课时跟踪训练（十七） 天地力的综合：万有引力定律
A级—学考达标
1.(2019·日照高一检测)某行星绕太阳运动的轨道如图所示，则以下说法不正确的是( )
A．太阳一定在椭圆的一个焦点上
B．该行星在a点的速度比在b、c两点的速度都大
C．该行星在c点的速度比在a、b两点的速度都大
D．行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积是相等的
解析：选C 行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上，则A正确；对每一个行星而言，行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等，即行星在近日点速度快，在远日点速度慢，则B、D正确，C错误。
2．地球绕太阳运动的轨道是椭圆，因而地球与太阳之间的距离随季节变化。若认为冬至这天地球离太阳最近，夏至最远。则下列关于地球在这两天绕太阳公转时速度大小的说法中正确的是( )
A．地球公转速度是不变的
B．冬至这天地球公转速度大
C．夏至这天地球公转速度大
D．无法确定
解析：选B 冬至这天地球与太阳的连线短，夏至长。根据开普勒第二定律，要在相等的时间内扫过相等的面积，则在相等的时间内，冬至时地球运动的路径要比夏至时长，所以冬至时地球运动的速度比夏至时的速度大，选项B正确。
3．(广东学业水平测试)下列科学家中，用扭秤实验测出引力常数数值的是( )
A．牛顿 B．爱因斯坦
C．卡文迪许 D．伽利略
解析：选C 牛顿提出了万有引力定律，但没有测出引力常量，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验测出了引力常量的大小，故C正确。
4.(2019·德州高一检测)经国际小行星命名委员会批准，紫金山天文台发现的一颗绕太阳运行的小行星被命名为“南大仙林星”。如图，轨道上a、b、c、d四个位置中，该行星受太阳引力最大的是( )
A．a B．b C．c D．d
解析：选A 由万有引力表达式F＝G可知，距离越近，万有引力越大，则由题图可知a位置距离太阳最近，故该行星受太阳引力最大的是a位置，故A正确。
5．(2019·青岛高一检测)卫星在高空某处所受的引力为它在地面某处所受引力的一半，则卫星离地面的高度与地球半径之比为( )
A．(＋1)∶1 B．(－1)∶1
C.∶1 D．1∶
解析：选B 设地球的半径为R，卫星离地面高度为h，所以Fh＝，F地＝，其中Fh＝F地，因此＝，选项B正确。
6．(2018·浙江6月学考)2018年6月5日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“风云二号H星”。假设该卫星质量为m，在离地面高度为h的轨道上绕地球做匀速圆周运动。已知地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则地球对卫星的万有引力大小为( )
A．G B．G
C．G D．G
解析：选D 地球对卫星的万有引力大小为G，其中r为卫星到地心的距离，即
r＝R＋h，故选项D正确。
7．行星绕恒星运动的椭圆轨道的半长轴R的三次方与周期T的平方的比值为常量，设
＝k，则k的大小( )
A．只与恒星的质量有关
B．与恒星的质量及行星的质量有关
C．只与行星的质量有关
D．与恒星的质量及行星的速度有关
解析：选A 根据开普勒定律，所有行星绕同一恒星运动均满足＝k，故k值只和恒星的质量有关，A正确。
8．下列关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( )
A．不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力
B．只有天体间的引力才能用F＝G计算
C．由F＝G知，两质点间距离r减小时，它们之间的引力增大
D．引力常量的大小首先是由牛顿测出来的，且等于6.67×10－11 N·m2/kg2
解析：选C 任何物体间都存在相互作用的引力，但万有引力定律只适用于能看作质点的物体间的引力计算，故A、B均错误；由F＝G可知，r越小，F越大，故C正确；引力常量的大小首先是由卡文迪许测出来的，D错误。
9．月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，运动周期约为27天，应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地多高时，人造地球卫星可以随地球一起转动，就像停留在天空不动一样？(R地＝6 400 km)
解析：设人造地球卫星运行半径为R，周期为T，根据开普勒第三定律有k＝；
同理，设月球轨道半径为R′，周期为T′，则有k＝
由以上两式可得＝
R＝ ＝ ≈6.67R地
在赤道平面内离地面高度：H＝R－R地＝6.67R地－R地＝5.67R地＝5.67×6.4×103 km＝3.63×104 km。
答案：3.63×104 km
B级—选考提能
10．(2018·浙江11月学考)20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt内速度的改变为Δv，和飞船受到的推力F(其他星球对它的引力可忽略)。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动。已知星球的半径为R，引力常量用G表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是( )
A.， B.，
C.， D.，
解析：选D 飞船在Δt时间内的加速度a＝，所以飞船的质量m＝＝；绕星球做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力：G＝mr，又v＝，整理得M＝，故D正确。
11．(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
解析：选C 根据开普勒第三定律＝k，则两卫星周期之比为＝ ＝ ＝8，故C正确。
12.如图所示为一质量为M的球形物体，密度均匀，半径为R，在距球心为2R处有一质量为m的质点。
(1)若将球体挖去一个半径为R/2的小球(两球心和质点在同一直线上，且挖去的球的球心在原来球心和质点连线之间，两球表面相切)，则剩余部分对质点的万有引力的大小是多少？
(2)若再挖去一个半径为的小球，则剩余部分对质点的万有引力的大小是多少？
解析：(1)小球未被挖去时，大球对质点的万有引力为F1＝G。由体积公式知，大球的质量M＝πR3ρ。被挖去的小球的质量为M′＝π3ρ，则有M′＝，它在被挖去前对质点的万有引力为F2＝G。因此，小球被挖去后，剩余部分对质点的万有引力为
F＝F1－F2＝。
(2)由于挖去的小球的质量M′＝，设剩余部分对质点m的万有引力为F
则G＝G＋G＋F
解得F＝。
答案：(1) (2)
