课时跟踪检测（六） 线性回归方程
1．一个口袋中有大小不等的红、黄、蓝三种颜色的小球若干个(大于5个)，从中取5次，那么取出红球的次数和口袋中红球的数量是( )
A．确定性关系 B．相关关系
C．函数关系 D．无任何关系
解析：选B 每次从袋中取球取出的球是不是红球，除了和红球的个数有关外，还与球的大小等有关系，所以取出红球的次数和口袋中红球的数量是一种相关关系．
2．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下：
x
2
4
5
6
8
y
20
40
60
70
80
根据上表，利用最小二乘法求得它们的回归直线方程为＝10.5x＋a，据此模型预测当x＝10时，y的估计值为( )
A．105.5 B．106
C．106.5 D．107
解析：选C 根据表中数据计算，得＝×(2＋4＋5＋6＋8)＝5，＝×(20＋40＋60＋70＋80)＝54，
代入回归直线方程＝10.5x＋a中，
得a＝－10.5 ＝54－52.5＝1.5，
∴回归直线方程为＝10.5x＋1.5.
当x＝10时，y的估计值为＝10.5×10＋1.5＝106.5.
3．为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了5次实验，得到5组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，由最小二乘法求得回归直线方程为＝0.67x＋54.9.若已知x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝150，则y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝( )
A．75 B．155.4
C．375 D．466.2
解析：选C 因为＝×150＝30，所以＝0.67×30＋54.9＝75.所以y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝5＝5×75＝375.
4．一位母亲记录了自己儿子3～9岁的身高数据(单位：cm)，由此建立的身高与年龄的回归模型为＝7.19x＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )
A．身高一定是145.83 cm
B．身高在145.83 cm以上
C．身高在145.83 cm左右
D．身高在145.83 cm以下
解析：选C 由回归模型可得＝7.19×10＋73.93＝145.83，所以预测这个孩子10岁时的身高在145.83 cm左右．
5.如图，从5组数据对应的点中去掉点________后，剩下的4组数据的线性相关性就更好了．
解析：由散点图知：呈带状区域时有较强的线性相关关系，故去掉D点．
答案：D
6．对某台机器购置后的运营年限x(x＝1,2,3，…)与当年利润y的统计分析知具备线性相关关系，回归方程为y＝10.47－1.3x，估计该台机器使用________年最合算．
解析：只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即y≥0，所以10.47－1.3x≥0，解得x≤8.05，所以该台机器使用8年最合算．
答案：8
7．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝bx＋a.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是________．
①b＞b′，a＞a′；②b＞b′，a＜a′；③b＜b′，a＞a′；④b＜b′，a＜a′.
解析：＝＝，
＝＝，
b＝＝，
a＝－b＝－，b′＝＝2＞b，a′＝－2＜a.
答案：③
8．某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(x个月)和市场占有率(y%)的几组相关对应数据：
x
1
2
3
4
5
y
0.02
0.05
0.1
0.15
0.18
(1)根据表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
(2)根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%.(精确到月)
附：b＝，a＝－b .
解：(1)经计算得＝3，＝0.1，iyi＝1×0.02＋2×0.05＋3×0.1＋4×0.15＋5×0.18＝1.92，＝12＋22＋32＋42＋52＝55，所以b＝＝0.042, a＝0.1－0.042×3＝－0.026，
所以线性回归方程为＝0.042x－0.026.
(2)由(1)中的回归方程可知，市场占有率与上市时间正相关，即上市时间每增加1个月，市场占有率平均增加0.042个百分点．
由＝0.042x－0.026>0.5，
解得x>12.5.
故预计上市13个月时，市场占有率能超过0.5%.
9．以下是江苏省某城镇收集到的新房屋的销售价格y和房屋的大小x的数据：
房屋大小x(m2)
115
110
80
135
105
销售价格y(万元)
24.8
21.6
18.4
29.2
22
(1)画出数据的散点图；
(2)求回归方程；
(3)估算一下96 m2的房价．
解：(1)散点图如图所示．
(2)∵＝109，＝23.2，
＝60 975，iyi＝12 952.
b＝＝＝≈0.196 2，
a＝－b＝23.2－0.196 2×109≈1.814 2.
∴回归直线方程为＝0.196 2x＋1.814 2.
(3)当x＝96时，≈20.6.
因此，96 m2的新房屋大约为20.6万元．
10．某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝，a＝－b .
解：(1)根据数据，可知，＝＝4，
＝＝4.3，
(ti－)(yi－)＝(－3)×(1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，(ti－)2＝(－3)2＋(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＋32＝28，所以b＝＝＝0.5，
a＝－b ＝4.3－0.5×4＝2.3.
所以y关于t的线性回归方程为＝0.5t＋2.3.
(2)因为b＝0.5>0，
所以2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入稳步增长，当t＝11时，＝0.5×11＋2.3＝7.8，
所以预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入为7 800元.
