课时跟踪训练（十六） 圆周运动问题分析
A级—学考达标
1.(2019·潍坊高一检测)如图所示，小球P用两根长度相等、不可伸长的细绳系于竖直杆上，随杆转动。若转动角速度为ω，则下列说法不正确的是( )
A．ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力
B．绳子BP的拉力随ω的增大而增大
C．绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力
D．当ω增大到一定程度时，绳子AP的张力大于绳子BP的张力
解析：选D 小球P的重力、绳子BP的张力及绳子AP中可能存在的张力的合力提供小球P做匀速圆周运动的向心力。用正交分解法求出小球P分别在水平、竖直两个方向受到的合力Fx合、Fy合，由牛顿运动定律列方程，Fx合＝mrω2，Fy合＝0，分析讨论可知A、B、C正确，D错误。
2.有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速行驶，做匀速圆周运动。如图所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h，下列说法中正确的是( )
A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越小
D．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
解析：选B 摩托车受力如图所示。 由于FN＝，所以摩托车受到侧壁的压力与高度无关，保持不变，摩托车对侧壁的压力F也不变，A错误；由F＝mgtan θ＝m＝mω2r知，h变化时，向心力F不变，但高度升高，r变大，所以线速度变大，角速度变小，周期变大，选项B正确，C、D错误。
3．如图所示是两种不同的过山车过最高点时的情形，图甲情形中，乘客经过轨道最高点时头朝上，图乙情形中，乘客经过轨道最高点时头朝下，假设两种圆轨道的半径均为R。下列说法正确的是( )
A．图甲中，乘客经过轨道最高点时，若v＜，座椅对乘客的作用力方向竖直向下
B．图甲中，乘客经过轨道最高点时，若v＜，座椅对乘客的作用力方向竖直向上
C．图乙中，乘客经过轨道最高点时，若v＝，座椅对乘客的作用力方向竖直向下
D．图乙中，乘客经过轨道最高点时，若v＞，座椅对乘客的作用力方向竖直向上
解析：选B 题图甲中，若过最高点只有重力提供向心力，则mg＝m，则速度为v＝，若v＜，则合力小于重力，所以人受到向上的支持力，故A错误，B正确；题图乙中，乘客经过轨道最高点时，若过最高点只有重力提供向心力，则mg＝m，则速度为v＝，此时座椅对人没有作用力，故C错误；题图乙中，乘客经过轨道最高点时，若v＞，则合力大于重力，所以人受到座椅施加的向下的压力，故D错误。
4.如图所示，长度均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。今使小球在竖直面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点的速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点的速率为2v时，每根绳的拉力大小为( )
A.mg B.mg
C．3mg D．2mg
解析：选A 当小球在最高点的速率为v时，有mg＝m，其中R＝L；当小球在最高点的速率为2v时，有F＋mg＝m，解得两绳拉力的合力F＝3mg，由几何知识得
FT＝mg，故A正确。
5.如图所示，长为L的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端有固定转轴O。现使小球在竖直平面内做圆周运动，P为圆周轨道的最高点。若小球通过圆周轨道最低点时的速度大小为 ，则以下判断中正确的是( )
A．小球不能到达P点
B．小球到达P点时的速度大于
C．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向上的弹力
D．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向下的弹力
解析：选C 由机械能守恒定律得m2＝mg·2L＋mv，解得vP＝。由轻杆模型可得，06.如图所示是半径为r的竖直光滑圆形轨道，将一玩具小车放到与轨道圆心O处于同一水平面的A点，并给小车一竖直向下的初速度，使小车沿轨道内侧做圆周运动。要使小车不脱离轨道，则在A处使小车获得竖直向下的最小初速度应为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 小车恰好不脱离轨道的条件是在最高点满足mg＝m。小车沿轨道内侧做圆周运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒。设小车在A处获得的最小初速度为vA，由机械能守恒定律得mv＝mgr＋mv2，解得vA＝。故选项C正确。
7.如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R；bc是半径为R的四分之一圆弧，与ab相切于b点。一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从静止开始向右运动。重力加速度大小为g。小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为( )
A．2mgR B．4mgR
C．5mgR D．6mgR
解析：选C 小球从a点运动到c点，根据动能定理得，F·3R－mgR＝mv2，又F＝mg，故v＝2。小球离开c点在竖直方向做竖直上抛运动，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，且水平方向的加速度大小也为g，故小球从c点到最高点所用的时间t＝＝2，水平位移x＝gt2＝2R，根据功能关系，小球从a点到轨迹最高点机械能的增量等于力F做的功，即ΔE＝F·(3R＋x)＝5mgR。
8.如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，A的质量为2m，B、C的质量均为m，A、B离轴的距离为R，C离轴的距离为2R，则当圆台旋转时(设A、B、C都没有滑动)，下列说法错误的是( )
A．C的向心加速度最大
B．B的静摩擦力最小
C．当圆台转速增大时，A比B先滑动
D．当圆台转速增大时，C将最先滑动
解析：选C A、B、C三个物体随转台一起转动，它们的角速度ω相等。由公式
F静＝Ma＝Mrω2，可知C的向心加速度最大，B的静摩擦力最小，故选项A、B均正确；当转速增大时，静摩擦力达到最大，有F静max＝μmg＝mrω，得最大角速度ωmax＝，可见A、B应同时滑动，而C将最先滑动，故选项C错误，D正确。
9.原长为L，劲度系数为k的轻弹簧一端固定一小铁块，另一端连接在竖直轴OO′上，小铁块放在水平圆盘上，若圆盘静止，把弹簧拉长后将小铁块放在圆盘上，使小铁块能保持静止时弹簧的最大长度为，现将弹簧长度拉长到后，把小铁块放在圆盘上，在这种情况下，圆盘绕中心轴OO′以一定角速度匀速转动，如图所示。已知小铁块的质量为m，为使小铁块不在圆盘上滑动，圆盘转动的角速度ω最大不得超过多少？
解析：以小铁块为研究对象，圆盘静止时：设铁块受到的最大静摩擦力为Fmax，由平衡条件得Fmax＝。
圆盘转动的角速度ω最大时，铁块受到的摩擦力Fmax与弹簧的拉力kx的合力提供向心力，
由牛顿第二定律得kx＋Fmax＝mω，
又因为x＝
解以上三式得角速度的最大值ωmax＝。
答案：
B级—选考提能
10．如图所示，一水平放置的木板上放有砝码，砝码与木板间的动摩擦因数为μ，让木板在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，假如运动中木板始终保持水平，砝码始终没有离开木板，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，那么下列说法正确的是( )
A．在通过轨道最高点时砝码处于超重状态
B．在经过轨道最低点时砝码所需静摩擦力最大
C．匀速圆周运动的速度小于
D．在通过轨道最低点和最高点时，砝码对木板的压力之差为砝码重力的6倍
解析：选C 在通过轨道最高点时，向心加速度竖直向下，砝码处于失重状态，选项A错误；木板和砝码在竖直平面内做匀速圆周运动，砝码受到重力mg，木板支持力FN和静摩擦力Ff，所受合外力提供向心力，由于重力mg和支持力FN在竖直方向上，因此只有当砝码所需向心力在水平方向上时静摩擦力有最大值，最大静摩擦力必须大于或等于砝码所需的向心力，即μFN≥m，此时在竖直方向上FN＝mg，故v≤，选项B错误，C正确；在最低点，FN1－mg＝m，在最高点，mg－FN2＝m，则FN1－FN2＝2m≤2μmg，故选项D错误。
11.[多选]如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形轨道内做圆周运动，下列有关说法中正确的是( )
A．小球能够通过最高点时的最小速度为0
B．小球能够通过最高点时的最小速度为
C．如果小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道的外壁有作用力
D．如果小球在最高点时的速度大小为，则小球通过最高点时与管道间无相互作用力
解析：选ACD 因为管道内壁可以提供支持力，故小球在最高点的最小速度可以为零。若在最高点v>0且较小时，球做圆周运动所需的向心力由球的重力跟管道内壁对球向上的支持力FN1的合力提供，即mg－FN1＝m，当FN1＝0时，v＝ ，此时只有重力提供向心力。由此知，速度在0 时，球的向心力由重力跟管道外壁对球的向下的弹力FN2共同提供，综上所述，选项A、C、D正确。
12．(2019·浙江6月学考)如图所示是质量可忽略不计的秋千，悬点O离地面高度H＝
2 m。质量m＝5 kg的小猴(可视为质点)趴在秋千上，它到悬点O的距离l1＝1.6 m。饲养员在图中左侧推秋千，每次做功都为W＝5 J。秋千首次从最低点被推动，以后每次推动都是在秋千荡回左侧速度变为零时进行。若不计空气阻力，求：(g取10 m/s2)
(1)经1次推动，小猴荡起的最高点比最低点高多少？
(2)经多少次推动，小猴经过最低点的速度v＝4 m/s?
(3)某次小猴向右经过最低点时，一个挂在秋千绳上C点的金属小饰物恰好脱落，并落在地上D点。D到C的水平距离x＝0.96 m，C到O的距离l2＝1.28 m，则小猴此次经过最低点时对秋千的作用力多大？
解析：(1)推动一次，
W＝mgh
解得：h＝0.1 m。
(2)推动n次后，回到最低点，由动能定理
nW＝mv2
得：n＝8。
(3)小饰物下落时间
H－l2＝gt2，
解得t＝ s
饰物飞出时的速度
v1＝＝ m/s
设小猴经过最低点时速度为v2
＝
得：v2＝ m/s
对小猴受力分析，有
F－mg＝
解得：F＝81.25 N
由牛顿第三定律得，小猴对秋千的作用力为81.25 N。
答案：(1)0.1 m (2)8次 (3)81.25 N
