2020 中考数学新定义（代数式、方程、不等式)解析版
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第一部分 方法概述
1.知识上：
（1） 审题：首先要对题目进行逐字逐句的阅读与研究，字斟句酌；其次，对
于题目中给出的例子要加以利用，运用例子去理解抽象复杂的叙述，经历一个
从一般到特殊再到一般的理解过程，可以起到事半功倍的效果；最后，要关注
题目中给出的文字、符号、图形语言，从中提炼有效的信息。
（2） 以形助数：在理解一些抽象复杂的符号化问题出现困难或者障碍的时候，
可以画出图像或图形，使抽象的问题直观、形象化。
2数学思想方法上：
（1） 对新定义问题的理解与剖析，通常要经历一个从一般——特殊——一般
的学习过程，故要对题目所提供的具体例子进行研究和分析，如果题目没有给
出具体的实例，可以自己举出相应的例子，从中深入地理解新定义。
（2） 数形结合思想在解决问题中具有很重要的作用，在解决类似问题的过程
中要有意识地运用。
第二部分 案例分析
案例 1：定义新运算
例：现定义一种新运算：“※”，使得 a※b＝4ab；
（1）求 4※7的值；
（2）求 x※x+2※x﹣2※4＝﹣36中 x的值．
【分析】（1）根据※的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出 4※7的值是多少
即可．
（2）根据 x※x+2※x﹣2※4＝﹣36，可得：4x2+8x﹣32＝﹣36，据此求出 x的值是多少
即可．
【解答】解：（1）4※7＝4×4×7＝112
（2）∵x※x+2※x﹣2※4＝﹣36，
∴4x2+8x﹣32＝﹣36，
∴x2+2x+1＝0，
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解得 x＝﹣1．
【点评】此题主要考查了定义新运算，一元二次方程的求解方法，以及有理数的混合运
算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；
同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
案例 2：坐标变换型
在平面直角坐标系 xOy中，定义一种变换：使平面内的点 P（x，y）对应的像为 P′（ax+by，
bx﹣ay），其中 a、b为常数．已知点（2，1）经变换后的像为（1，﹣8）．
（1）求 a，b的值；
（2）已知线段 OP＝2，求经变换后线段 O′P′的长度（其中 O′、P′分别是 O、P经
变换后的像，点 O为坐标原点）．
【分析】（1）根据新定义运算列出关于 a、b的方程组，通过解方程组来求得它们的值；
（2）根据勾股定理知 OP2＝x2+y2＝4，由新定义变换得到 O′、P′的坐标，然后由两点
间的距离公式即可求得 O′P′的长度．
【解答】解：（1）根据题意，得
，
解得， ．
即 a、b的值分别是 2、﹣3．
（2）∵OP＝2，点 P的坐标是（x，y），
∴根据勾股定理知，x2+y2＝4．
∵O′、P′分别是 O、P经变换后的像，点 O为坐标原点，
∴O′（0，0），P′（2x﹣3y，﹣3x﹣2y），
∴O′P′＝ ＝ ＝ ＝2 ，即经变换
后线段 O′P′的长度是 2 ．
【点评】本题综合考查了一元一次方程组的解法，两点间的距离公式．解答该题的难点
是弄清楚新定义运算的法则，列出关于 a、b的二元一次方程组，通过解方程组求得它们
的值，从而求得点 P′的坐标．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
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第三部分 日期： 2020/2/19 15:02:13；用户：金雨教育；邮箱：309593466@qq.com；学号： 335385 专项训练
代数式、方程和不等式新定义计算型专项训练
一．选择题（共 1 小题）
1．对非负实数 x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即当 n为非负整数时，若 n﹣ ≤x＜
n+ ，则＜x＞＝n，如＜0.46＞＝0，＜3.67＞＝4，给出下列关于＜x＞的结论：
①＜1.493＞＝1，
②＜2x＞＝2＜x＞，
③若＜ x﹣1＞＝4，则实数 x的取值范围是 9≤x＜11，
④当 x≥0，m为非负整数时，有＜m+2013x＞＝m+＜2013x＞，
⑤＜x+y＞＝＜x＞+＜y＞．
其中，正确的结论有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】对于①可直接判断，②、⑤可用举反例法判断，③、④我们可以根据题意所
述利用不等式判断．
【解答】解：①＜1.493＞＝1，正确；
②＜2x＞＝2＜x＞，例如当 x＝0.3时，＜2x＞＝1，2＜x＞＝0，故②错误；
③若＜ x﹣1＞＝4，则 4﹣ ≤ x﹣1＜4+ ，解得：9≤x＜11，故③正确；
④m为整数，不影响“四舍五入”，故＜m+2013x＞＝m+＜2013x＞，故④正确；
⑤＜x+y＞≠＜x＞+＜y＞，例如 x＝0.3，y＝0.4时，＜x+y＞＝1，＜x＞+＜y＞＝0，故
⑤错误；
综上可得①③④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用和理解题意的能力，关键是看到所得值是
个位数四舍五入后的值，问题可得解．
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二．解答题（共 10 小题）
2．定义新运算⊕：对于任意有理数 a，b都有 a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、
减法及乘法运算．
比如：2⊕5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5．
（1）求：（﹣2）⊕3的值；
（2）若 3⊕x＝4，求 x的值．
【分析】利用题中的新定义化简所求式子，计算即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：（﹣2）⊕3＝﹣2×（﹣2﹣3）+1＝10+1＝11；
（2）根据题意化简已知等式得：3（3﹣x）+1＝4，
去括号得：9﹣3x+1＝4，
移项合并得：3x＝6，
解得：x＝2．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．对于有理数 a、b定义一种新运算，规定 a☆b＝a2﹣ab．
（1）求 2☆（﹣3）的值；
（2）若（﹣2）☆（3☆x）＝4，求 x的值．
【分析】（1）根据☆的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出 2☆（﹣3）的值
是多少即可．
（2）首先根据☆的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，由（﹣2）☆（3☆x）＝4，
列出一元一次方程，然后根据解一元一次方程方法，求出 x的值是多少即可．
【解答】解：（1）2☆（﹣3）
＝22﹣2×（﹣3）
＝4+6
＝10
（2）（﹣2）☆（3☆x）
＝（﹣2）☆（9﹣3x）
＝（﹣2）2﹣（﹣2）×（9﹣3x）
＝22﹣6x
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＝4
解得 x＝3．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握，
注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从
左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
4．对于有理数 a，b，定义一种新运算“⊙”，规定 a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|．
（1）计算 1⊙（﹣2）的值；
（2）当 a，b在数轴上的位置如图所示时，化简 a⊙b；
（3）已知（a⊙a）⊙a＝8+a，求 a的值．
【分析】（1）根据定义的新运算“⊙”，代入数据即可求出结论；
（2）观察数轴即可得出 a+b＜0，a﹣b＞0，结合新运算的定义式，代入数据即可得出结
论；
（3）分 a≥0以及 a＜0两种情况考虑，根据新运算的定义式分别得出关于 a的一元一次
方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）1⊙（﹣2）＝|1+（﹣2）|+|1﹣（﹣2）|＝1+3＝4．
（2）从 a，b数轴位置可知：a+b＜0，a﹣b＞0，
∴a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|＝﹣a﹣b+a﹣b＝﹣2b．
（3）当 a≥0时，（a⊙a）⊙a＝2a⊙a＝4a＝8+a，
解得：a＝ ；
当 a＜0时，（a⊙a）⊙a＝﹣2a⊙a＝﹣4a＝8+a，
解得：a＝﹣ ．
综上所述：a的值为 或﹣ ．
【点评】本题考查了数轴、绝对值以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据定义
式代入数据求解；（2）观察数轴找出 a+b＜0，a﹣b＞0；（3）分 a≥0 以及 a＜0找出关
于 a的一元一次方程．
5．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数 a和 b，规定 a☆b＝ab2+2ab+a，如：1☆3
＝1×32+2×1×3+1＝16
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（1）求（﹣2）☆3的值；
（2）若（ ☆3）☆（﹣ ）＝8，求 a的值；
（3）若 2☆x＝m，（ x）☆3＝n（其中 x为有理数），试用 x表示 m﹣n．
【分析】（1）原式利用已知的新定义计算即可得到结果；
（2）已知等式利用已知新定义化简求出 a即可；
（3）已知等式利用已知新定义化简，表示出 m﹣n即可．
【解答】解：（1）根据题意得：原式＝﹣18﹣12﹣2＝﹣32；
（2）已知等式整理得：[ （a+1）+3（a+1）+ ]×（﹣ ）2﹣[ （a+1）+3（a+1）
+ ]+[ （a+1）+3（a+1）+ ]＝8，
即 2（a+1）＝8，
解得：a＝3；
（3）已知等式整理得：2x2+4x+2＝m， x+ x+ x＝n，即 4x＝n，
则 m﹣n＝2x2+2．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．若规定两数 a、b通过运算“※”，得到 4ab，即 a※b＝4ab，例如：2※6＝4×2×6＝48；
3※5＝4×3×5＝60
（1）求 ※ 的值；
（2）求 x※x+2※x﹣2※4＝0中 x的值．
【分析】（1）根据新定义的运算法则运算即可．
（2）将式子根据运算法则表示成方程的形式，解出即可．
【解答】解：（1）由题意得： ※ ＝4× × ＝8 ；
（2）x※x+2※x﹣2※4＝0可化为：4x2+8x﹣32＝0，
整理得：x2+2x﹣8＝0，
解得：x＝2或﹣4．
【点评】本题考查二次根式的乘除法及解一元一次方程的知识，难度不大，注意理解新
定义所表示的运算法则．
7．规定 a※b＝2a×2b
（1）求 2※3的值；
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（2）若 2※（x+1）＝16，求 x的值．
【分析】（1）根据规定 a※b＝2a×2b可以求得题目中所求式子的值，本题得以解决；
（2）根据规定 a※b＝2a×2b和同底数幂的乘法的法则即可得到结论．
【解答】解：（1）2※3＝22×23＝4×8＝32，
（2）2※（x+1）＝16，
22×2（x+1）＝2x+3＝16＝24，
∴x+3＝4，
∴x＝1．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，解答本题的关键是明确同底数幂的乘法的计算方
法．
8．材料 1：一般地，n个相同因数 a相乘： 记为 an．如 23＝8，此时，3叫做
以 2为底的 8的对数，记为 log28（即 log28＝3）．那么，log39＝ 2 ，（log216）2+ log381
＝ 17 ．
材料 2：新规定一种运算法则：自然数 1到 n的连乘积用 n！表示，例如：1！＝1，2！
＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…在这种规定下，请你解决下列
问题：
（1）计算 5！＝ 120
（2）已知 x为整数，求出满足该等式的 x： ＝1．
【分析】材料 1：各式利用题中的新定义计算即可得到结果；
材料 2：（1）原式利用新定义计算即可得到结果；（2）已知等式利用题中的新定义化简，
求出解即可得到 x的值．
【解答】解：材料 1：log39＝log332＝2；（log216）2+ log381＝16+ ＝17 ；
材料 2：（1）5！＝5×4×3×2×1＝120；
（2）已知等式化简得： ＝1，即|x﹣1|＝6，
解得：x＝7或﹣5．
故答案为：2；17 ；（1）120
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
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9．若规定 ＝a﹣b+c﹣d，试计算： 的值，其中 x＝﹣2，y＝1．
【分析】先展开，再根据整式的运算法则进行化简，最后代入求出即可．
【解答】解： ＝（xy﹣3x2）﹣（﹣2xy﹣x2）+（﹣2x2﹣3）﹣（﹣
5+xy）
＝xy﹣3x2+2xy+x2﹣2x2﹣3+5﹣xy
＝2xy﹣4x2+2，
当 x＝﹣2，y＝1时，原式＝﹣4﹣16+2＝﹣18．
【点评】本题考查了实数的运算法则和整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算
法则和实数的运算法则进行化简和计算是解此题的关键．
10．对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα＝sin（180°﹣α），cosα＝﹣cos（180°﹣α）
（1）求 sin120°，cos120°，sin150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是 1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，
cosB是方程 4x2﹣mx﹣1＝0的两个不相等的实数根，求 m的值及∠A和∠B的大小．
【分析】（1）按照题目所给的信息求解即可；
（2）分三种情况进行分析：①当∠A＝30°，∠B＝120°时；②当∠A＝120°，∠B＝
30°时；③当∠A＝30°，∠B＝30°时，根据题意分别求出 m的值即可．
【解答】解：（1）由题意得，
sin120°＝sin（180°﹣120°）＝sin60°＝ ，
cos120°＝﹣cos（180°﹣120°）＝﹣cos60°＝﹣ ，
sin150°＝sin（180°﹣150°）＝sin30°＝ ；
（2）∵三角形的三个内角的比是 1：1：4，
∴三个内角分别为 30°，30°，120°，
①当∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为 ，﹣ ，
将 代入方程得：4×（ ）2﹣m× ﹣1＝0，
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解得：m＝0，
经检验﹣ 是方程 4x2﹣1＝0的根，
∴m＝0符合题意；
②当∠A＝120°，∠B＝30°时，两根为 ， ，不符合题意；
③当∠A＝30°，∠B＝30°时，两根为 ， ，
将 代入方程得：4×（ ）2﹣m× ﹣1＝0，
解得：m＝0，
经检验 不是方程 4x2﹣1＝0的根．
综上所述：m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是按照题目所给的运算法则
求出三角函数的值和运用分类讨论的思想解题，难度一般．
11．若 x是不等于 1的实数，我们把 称为 x的差倒数，如 2的差倒数是 ，﹣1
的差倒数为 ，现已知 ，x2是 x1的差倒数，x3是 x2的差倒数，x4是 x3
的差倒数，…，依此类推．
（1）分别求出 x2，x3，x4的值；
（2）计算 x1?x2?x3的值；
（3）计算 x1x2…x2019的值．
【分析】（1）根据题意，可以分别计算出 x2，x3，x4的值；
（2）根据（1）求得的 x2，x3，x4的值，可以求得 x1?x2?x3的值；
（3）根据题目中数字的特点和（2）中的结果，可以求得所求式子的值．
【解答】解：（1）由题意可得，
当 x1＝ 时，
x2＝ ＝ ，
x3＝ ＝4，
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x4＝ ＝﹣ ；
（2）由（1）知，
x1＝ ，x2＝ ，x3＝4，
则 x1?x2?x3＝ × ×4＝﹣1；
（3）∵2019÷3＝673，
∴x1x2…x2019
＝（x1?x2?x3）?（x4?x5?x6）?…?（x2017?x2018?x2019）
＝（﹣1）673
＝﹣1．
【点评】本题考查数字的变化类、倒数，解答本题的关键是明确题意，发现题目数字的
变化特点，求出所求式子的值．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/2/19 15:02:36；用户：金雨教育；邮箱：309593466@qq.com；学号： 335385
代数式方程不等式新定义坐标变换型专项训练
一．选择题（共 1 小题）
1．在平面直角坐标系中，点 P（x，y）经过某种变换后得到点 P'（﹣y+1，x+2），我们把点
P'（﹣y+1，x+2）叫做点 P（x，y）的终结点．已知点 P1的终结点为 P2，点 P2的终结点
为 P3，点 P3的终结点为 P4，这样依次得到 P1、P2、P3、P4…Pn，若点 P1的坐标为（2，
0），则点 P2018的坐标为（ ）
A．（﹣3，3） B．（1，4） C．（2，0） D．（﹣2，﹣1）
【分析】利用点 P（x，y）的终结点的定义分别写出点 P2的坐标为（1，4），点 P3的坐
标为（﹣3，3），点 P4的坐标为（﹣2，﹣1），点 P5的坐标为（2，0），…，从而得到每
4次变换一个循环，然后利用 2018＝4×504+2可判断点 P2018的坐标与点 P2的坐标相同．
【解答】解：根据题意得点 P1的坐标为（2，0），则点 P2的坐标为（1，4），点 P3的坐
标为（﹣3，3），点 P4的坐标为（﹣2，﹣1），点 P5的坐标为（2，0），…，
而 2018＝4×504+2，
所以点 P2018的坐标与点 P2的坐标相同，为（1，4）．
故选：B．
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【点评】本题考查了几何变换：四种变换方式：对称、平移、旋转、位似．掌握在直角
坐标系中各种变换的对应的坐标变化规律．
二．解答题（共 3 小题）
2．对于平面直角坐标系 xOy中的点 P（m，n），定义一种变换：作点 P（m，n）关于 y轴
对称的点 P′，再将 P′向左平移 k（k＞0）个单位得到点 Pk′，Pk′叫做对点 P（m，n）
的 k阶“? ”变换．
（1）求 P（3，2）的 3阶“? ”变换后 P3′的坐标；
（2）若直线 y＝3x﹣3与 x轴，y轴分别交于 A，B两点，点 A的 2阶“? ”变换后得到
点 C，求过 A，B，C三点的抛物线 M的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线 M的对称轴与 x轴交于 D，若在抛物线 M对称轴上存在
一点 E，使得以 E，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，求点 E的坐标．
【分析】（1）根据点 P（m，n）的 k阶“? ”变换的定义求解；
（2）先根据坐标轴上点的坐标特征求出 A（1，0），B（0，﹣3），再根据新定义求出 C
（﹣3，0），然后利用交点式求抛物线解析式；
（3）根据二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线 x＝﹣ ＝﹣1，可得到 D（﹣1，0），
利用勾股定理计算出 BD＝ ，然后分类讨论：当 DB＝DE＝ ，如图，易得 E点坐
标为（﹣1， ）和（﹣1，﹣ ）；当 BD＝BE，如图，利用对称易得 E点坐标为（﹣
1，﹣6）；若 ED＝EB，如图，设 E（﹣1，t），利用两点间的距离公式得到 t2＝（﹣1）2+
（t+3）2，解得 t＝﹣ ，于是可得此时 E点坐标为（﹣1，﹣ ）．
【解答】解：（1）由 3阶“? ”变换定义：P（3，2）关于 y轴对称的点为 P'的坐标为（﹣
3，2），再将 P'（﹣3，2）向左平移 3个单位得 P3'的坐标 P3'（﹣6，2）；
（2）当 y＝0，3x﹣3＝0，解得 x＝1，则 A（1，0）；当 x＝0，y＝3x﹣3＝﹣3，则 B（0，
﹣3）；
由 2阶“? ”变换定义：A（1，0）关于 y轴对称的点为 A'的坐标为（﹣1，0），再将 A'
（﹣1，0）向左平移 2个单位得 P3'的坐标 A3'（﹣3，0），则 C（﹣3，0）；
设过 A，B，C三点的抛物线 M的解析式 y＝a（x+3）（x﹣1），
将 B（0，﹣3）代入得 a?3?（﹣1）＝﹣3，解得 a＝1，
所以抛物线 M的解析式为 y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；
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（3）抛物线的对称轴为直线 x＝﹣ ＝﹣1，则 D（﹣1，0），
而 B（0，﹣3），
∴BD＝ ＝ ，
若 DB＝DE＝ ，如图，则 E1（﹣1， ），E2（﹣1，﹣ ），
若 BD＝BE，如图，则 E3（﹣1，﹣6）；
若 ED＝EB，如图，E4B＝E4D，设 E4（﹣1，t），
则 t2＝（﹣1）2+（t+3）2，解得 t＝﹣ ，则 E4（﹣1，﹣ ），
综上所述，点 E的坐标为（﹣1， ）、（﹣1，﹣ ）、（﹣1，﹣6）、（﹣1，﹣ ）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和等腰三角形的性质；
会利用待定系数法求二次函数的解析式；理解坐标与几何图形性质；会运用分类讨论的
思想解决数学问题．
3．阅读与理解
在平面直角坐标系 xOy中，点 P（x，y）经过τ变换得到点 P′（x′，y′），该变换记
为τ（x，y）＝（x′，y′），其中 （a，b为常数）．
例如，当 a＝1，且 b＝1时，τ（﹣2，3）＝（1×（﹣2）+1×3，1×（﹣2）﹣1×3）
＝（1，﹣5）．
（1）当 a＝1，且 b＝﹣2时，τ（0，1）＝ （﹣2，2） ；
（2）若τ（1，2）＝（0，﹣2），则 a＝ ﹣1 ，b＝ ；
（3）设点 P（x，y）是直线 y＝2x上的任意一点，点 P经过变换τ得到点 P′（x′，y′）．若
点 P与点 P′关于原点对称，求 a和 b的值．
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【分析】（1）根据该变换记为τ（x，y）＝（x′，y′），其中 ，代入 a，b
的值，可得答案；
（2）根据该变换记为τ（x，y）＝（x′，y′），其中 ，可得关于 a、b的
二元一次方程组，根据解方程组，可得答案；
（3）根据点 P与点 P′关于原点对称，可得τ（x，y）＝（﹣x，﹣y），根据点 P的位
置，可得 P′点的坐标，根据τ（x，y）＝（x′，y′），可得方程组，根据解方程组，
可得答案．
【解答】解：（1）当 a＝1，且 b＝﹣2时，τ（0，1）＝（1×0+（﹣2）×1，1×0﹣（﹣
2）×1）＝（﹣2，2），
故答案为：（﹣2，2）；
（2）τ（1，2）＝（a×1+2b，a×1﹣2b）＝（0，﹣2），
，解得 ．
故答案为：a＝﹣1，b＝ ；
（3）∵点 P（x，y）经过变换τ得到的对应点 P′（x′，y′）与点 P关于原点对称，
∴τ（x，y）＝（﹣x，﹣y）．
∵点 P（x，y）在直线 y＝2x上，
∴τ（x，2x）＝（﹣x，﹣2x），
即 ．
∵x为任意的实数，
∴ ，解得
∴a＝ ，b＝ ．
【点评】本题考查了一次函数综合题，利用了点 P（x，y）经过τ变换得到点 P′（x′，
y′），该变换记为τ（x，y）＝（x′，y′），其中 （a，b为常数）．
4．对于平面直角坐标系 xOy中的点 P（x，y），若点 Q的坐标为（x+ay，ax+y）（其中 a为
常数，且 a≠0），则称 Q是点 P的“a系联动点”．例如：点 P（1，2）的“3系联动点”
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Q的坐标为（7，5）．
（1）点（3，0）的“2 系联动点”的坐标为 （3，6） ；若点 P的“﹣2系联动点”
的坐标是（﹣3，0），则点 P的坐标为 （1，2） ；
（2）若点 P（x，y）的“a系联动点”与“﹣a系联动点”均关于 x轴对称，则点 P分
布在 x轴上 ，请证明这个结论；
（3）在（2）的条件下，点 P不与原点重合，点 P的“a系联动点”为点 Q，且 PQ的
长度为 OP长度的 3倍，求 a的值．
【分析】（1）根据 Q是点 P的“a系联动点”的定义，计算或构建方程组解决问题即可；
（2）根据 Q是点 P的“a系联动点”的定义的定义，理由轴对称的性质构建方程组即可
解决问题；
（3）构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）点（3，0）的“2系联动点”的坐标为（3+2×0，2×3+0），即（3，6），
点 P（x，y）的“﹣2系联动点”的坐标是（﹣3，0），则 ，解得 ，即 P
（1，2），
故答案为（3，6），P（1，2）；
（2）结论：点 P分布在 x轴上．
理由：∵点 P（x，y）的“a系联动点”的坐标为（x+ay，ax+y）（其中 a为常数，且 a
≠0），
∴点 P（x，y）的“﹣a系联动点”为（x﹣ay，﹣ax+y）．
∵点 P的“a系联动点”与“﹣a系联动点”均关于 x轴对称，
∴ ，
∵a≠0，
∴y＝0，
∴点 P在 x轴上．
故答案为：在 x轴上．
（3）∵在（2）的条件下，点 P不与原点重合，
∴点 P的坐标为（x，0），x≠0，
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∵点 P的“a系联动点”为点 Q，
∴点 Q的坐标为（x，ax），
∵PQ的长度为 OP长度的 3倍，
∴3|x|＝|ax|，
∴|a|＝3，
∴a＝±3．
【点评】本题考查几何变换综合题、二元一次方程组、坐标与图形的性质、Q是点 P的
“a系联动点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程分思想思考问题，属
于中考压轴题，
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日期：2020/2/19 15:02:47；用户：金雨教育；邮箱：309593466@qq.com；学号： 335385
2020 中考数学新定义（代数式、方程、不等式)
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第一部分 方法概述
1.知识上：
（1） 审题：首先要对题目进行逐字逐句的阅读与研究，字斟句酌；其次，对
于题目中给出的例子要加以利用，运用例子去理解抽象复杂的叙述，经历一个
从一般到特殊再到一般的理解过程，可以起到事半功倍的效果；最后，要关注
题目中给出的文字、符号、图形语言，从中提炼有效的信息。
（2） 以形助数：在理解一些抽象复杂的符号化问题出现困难或者障碍的时候，
可以画出图像或图形，使抽象的问题直观、形象化。
2数学思想方法上：
（1） 对新定义问题的理解与剖析，通常要经历一个从一般——特殊——一般
的学习过程，故要对题目所提供的具体例子进行研究和分析，如果题目没有给
出具体的实例，可以自己举出相应的例子，从中深入地理解新定义。
（2） 数形结合思想在解决问题中具有很重要的作用，在解决类似问题的过程
中要有意识地运用。
第二部分 案例分析
案例 1：定义新运算
例：现定义一种新运算：“※”，使得 a※b＝4ab；
（1）求 4※7的值；
（2）求 x※x+2※x﹣2※4＝﹣36中 x的值．
【分析】（1）根据※的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出 4※7的值是多少
即可．
（2）根据 x※x+2※x﹣2※4＝﹣36，可得：4x2+8x﹣32＝﹣36，据此求出 x的值是多少
即可．
【解答】解：（1）4※7＝4×4×7＝112
（2）∵x※x+2※x﹣2※4＝﹣36，
∴4x2+8x﹣32＝﹣36，
∴x2+2x+1＝0，
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解得 x＝﹣1．
【点评】此题主要考查了定义新运算，一元二次方程的求解方法，以及有理数的混合运
算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；
同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
案例 2：坐标变换型
在平面直角坐标系 xOy中，定义一种变换：使平面内的点 P（x，y）对应的像为 P′（ax+by，
bx﹣ay），其中 a、b为常数．已知点（2，1）经变换后的像为（1，﹣8）．
（1）求 a，b的值；
（2）已知线段 OP＝2，求经变换后线段 O′P′的长度（其中 O′、P′分别是 O、P经
变换后的像，点 O为坐标原点）．
【分析】（1）根据新定义运算列出关于 a、b的方程组，通过解方程组来求得它们的值；
（2）根据勾股定理知 OP2＝x2+y2＝4，由新定义变换得到 O′、P′的坐标，然后由两点
间的距离公式即可求得 O′P′的长度．
【解答】解：（1）根据题意，得
，
解得， ．
即 a、b的值分别是 2、﹣3．
（2）∵OP＝2，点 P的坐标是（x，y），
∴根据勾股定理知，x2+y2＝4．
∵O′、P′分别是 O、P经变换后的像，点 O为坐标原点，
∴O′（0，0），P′（2x﹣3y，﹣3x﹣2y），
∴O′P′＝ ＝ ＝ ＝2 ，即经变换
后线段 O′P′的长度是 2 ．
【点评】本题综合考查了一元一次方程组的解法，两点间的距离公式．解答该题的难点
是弄清楚新定义运算的法则，列出关于 a、b的二元一次方程组，通过解方程组求得它们
的值，从而求得点 P′的坐标．
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第三部分 日期：2020/2/19 15:02:13；用户：金雨教育；邮箱：309593466@qq.com；学号：335专项训练
代数式、方程和不等式新定义计算型专项训练
一．选择题（共 1 小题）
1．对非负实数 x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即当 n为非负整数时，若 n﹣ ≤x＜
n+ ，则＜x＞＝n，如＜0.46＞＝0，＜3.67＞＝4，给出下列关于＜x＞的结论：
①＜1.493＞＝1，
②＜2x＞＝2＜x＞，
③若＜ x﹣1＞＝4，则实数 x的取值范围是 9≤x＜11，
④当 x≥0，m为非负整数时，有＜m+2013x＞＝m+＜2013x＞，
⑤＜x+y＞＝＜x＞+＜y＞．
其中，正确的结论有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．解答题（共 10 小题）
2．定义新运算⊕：对于任意有理数 a，b都有 a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、
减法及乘法运算．
比如：2⊕5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5．
（1）求：（﹣2）⊕3的值；
（2）若 3⊕x＝4，求 x的值．
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3．对于有理数 a、b定义一种新运算，规定 a☆b＝a2﹣ab．
（1）求 2☆（﹣3）的值；
（2）若（﹣2）☆（3☆x）＝4，求 x的值．
4．对于有理数 a，b，定义一种新运算“⊙”，规定 a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|．
（1）计算 1⊙（﹣2）的值；
（2）当 a，b在数轴上的位置如图所示时，化简 a⊙b；
（3）已知（a⊙a）⊙a＝8+a，求 a的值．
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5．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数 a和 b，规定 a☆b＝ab2+2ab+a，如：1☆3
＝1×32+2×1×3+1＝16
（1）求（﹣2）☆3的值；
（2）若（ ☆3）☆（﹣ ）＝8，求 a的值；
（3）若 2☆x＝m，（ x）☆3＝n（其中 x为有理数），试用 x表示 m﹣n．
6．若规定两数 a、b通过运算“※”，得到 4ab，即 a※b＝4ab，例如：2※6＝4×2×6＝48；
3※5＝4×3×5＝60
（1）求 ※ 的值；
（2）求 x※x+2※x﹣2※4＝0中 x的值．
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7．规定 a※b＝2a×2b
（1）求 2※3的值；
（2）若 2※（x+1）＝16，求 x的值．
8．材料 1：一般地，n个相同因数 a相乘： 记为 an．如 23＝8，此时，3叫做
以 2为底的 8的对数，记为 log28（即 log28＝3）．那么，log39＝ ，（log216）2+ log381
＝ ．
材料 2：新规定一种运算法则：自然数 1到 n的连乘积用 n！表示，例如：1！＝1，2！
＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…在这种规定下，请你解决下列
问题：
（1）计算 5！＝
（2）已知 x为整数，求出满足该等式的 x： ＝1．
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9．若规定 ＝a﹣b+c﹣d，试计算： 的值，其中 x＝﹣2，y＝1．
10．对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα＝sin（180°﹣α），cosα＝﹣cos（180°﹣α）
（1）求 sin120°，cos120°，sin150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是 1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，
cosB是方程 4x2﹣mx﹣1＝0的两个不相等的实数根，求 m的值及∠A和∠B的大小．
11．若 x是不等于 1的实数，我们把 称为 x的差倒数，如 2的差倒数是 ，﹣1
的差倒数为 ，现已知 ，x2是 x1的差倒数，x3是 x2的差倒数，x4是 x3
的差倒数，…，依此类推．
（1）分别求出 x2，x3，x4的值；
（2）计算 x1?x2?x3的值；
（3）计算 x1x2…x2019的值．
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代数式方程不等式新定义坐标变换型专项训练
一．选择题（共 1 小题）
1．在平面直角坐标系中，点 P（x，y）经过某种变换后得到点 P'（﹣y+1，x+2），我们把点
P'（﹣y+1，x+2）叫做点 P（x，y）的终结点．已知点 P1的终结点为 P2，点 P2的终结点
为 P3，点 P3的终结点为 P4，这样依次得到 P1、P2、P3、P4…Pn，若点 P1的坐标为（2，
0），则点 P2018的坐标为（ ）
A．（﹣3，3） B．（1，4） C．（2，0） D．（﹣2，﹣1）
二．解答题（共 3 小题）
2．对于平面直角坐标系 xOy中的点 P（m，n），定义一种变换：作点 P（m，n）关于 y轴
对称的点 P′，再将 P′向左平移 k（k＞0）个单位得到点 Pk′，Pk′叫做对点 P（m，n）
的 k阶“? ”变换．
（1）求 P（3，2）的 3阶“? ”变换后 P3′的坐标；
（2）若直线 y＝3x﹣3与 x轴，y轴分别交于 A，B两点，点 A的 2阶“? ”变换后得到
点 C，求过 A，B，C三点的抛物线 M的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线 M的对称轴与 x轴交于 D，若在抛物线 M对称轴上存在
一点 E，使得以 E，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，求点 E的坐标．
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3．阅读与理解
在平面直角坐标系 xOy中，点 P（x，y）经过τ变换得到点 P′（x′，y′），该变换记
为τ（x，y）＝（x′，y′），其中 （a，b为常数）．
例如，当 a＝1，且 b＝1时，τ（﹣2，3）＝（1×（﹣2）+1×3，1×（﹣2）﹣1×3）
＝（1，﹣5）．
（1）当 a＝1，且 b＝﹣2时，τ（0，1）＝ ；
（2）若τ（1，2）＝（0，﹣2），则 a＝ ，b＝ ；
（3）设点 P（x，y）是直线 y＝2x上的任意一点，点 P经过变换τ得到点 P′（x′，y′）．若
点 P与点 P′关于原点对称，求 a和 b的值．
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4．对于平面直角坐标系 xOy中的点 P（x，y），若点 Q的坐标为（x+ay，ax+y）（其中 a为
常数，且 a≠0），则称 Q是点 P的“a系联动点”．例如：点 P（1，2）的“3系联动点”
Q的坐标为（7，5）．
（1）点（3，0）的“2系联动点”的坐标为 ；若点 P的“﹣2系联动点”的坐标
是（﹣3，0），则点 P的坐标为 ；
（2）若点 P（x，y）的“a系联动点”与“﹣a系联动点”均关于 x轴对称，则点 P分
布在 ，请证明这个结论；
（3）在（2）的条件下，点 P不与原点重合，点 P的“a系联动点”为点 Q，且 PQ的
长度为 OP长度的 3倍，求 a的值．
