课时跟踪检测（五） 方差与标准差
1．某高三学生在连续五次月考中的数学成绩(单位：分)为：90,90,93,94,93，则该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数和方差分别为( )
A．92,2.8 B．92,2
C．93,2 D．93,2.8
解析：选A 该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数为＝×(90＋90＋93＋94＋93)＝92，方差为s2＝×[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝2.8.故选A.
2．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这五名男生成绩的中位数是88
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
解析：选C 对A，分层抽样要求男女生总人数之比等于男女生抽样人数之比，所以A错．对B，五名男生的中位数是90，所以B错．对C，男生方差为8，女生方差为6，所以C正确．对D，抽取的样本平均成绩不能代表总体平均成绩．所以D错．
3．高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x，y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|x－y|的值为( )
A．15 B．16
C．17 D．18
解析：选D 由题意得＝108， ①
＝35.2， ②
由①②解得或
所以|x－y|＝18.故选D.
4．对甲厂、乙厂、丙厂所生产的袋装食品各抽检了20袋，称得质量如条形图所示．
s1，s2，s3分别表示甲厂、乙厂、丙厂这次抽检质量的标准差，则有( )
A．s2>s1>s3 B．s1>s3>s2
C．s3>s1>s2 D．s3>s2>s1
解析：选C 根据题意，
甲厂的平均数1＝×(5×7＋5×8＋5×9＋5×10)＝8.5，
方差s＝×[5×(7－8.5)2＋5×(8－8.5)2＋5×(9－8.5)2＋5×(10－8.5)2]＝1.25，标准差s1＝；
乙厂的平均数2＝×(4×7＋6×8＋6×9＋4×10)＝8.5，
方差s＝×[4×(7－8.5)2＋6×(8－8.5)2＋6×(9－8.5)2＋4×(10－8.5)2]＝1.05，标准差s2＝；
丙厂的平均数3＝×(6×7＋4×8＋4×9＋6×10)＝8.5，
方差s＝×[6×(7－8.5)2＋4×(8－8.5)2＋4×(9－8.5)2＋6×(10－8.5)2]＝1.45，标准差s3＝.
所以s3>s1>s2.故选C.
5．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差见表：
甲
乙
丙
丁
平均数
8.5
8.8
8.8
8
方差s2
3.5
3.5
2.1
8.7
则参加奥运会的最佳人选应为________．
解析：由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定．
答案：丙
6．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2＋y2的值为________．
解析：由(x＋y＋10＋11＋9)＝10，[(x－10)2＋(y－10)2＋0＋1＋1]＝2，联立解得x2＋y2＝208.
答案：208
7．一组数据的每一个数据都减去80，得到一组新数据，若求得的新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来的数据的平均数和方差分别是________．
解析：由平均数与方差的性质知原来数据的平均数1.2＋80＝81.2.方差不变．
答案：81.2,4.4
8．某市有210名初中生参加数学竞赛预赛，随机调阅了60名学生的答卷，成绩如表：
成绩
1分
2分
3分
4分
5分
6分
7分
8分
9分
10分
人数分布
0
0
0
6
15
21
12
3
3
0
(1)求样本的平均成绩和标准差(精确到0.01分)；
(2)若规定预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛，试估计有多少名学生可以参加复赛．
解：(1)＝×(4×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3)＝6，
s2＝×[6×(4－6)2＋15×(5－6)2＋21×(6－6)2＋12×(7－6)2＋3×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.5.
∴s≈1.22，
故样本的平均成绩为6分，标准差约为1.22.
(2)在60名学生中，有12＋3＋3＝18(名)学生预赛成绩在7分或7分以上，
∴210人中有×210＝63(名)学生的预赛成绩在7分或7分以上，故大约有63名学生可以参加复赛．
9．某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：
甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67；
乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.
经预测，跳高1.65 m就很可能获得冠军．该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70 m方可获得冠军呢？
解：甲的平均成绩和方差如下：
甲＝(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)＝1.69，
s＝[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.000 6.
乙的平均成绩和方差如下：
乙＝(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68，
s＝[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.003 15.
显然，甲的平均成绩好于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定．由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛．
在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70 m以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70 m的可能性大于甲，所以若跳高1.70 m方可获得冠军，应派乙参赛．
10．总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，求使该总体的方差最小时a，b的取值．
解：∵数据共有10个，且总体的中位数为10.5，∴a＋b＝21，经计算，此时样本数据的平均数是10，∴使该总体的方差最小，则只要(a－10)2＋(b－10)2最小即可，而(a－10)2＋(b－10)2＝(a－10)2＋(a－11)2＝2a2－42a＋221，由二次函数的图象可知当a＝10.5时，该总体的方差最小，此时b＝10.5.
课时跟踪检测（四） 平均数及其估计
1．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( )
A．－1 B．1
C．－3 D．3
解析：选C 少输入90，＝3，平均数少3，求出的平均数减去实际的平均数等于－3.
2．从某中学高三年级甲、乙两个班各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)如下：
甲：79 78 80 x 85 92 96
乙：72 81 81 y 91 91 96
其中甲班学生成绩的平均分和乙班学生成绩的中位数都是85，则x＋y的值为( )
A．167 B．168
C．169 D．170
解析：选D 由数据知，乙班学生成绩的中位数是y，
∴y＝85.
又甲班学生成绩的平均分为85，即79＋78＋80＋x＋85＋92＋96＝85×7，解得x＝85.∴x＋y＝170.故选D.
3．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1－2,3x2－2,3x3－2,3x4－2,3x5－2的平均数为( )
A．2 B．1
C．3 D．4
解析：选D 平均数＝3－2＝3×2－2＝4.
4．有容量为100的样本，数据分组及各组的频数、频率如下：
[12.5,14.5)，6,0.06；[14.5,16.5)，16,0.16；[16.5，18.5)，18,0.18；[18.5,20.5)，22,0.22；[20.5,22.5)，20,0.20；[22.5,24.5)，10,0.10；[24.5,26.5]，8,0.08.则估计总体的平均数为( )
A．19.40 B．19.42
C．19.44 D．19.46
解析：选B 由于每组数据是一个范围，所以可以用组中值近似地表示平均数．
法一：总体的平均数约为(13.5×6＋15.5×16＋17.5×18＋19.5×22＋21.5×20＋23.5×10＋25.5×8)＝19.42.
故总体的平均数约为19.42.
法二：组中值与对应频率积的和为13.5×0.06＋15.5×0.16＋17.5×0.18＋19.5×0.22＋21.5×0.20＋23.5×0.10＋25.5×0.08＝19.42.
故总体的平均数约为19.42.
5．一个企业，30%的员工年收入为1万元，65%的员工年收入为3万元，5%的员工年收入为11万元，则这个企业员工的年平均收入是________万元，年收入的中位数是________万元．
解析：年平均收入为1×0.3＋3×0.65＋11×0.05＝2.8，中位数为3.
答案：2.8 3
6．一个高中研究性学习小组对本地区2014年至2016年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如图)，根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭________万盒．
解析：2014年：30×1.0＝30(万)，2015年：45×2.0＝90(万)，2016年：90×1.5＝135(万)，＝(30＋90＋135)＝85(万)．
答案：85
7．某餐厅共有7名员工，所有员工的工资情况如下表：
人员
经理
厨师甲
厨师乙
会计
服务员甲
服务员乙
勤杂工
人数
1
1
1
1
1
1
1
工资
3 000
700
500
450
360
340
320
解答下列问题：
(1)用平均数还是用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当？________.
(2)去掉经理的工资后，其他员工的平均工资是________，是否也能反映该餐厅员工工资的一般水平？________.(填“能”或“不能”)
解析：(1)用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当．
(2)去掉经理的工资后，其他员工的平均工资为(700＋500＋450＋360＋340＋320)÷6＝445.平均工资能反映该餐厅员工工资的一般水平．
答案：(1)中位数 (2)445 能
8．某地区全体九年级的3 000名学生参加了一次科学测试，为了估计学生的成绩，从不同学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下：
100分12人，90分30人，80分18人，70分24人，60分12人，50分4人．
请根据以上数据估计该地区3 000名学生的平均分、合格率(60或60分以上均属合格)．
解：平均分为
＝79.4(分)，
因为(12＋30＋18＋24＋12)÷100×100%＝96%，
所以样本的平均分是79.4分，合格率是96%，由此来估计总体3 000名学生的平均分是79.4分，合格率是96%.
9．据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：
职务
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
月工资
5 500
5 000
3 500
3 000
2 500
2 000
1 500
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数．
(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．
解：(1)平均数＝1 500＋(4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20)≈1 500＋591＝2 091(元)，
中位数是1 500元，众数是1 500元．
(2)平均数＝1 500＋(28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20)≈1 500＋1 788＝3 288(元)，
中位数是1 500元，众数是1 500元．
(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平．因为公司中少数人的工资与大多数人的工资差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．
10．有一组数据：x1，x2，…，xn(x1＜x2＜…＜xn)的算术平均数为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均数为9；若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均数为11.
(1)求出第一个数x1关于n的表达式及第n个数xn关于n的表达式；
(2)若x1，x2，…，xn都是正整数，试求第n个数xn的最大值，并举出满足题目要求且xn取到最大值的一组数据．
解：(1)依条件得
由①－②得xn＝n＋9.又由①－③得x1＝11－n.
(2)由于x1是正整数，故x1＝11－n≥1?1≤n≤10，故xn＝n＋9≤19.当n＝10时，x1＝1，x10＝19，x2＋x3＋…＋x9＝80，此时，x2＝6，x3＝7，x4＝8，x5＝9，x6＝11，x7＝12，x8＝13，x9＝14.
