是△MON的自相似点，求
点 P的坐标；
②若 k＝1，点 N为（2，0），且△MON的自相似点有 2个，则曲线 C上满足这样条件的
点 M共有 个，请在图 3中画出这些点（保留必要的画图痕迹）．
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专项训练 3:一次函数与反比例函数综合问题
一．填空题（共 1 小题）
1．在平面直角坐标系 xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点 P（x，y），我们把点 P′（ ，
）称为点 P的“倒影点”，直线 y＝﹣x+1上有两点 A，B，它们的倒影点 A′，B′均
在反比例函数 y＝ 的图象上．若 AB＝2 ，则 k＝ ．
二．解答题（共 2 小题）
2．在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的 2倍的点称之为“理想点”，例如点
（﹣2，﹣4），（1，2），（3，6）…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有无数多个．
（1）若点 M（2，a）是反比例函数 y＝ （k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，求这
个反比例函数的表达式；
（2）函数 y＝3mx﹣1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”吗？若存在，请求出
“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由．
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3．在平面直角坐标系 xOy中，对于任意三点 A，B，C，给出如下定义：
如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且 A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，
则称该矩形为点 A，B，C的覆盖矩形．点 A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩
形称为点 A，B，C的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形 A1B1C1D1，A2B2C2D2，AB3C3D3
都是点 A，B，C的覆盖矩形，其中矩形 AB3C3D3是点 A，B，C的最优覆盖矩形．
（1）已知 A（﹣2，3），B（5，0），C（t，﹣2）．
①当 t＝2时，点 A，B，C的最优覆盖矩形的面积为 ；
②若点 A，B，C的最优覆盖矩形的面积为 40，求直线 AC的表达式；
（2）已知点 D（1，1）．E（m，n）是函数 y＝ （x＞0）的图象上一点，⊙P是点 O，
D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P的半径 r的取值范围．
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第一部分 案例分析
【案例 1】一次函数问题
在平面直角坐标系 xOy中，点 P的坐标为（x1，y1），点 Q的坐标为（x2，y2），且 x1≠x2，
y1≠y2．若 P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩
形为点 P，Q的“相关矩形”，下图①为点 P，Q的“相关矩形”的示意图．
已知点 A的坐标为（1，0），
（1）若点 B的坐标为（3，1），求点 A，B的“相关矩形”的面积；
（2）点 C在直线 x＝3上，若点 A，C的“相关矩形”为正方形，求直线 AC的表达式；
（3）若点 D的坐标为（4，2），将直线 y＝2x+b平移，当它与点 A，D的“相关矩形”
没有公共点时，求出 b的取值范围．
【解答】解：（1）∵A（1，0），B（3，1）
由定义可知：点 A，B的“相关矩形”的底与高分别为 2和 1，
∴点 A，B的“相关矩形”的面积为 2×1＝2；
（2）由定义可知：AC是点 A，C的“相关矩形”的对角线，
又∵点 A，C的“相关矩形”为正方形
∴直线 AC与 x轴的夹角为 45°，
设直线 AC的解析为：y＝x+m或 y＝﹣x+n
把（1，0）分别 y＝x+m，
∴m＝﹣1，
∴直线 AC的解析为：y＝x﹣1，
把（1，0）代入 y＝﹣x+n，
∴n＝1，
∴y＝﹣x+1，
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综上所述，若点 A，C的“相关矩形”为正方形，直线 AC的表达式为 y＝x﹣1或 y＝﹣
x+1；
（3）把 A（1，0），D（4，2）分别代入 y＝2x+b±2，
得出 b＝0，或 b＝﹣8，
∴b＞0或 b＜﹣8
【案例 2】反比例函数问题
如图，定义：若双曲线 y＝ （k＞0）与它的其中一条对称轴 y＝x相交于 A、B两点，则线
段 AB的长度为双曲线 y＝ （k＞0）的对径．
（1）求双曲线 y＝ 的对径．
（2）仿照上述定义，定义双曲线 y＝ （k＜0）的对径，并直接写出 y＝﹣ 的对径．
（3）若双曲线 y＝ 的对径是 10 ，求 k的值．
【解答】解：过 A点作 AC⊥x轴于 C，如图，
（1）解方程组 ，得 或 ，
∴A点坐标为（1，1），B点坐标为（﹣1，﹣1），
∴OC＝AC＝1，
∴OA＝ OC＝ ，
∴AB＝2OA＝2 ，
∴双曲线 y＝ 的对径是 2 ；
（2）若双曲线 y＝ （k＜0）与它的其中一条对称轴 y＝﹣x相交于 A、B两点，
则线段 AB的长度为双曲线 y＝ （k＜0）的对径．
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同（1）的方法得出，y＝﹣ 的对径为 2 ．
（3）∵双曲线 y＝ 的对径为 10 ，即 AB＝10 ，OA＝5 ，
∴OA＝ OC＝ AC，
∴OC＝AC＝5，
∴点 A坐标为（5，5），或点 A坐标为（﹣5，5）
把 A（5，5）代入双曲线 y＝ （k＞0）得 k＝5×5＝25，即 k的值为 25；
把 A（﹣5，5）代入双曲线 y＝ （k＜0）得 k＝﹣5×5＝﹣25，即 k的值为﹣25；
即 k的值为 25或﹣25．
【案例 3】一次函数与反比例函数综合问题
定义运算 max{a，b}：当 a≥b时，max{a，b}＝a；当 a＜b时，max{a，b}＝b．如 max{﹣3，
2}＝2．
（1）max{ ，3}＝ 3 ；
（2）已知 y1＝ 和 y2＝k2x+b在同一坐标系中的图象如图所示，若 max{ ，k2x+b}
＝ ，结合图象，直接写出 x的取值范围；
（3）用分类讨论的方法，求 max{2x+1，x﹣2}的值．
【解答】解：（1）max{ ，3}＝3．
故答案为：3；
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（2）∵max{ ，k2x+b}＝ ，
∴ ≥k2x+b，
∴从图象可知：x的取值范围为﹣3≤x＜0或 x≥2；
（3）当 2x+1≥x﹣2时，max{2x+1，x﹣2}＝2x+1，
当 2x+1＜x﹣2时，max{2x+1，x﹣2}＝x﹣2．
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第二部分 专项训练
专项训练 1:一次函数问题
一．选择题（共 2 小题）
1．定义：点 A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足 x＝y，则把点 A叫做“平衡点”，
例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”，当﹣1≤x≤3时，直线 y＝2x+m上有
“平衡点”，则 m的取值范围是（ ）
A．0≤m≤1 B．﹣1≤m≤0 C．﹣3≤m≤3 D．﹣3≤m≤1
【解答】解：∵x＝y，
∴x＝2x+m，即 x＝﹣m．
∵﹣1≤x≤3，
∴﹣1≤﹣m≤3，
∴﹣3≤m≤1．
故选：D．
2．对于实数 a，b，我们定义符号 max{a，b}的意义为：当 a≥b时，max{a，b}＝a；当 a
＜b时，max{a，b}＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于 x的函数为 y＝
max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【解答】解：当 x+3≥﹣x+1，
即：x≥﹣1时，y＝x+3，
∴当 x＝﹣1时，ymin＝2，
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当 x+3＜﹣x+1，
即：x＜﹣1时，y＝﹣x+1，
∵x＜﹣1，
∴﹣x＞1，
∴﹣x+1＞2，
∴y＞2，
∴ymin＝2，
故选：B．
二．填空题（共 1 小题）
3．我们规定：当 k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数 y＝kx+b与 y＝bx+k互为交
换函数．例如：y＝4x+3的交换函数为 y＝3x+4．一次函数 y＝kx+2与它的交换函数图象
的交点横坐标为 1 ．
【解答】解：由题意可得，
，
解得， ，
故答案为：1．
三．解答题（共 9 小题）
4．如果两个一次函数 y＝k1x+b1和 y＝k2x+b2满足 k1＝k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数
为“平行一次函数”．
已知函数 y＝﹣2x+4 的图象与 x轴、y轴分别交于 A、B两点，一次函数 y＝kx+b与 y＝
﹣2x+4是“平行一次函数”
（1）若函数 y＝kx+b的图象过点（3，1），求 b的值；
（2）若函数 y＝kx+b的图象与两坐标轴围成的面积是△AOB面积的 ，求 y＝kx+b的解
析式．
【解答】解：（1）∵一次函数 y＝kx+b与 y＝﹣2x+4是“平行一次函数”，
∴k＝﹣2，即 y＝﹣2x+b．
∵函数 y＝kx+b的图象过点（3，1），
∴1＝﹣2×3+b，
∴b＝7．
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（2）在 y＝﹣2x+4中，令 x＝0，得 y＝4，令 y＝0，得 x＝2，
∴A（2，0），B（0，4），
∴S△AOB＝ OA?OB＝4．
由（1）知 k＝﹣2，则直线 y＝﹣2x+b与两坐标轴交点的坐标为（ ，0），（0，b），
于是有 |b|?| |＝4× ＝1，
∴b＝±2，
即 y＝kx+b的解析式为 y＝﹣2x+2或 y＝﹣2x﹣2．
5．定义：对于给定的两个函数，任取自变量 x的一个值，当 x＜0时，它们对应的函数值互
为相反数；当 x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例
如：一次函数 y＝x﹣1，它们的相关函数为 y＝ ．
（1）已知点 A（﹣5，8）在一次函数 y＝ax﹣3的相关函数的图象上，求 a的值；
（2）已知二次函数 y＝﹣x2+4x﹣ ．
①当点 B（m， ）在这个函数的相关函数的图象上时，求 m的值；
②当﹣3≤x≤3时，求函数 y＝﹣x2+4x﹣ 的相关函数的最大值和最小值．
【解答】解：（1）y＝ax﹣3的相关函数 y＝ ，
将 A（﹣5，8）代入 y＝﹣ax+3得：5a+3＝8，
解得 a＝1；
（2）二次函数 y＝﹣x2+4x﹣ 的相关函数为 y＝ ，
①当 m＜0时，将 B（m， ）代入 y＝x2﹣4x+
得 m2﹣4m+ ＝ ，
解得：m＝2+ （舍去），或 m＝2﹣ ，
当 m≥0时，将 B（m， ）代入 y＝﹣x2+4x﹣ 得：
﹣m2+4m﹣ ＝ ，
解得：m＝2+ 或 m＝2﹣ ．
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综上所述：m＝2﹣ 或 m＝2+ 或 m＝2﹣ ；
②当﹣3≤x＜0时，y＝x2﹣4x+ ，抛物线的对称轴为 x＝2，
此时 y随 x的增大而减小，
∴此时 y的最大值为 ，
当 0≤x≤3时，函数 y＝﹣x2+4x﹣ ，抛物线的对称轴为 x＝2，
当 x＝0有最小值，最小值为﹣ ，当 x＝2时，有最大值，最大值 y＝ ，
综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数 y＝﹣x2+4x﹣ 的相关函数的最大值为 ，最小值为
﹣ ．
6．当 m，n是正实数，且满足 m+n＝mn时，就称点 P（m， ）为“完美点”，已知点 A（0，
5）与点 M都在直线 y＝﹣x+b上，点 B，C是“完美点”，且点 B在线段 AM上，若 MC
＝ ，AM＝4 ，求△MBC的面积．
【解答】解：∵m+n＝mn且 m，n是正实数，
∴ +1＝m，即 ＝m﹣1，
∴P（m，m﹣1），
即“完美点”B在直线 y＝x﹣1上，
∵点 A（0，5）在直线 y＝﹣x+b上，
∴b＝5，
∴直线 AM：y＝﹣x+5，
∵“完美点”B在直线 AM上，
∴由 解得 ，
∴B（3，2），
∵一、三象限的角平分线 y＝x垂直于二、四象限的角平分线 y＝﹣x，而直线 y＝x﹣1与
直线 y＝x平行，直线 y＝﹣x+5与直线 y＝﹣x平行，
∴直线 AM与直线 y＝x﹣1垂直，
∵点 B是直线 y＝x﹣1与直线 AM的交点，
∴垂足是点 B，
∵点 C是“完美点”，
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∴点 C在直线 y＝x﹣1上，
∴△MBC是直角三角形，
∵B（3，2），A（0，5），
∴AB＝3 ，
∵AM＝4 ，
∴BM＝ ，
又∵CM＝ ，
∴BC＝1，
∴S△MBC＝ BM?BC＝ ．
7．对于平面直角坐标系中的任意两点 P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫
做 P1、P2两点间的直角距离，记作 d（P1，P2）．
（1）已知 P1（1，﹣2），P2（﹣3，4），求 d（P1，P2）；
（2）已知 O为坐标原点，动点 P（x，y）满足 d（O，P）＝1，请写出 x与 y之间满足
的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点 P所组成的图形；
（3）设 P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线 y＝ax+b上的动点，我们把 d（P0，Q）
的最小值叫做 P0到直线 y＝ax+b的直角距离，试求点 M（2，1）到直线 y＝x+2 的直角
距离．
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9
【解答】解：（1）∵P1（1，﹣2）、Q1（﹣3，4）
∴P1、Q1两点的直角距离为 d（P1，Q1）＝|1+3|+|﹣2﹣4|＝10，
（2）∵坐标原点 O点坐标为（0，0），动点 P（x，y）满足 d（O，P）＝1，
∴|0﹣x|+|0﹣y|＝1，
即|x|+|y|＝1．
（3）∵Q（x，y）是直线 y＝x+2上的动点，M（2，1），
∴Q（x，x+2），
∴d（M，Q）＝|2﹣x|+|1﹣（x+2）|＝|2﹣x|+|﹣1﹣x|＝|x﹣2|+|x+1|，
∵|x﹣2|+|x+1|表示数轴上实数 x所对应的点到﹣1和 2所对应的点的距离之和，其最小值
为 3．
∴点 M（2，1）到直线 y＝x+2的直角距离是 3．
8．我们给出如下定义：如图 1，平面内两直线 l1、l2相交于点 O，对于平面内的任意一点 M，
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若 p、q分别是点 M到直线 l1和 l2的距离（p≥0，q≥0），我们称有序非负实数对[p，q]
是点 M的距离坐标．
根据上述定义请解答下列问题：
如图 2，平面直角坐标系 xOy中，直线 l1的解析式为 y＝x，直线 l2的解析式为 y＝ x，
M是平面直角坐标系内的点，
（1）若 p＝q＝0，求距离坐标为[0，0]时，点 M的坐标；
（2）若 q＝0，且 p+q＝m（m＞0），利用图 2，求距离坐标为[p，q]时，点 M的坐标；
（3）若 p＝1，q＝1，则坐标平面内距离坐标为[p，q]的时候，点 M可以有几个位置？在
图 3中画出所有符合条件的点 M（简要说明画法）．
【解答】解：（1）若 p＝q＝0，则点 M既在直线 l1上又在直线 l2上，是两直线的交点，
则 M（0，0）；
（2）若 q＝0，且 p+q＝m（m＞0），即 p＝m，则点 M在直线 l2上，与直线 l1相距 m．
当点 M在第一象限时，如图 1：
作 MH⊥l1于 H，作 MN∥y轴，交 l1于 N，则 MH＝m，MN＝ m．
设 M（x， x），N（x，x），
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11
MN＝x﹣ x＝ x＝ m，
∴x＝2 m，
∴M（2 m， m），
当点 M在第三象限时，同理可求得 M（﹣2 m，﹣ m）；
（3）如图 2：
先作与 l1平行、距离为 1的两条平行线，再作与 l2平行、距离为 1的两条平行线，
共有四个交点，即为点 M，故点 M可以有四个位置．
9．设关于 x的一次函数 y＝a1x+b1与 y＝a2x+b2，则称函数 y＝m（a1x+b1）+n（a2x+b2）（其
中 m+n＝1）为此两个函数的生成函数．
（1）当 x＝1时，求函数 y＝x+1与 y＝2x的生成函数的值；
（2）若函数 y＝a1x+b1与 y＝a2x+b2的图象的交点为 P，判断点 P是否在此两个函数的生
成函数的图象上，并说明理由．
【解答】解：（1）当 x＝1时，
y＝m（x+1）+n（2x）
＝m（1+1）+n（2×1）
＝2m+2n
＝2（m+n），
∵m+n＝1，
∴y＝2；
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（2）点 P在此两个函数的生成函数的图象上，
设点 P的坐标为（a，b），
∵a1×a+b1＝b，a2×a+b2＝b，
∴当 x＝a时，y＝m（a1x+b1）+n（a2x+b2），
＝m（a1×a+b1）+n（a2×a+b2）
＝mb+nb＝b（m+n）＝b，
即点 P在此两个函数的生成图象上．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，3）、B（6，3），连结 AB．如果点 P在直线
y＝x+1上，且点 P到直线 AB的距离大于或等于 1，那么称点 P是线段 AB的“疏远点”．
（1）判断点 C（ ， ）是否是线段 AB的“疏远点”，并说明理由；
（2）若点 Q（m，n）是线段 AB的“疏远点”，求 m的取值范围．
【解答】解：（1）点 C（ ， ）不是线段 AB的“疏远点”．理由如下：
∵ +1＝ ，
∴点 C（ ， ）在直线 y＝x+1上；
∵点 A的纵坐标与点 B的纵坐标相同，
∴AB∥轴，
∴点 C（ ， ）到线段 AB的距离是 ﹣3＝ ＜1，
∴点 C（ ， ）不是线段 AB的“疏远点”；
（2）∵点 Q（m，n）是线段 AB的“疏远点”，
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∴点 Q（m，n）在直线 y＝x+1上，
∴n＝m+1．
①当 n＝m+1≥3，即 m≥2时，
∵AB∥x轴，∴点 Q（m，n）到线段 AB的距离是 n﹣3，
∴m+1﹣3≥1，解得 m≥3；
②当 n＝m+1＜3，即 m＜2时，
∵AB∥x轴，∴点 Q（m，n）到线段 AB的距离是 3﹣n，
∴3﹣m﹣1≥1，解得 m≤1，
综上所述，m≥3或 m≤1．
11．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形叫做此一次函数的坐标三
角形．例如，图中的一次函数的图象与 x，y轴分别交于点 A，B，则△OAB为此函数的
坐标三角形．
（1）求函数 y＝ x+3的坐标三角形的三条边长；
（2）若函数 y＝ x+b（b为常数）的坐标三角形周长为 16，求函数关系式．
【解答】解：（1）∵直线 y＝ x+3与 x轴的交点坐标为（4，0），与 y轴交点坐标为（0，
3），
∴函数 y＝ x+3的坐标三角形的三条边长分别为 3，4，5．
2020 中考数学新定义（一次函数与反比例函数）解析版
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（2）直线 y＝ x+b与 x轴的交点坐标为（ b，0），与 y轴交点坐标为（0，b），
AB＝ ＝ ＝ |b|，
当 b＞0时，b+ b+ b＝16，得 b＝4；
当 b＜0时，﹣b﹣ b﹣ b＝16，得 b＝﹣4，
所以函数关系式为 y＝ x+4或 y＝ x﹣4．
12．对于平面直角坐标系 xOy中的点 P和线段 AB，其中 A（t，0）、B（t+2，0）两点，给
出如下定义：若在线段 AB上存在一点 Q，使得 P，Q两点间的距离小于或等于 1，则称
P为线段 AB的伴随点．
（1）当 t＝﹣3时，
①在点 P1（1，1），P2（0，0），P3（﹣2，﹣1）中，线段 AB的伴随点是 P2，P3 ；
②在直线 y＝2x+b上存在线段 AB的伴随点 M、N，且 MN＝ ，求 b的取值范围；
（2）线段 AB的中点关于点（2，0）的对称点是 C，将射线 CO以点 C为中心，顺时针
旋转 30°得到射线 l，若射线 l上存在线段 AB的伴随点，直接写出 t的取值范围．
【解答】解：（1）当 t＝﹣3时，点 A（﹣3，0），点 B（﹣1，0）．
①∵P1到线段 AB最短的距离为 ＝ ，
P2到线段 AB最短的距离为 0﹣（﹣1）＝1；
P3到线段 AB最短的距离为 0﹣（﹣1）＝1．
∴线段 AB的伴随点是 P2，P3．
故答案为：P2，P3．
②∵点 M、N在直线 y＝2x+b上，且 MN＝ ，
∴M、N的纵坐标之差为 2，横坐标之差为 1．
∵点 M、N为线段 AB的伴随点，
∴点 M、N的纵坐标分别为 1和﹣1．
∵点 A（﹣3，0），点 B（﹣1，0），
∴当直线 y＝2x+b经过点（﹣3，﹣1）时，b取得最大值，此时 b＝5；当直线 y＝2x+b
经过点（﹣1，1）时，b取得最小值，此时 b＝3（如图 1所示）．
∴b的取值范围是：3≤b≤5．
（2）∵A（t，0）、B（t+2，0），
2020 中考数学新定义（一次函数与反比例函数）解析版
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∴线段 AB的中点为（t+1，0），
∴点 C的坐标为（3﹣t，0）．
∵射线 l上存在线段 AB的伴随点，
∴ ，
解得：﹣ ≤t≤2．
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2020 中考数学新定义（一次函数与反比例函数）解析版
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专项训练 2:反比例函数问题
一．解答题（共 2 小题）
1．在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到
的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．
（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？
（2）M、N是一对“互换点”，若点 M的坐标为（m，n），求直线 MN的表达式（用含 m、
n的代数式表示）；
（3）在抛物线 y＝x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点 A在反比例函数 y
＝﹣ 的图象上，直线 AB经过点 P（ ， ），求此抛物线的表达式．
【解答】解：（1）不一定，
设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．
①当 ab＝0时，它们不可能在反比例函数的图象上，
②当 ab≠0时，由 可得 ，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数 （k≠0）
的图象上；
（2）由 M（m，n）得 N（n，m），设直线 MN的表达式为 y＝cx+d（c≠0）．
则有 解得 ，
∴直线 MN的表达式为 y＝﹣x+m+n；
（3）设点 A（p，q），则 ，
∵直线 AB经过点 P（ ， ），由（2）得 ，
∴p+q＝1，
∴ ，
解并检验得：p＝2或 p＝﹣1，
∴q＝﹣1或 q＝2，
∴这一对“互换点”是（2，﹣1）和（﹣1，2），
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将这一对“互换点”代入 y＝x2+bx+c得，
∴ 解得 ，
∴此抛物线的表达式为 y＝x2﹣2x﹣1．
2．定义：点 P为△ABC内部或边上的点，若满足△PAB、△PBC、△PAC至少有一个三角
形与△ABC相似（点 P不与△ABC顶点重合），则称点 P为△ABC的自相似点．
例如：如图 1，点 P在△ABC的内部，∠PBC＝∠A，∠PCB＝∠ABC，则△BCP∽△ABC，
故点 P为△ABC的自相似点．
在平面直角坐标系 xOy中，
（1）点 A坐标为（2，2 ），AB⊥x轴于 B点，在 E（2，1），F（ ， ），G（ ，
）这三个点中，其中是△AOB自相似点的是 F，G （填字母）；
（2）若点 M是曲线 C：y＝ （k＞0，x＞0）上的一个动点，N为 x轴正半轴上一个动
点；
①如图 2，k＝3 ，M点横坐标为 3，且 NM＝NO，若点 P是△MON的自相似点，求
点 P的坐标；
②若 k＝1，点 N为（2，0），且△MON的自相似点有 2个，则曲线 C上满足这样条件的
点 M共有 4 个，请在图 3中画出这些点（保留必要的画图痕迹）．
【解答】解：（1）如图 1中，连接 OF、OE、GB、FB，作 GM⊥OB于 M，FN⊥OB于 N．
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由题意可知点 G在 OA上，
∵tan∠AOB＝ ＝ ，
∴∠AOB＝60°，
∵tan∠GBM＝ ＝ ＝ ，
∴∠OBG＝30°，
∴∠BOG＝∠AOB，∠OBG＝∠A，
∴△OBG∽△OAB，
∴点 F是自相似点，
同理可得∠FON＝∠A＝30°，∠FBO＝∠AOB＝60°，
∴△FOB∽△BAO，
∴点 F是自相似点，
故答案为 F，G．
（2）①如图 2，过点 M作 MG⊥x轴于 G点．
∵M点的横坐标为 3，
2020 中考数学新定义（一次函数与反比例函数）解析版
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∴y＝ ＝ ，
∴M（3， ），
∴OM＝2 ，∠MON＝∠NMO＝30°，∠ONM＝120°，
直线 OM的表达式为 y＝ x，
在 Rt△MNG中，∠MGN＝90°，MN2＝MG2+NG2，
设 NM＝NO＝m，则 NG＝3﹣m，
∴m2＝（3﹣m）2+（ ）2，
∴ON＝MN＝m＝2，
∵△P1ON∽△NOM，△MP2N∽△MNO，
∴∠OP1N＝∠MNO＝120°，∠MP2N＝∠MNO＝120°，
∴∠NP1P2＝∠NP2P1＝60°，
∴△NP1P2是等边三角形，
∴OP1＝P1P2＝P2M，
∴P1的横坐标为 1，P2的横坐标为 2，代入 y＝ x，
可得 P1（1， ），P2（2， ）
综上所述，P点坐标为（1， ））或（2， ）．
②如图 3中，满足条件的点 M有 4个．
以 O为圆心 2 为半径作圆交反比例函数于 M1，M2，以 N为圆心 2为半径作圆交反比例
函数的图象于 M3，M4，
故答案为 4．
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日期： 2020/3/21 0:56:41；用户：金雨教育；邮箱：309593466@qq.com；学号： 33专项训练 3:一次函数与反比例函数综合问题
一．填空题（共 1 小题）
1．在平面直角坐标系 xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点 P（x，y），我们把点 P′（ ，
）称为点 P的“倒影点”，直线 y＝﹣x+1上有两点 A，B，它们的倒影点 A′，B′均
在反比例函数 y＝ 的图象上．若 AB＝2 ，则 k＝ ﹣ ．
【解答】解：（方法一）设点 A（a，﹣a+1），B（b，﹣b+1）（a＜b），则 A′（ ， ），
B′（ ， ），
∵AB＝ ＝ ＝ （b﹣a）＝2 ，
∴b﹣a＝2，即 b＝a+2．
∵点 A′，B′均在反比例函数 y＝ 的图象上，
∴ ，
解得：k＝﹣ ．
（方法二）∵直线 y＝﹣x+1上有两点 A、B，且 AB＝2 ，
∴设点 A的坐标为（a，﹣a+1），则点 B的坐标为（a+2，﹣a﹣1），点 A′的坐标为（ ，
），点 B′的坐标为（ ，﹣ ）．
∵点 A′，B′均在反比例函数 y＝ 的图象上，
∴ ，
解得： ．
故答案为：﹣ ．
二．解答题（共 2 小题）
2020 中考数学新定义（一次函数与反比例函数）解析版
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2．在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的 2倍的点称之为“理想点”，例如点
（﹣2，﹣4），（1，2），（3，6）…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有无数多个．
（1）若点 M（2，a）是反比例函数 y＝ （k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，求这
个反比例函数的表达式；
（2）函数 y＝3mx﹣1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”吗？若存在，请求出
“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：∵点 M（2，a）是反比例函数 y＝ （k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，
∴a＝4，
∵点 M（2，4）在反比例函数 y＝ （k为常数，k≠0）图象上，
∴k＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为 ．
（2）假设函数 y＝3mx﹣1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”（x，2x），
则有 3mx﹣1＝2x，
整理得：（3m﹣2）x＝1，
当 3m﹣2≠0，即 m≠ 时，解得：x＝ ，
当 3m﹣2＝0，即 m＝ 时，x无解，
综上所述，当 m≠ 时，函数图象上存在“理想点”，为（ ）；
当 m＝ 时，函数图象上不存在“理想点”．
3．在平面直角坐标系 xOy中，对于任意三点 A，B，C，给出如下定义：
如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且 A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，
则称该矩形为点 A，B，C的覆盖矩形．点 A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩
形称为点 A，B，C的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形 A1B1C1D1，A2B2C2D2，AB3C3D3
都是点 A，B，C的覆盖矩形，其中矩形 AB3C3D3是点 A，B，C的最优覆盖矩形．
（1）已知 A（﹣2，3），B（5，0），C（t，﹣2）．
①当 t＝2时，点 A，B，C的最优覆盖矩形的面积为 35 ；
②若点 A，B，C的最优覆盖矩形的面积为 40，求直线 AC的表达式；
2020 中考数学新定义（一次函数与反比例函数）解析版
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（2）已知点 D（1，1）．E（m，n）是函数 y＝ （x＞0）的图象上一点，⊙P是点 O，
D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P的半径 r的取值范围．
【解答】解：（1）①∵A（﹣2，3），B（5，0），C（2，﹣2），矩形的任何一条边均与某
条坐标轴平行，且 A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点 A，B，C
的覆盖矩形．点 A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点 A，B，C的最优
覆盖矩形，
∴最优覆盖矩形的长为：2+5＝7，宽为 3+2＝5，
∴最优覆盖矩形的面积为：7×5＝35；
②∵点 A，B，C的最优覆盖矩形的面积为 40，
∴由定义可知，t＝﹣3或 6，即点 C坐标为（﹣3，﹣2）或（6，﹣2），
设 AC表达式为 y＝kx+b，
∴ 或
∴ 或
∴y＝5x+13或 ；
（2）①OD所在的直线交双曲线于点 E，矩形 OFEG是点 O，D，E的一个面积最小的
最优覆盖矩形，如图 1所示：
∵点 D（1，1），
∴OD所在的直线表达式为 y＝x，
∴点 E的坐标为（2，2），
∴OE＝ ＝ ，
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∴⊙P的半径最小 r＝ ，
②当 DE∥x轴时，即：点 E的纵坐标为 1，如图 2所示：
∵点 D（1，1）．E（m，n）是函数 y＝ （x＞0）的图象上一点
∴1＝ ，解得 x＝4，
∴OE═ ＝ ，
∴⊙P的半径最大 r＝ ，
∴ ．
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