基础要求
1．a＋b>c＋d的必要而不充分条件是( )
A．a>c B．b>d
C．a>c且b>d D．a>c或b>d
解析：A、B既不充分也不必要；C是充分而不必要；D是必要而不充分条件．可用反证法证明如下：若a>c或b>d不成立，则a≤c且b≤d，相加，a＋b≤c＋d，与a＋b>c＋d，矛盾，故条件是必要的．
又取a＝10，b＝1，c＝4，d＝8，知条件是不充分的．
答案：D
2. 用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”的否定为：“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”，故选A.
答案：A
3．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时正确的反设为( )
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c都是偶数
C．a、b、c中至少有两个偶数
D．a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数
解析：恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数．故选D.
答案：D
4．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)．试证：数列{xn}或者对任意正整数n都满足xnxn＋1.当此题用反证法否定结论时，应为( )
A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1
B．存在正整数n，使xn＝xn＋1
C．存在正整数n，使xn≥xn－1且xn≥xn＋1
D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0
解析：结论是说数列{xn}或单调增加或单调减少，总之是严格单调数列．其否定应是：或为常数列或为摆动数列．因而其中存在一个项xn，或不比两边的项大，或不比两边的项小，即xn≤xn－1且xn≤xn＋1或xn≥xn－1且xn≥xn＋1合并为(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0.故选D.
答案：D
5．设x，y，z∈R＋，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数( )
A．至少有一个不大于2 B．都小于2
C．至少有一个不小于2 D．都大于2
解析：∵a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，
因此a，b，c至少有一个不小于2.
答案：C
能力要求
1．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．
解析：“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．
答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
2．完成反证法证题的全过程．
题目 设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：反设p为奇数，则________均为奇数．①
因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________②
＝________③
＝0.
但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．
解析：反设p为奇数，则a1－1，a2－2，…a7－7均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有：
奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0.
但奇数≠偶数，这一矛盾说明，p为偶数．
答案：a1－1，a2－2，…a7－7
(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)
3．求证：、、不能为同一等差数列的三项．
证明：设、、为某一首项为a，公差为d的等差数列{an}的三项，则－＝md，①
－＝nd，②
(其中m、n为整数且不为零)
两式相除得＝，即n＋m＝(m＋n).
∴2n2＋5m2＋2mn＝3(m＋n)2.
∴＝
∵为有理数，为无理数，
∴≠.
∴因此假设不成立，∴原命题正确．
4．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.
∵a、b、c都是小于1的正数，
∴1－a,1－b,1－c都是正数．
≥>＝，
同理>，>.
三式相加，得＋＋>，
即>，矛盾．
所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
拓展要求
设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
证明：设数列{cn}成等比数列，则
(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)，①
{an}、{bn}是等比数列，设公比分别为p、q，有
a＝an－1·an＋1，b＝bn－1·bn＋1.②
整理①式，并将②式代入得
2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1，
∴2anbn＝anp·＋·bnq，即2＝＋.
∵p≠q，∴＋>2，推出矛盾．
故{cn}不能成等比数列．
