本章综合测试
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100分，考试时间100分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共32分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分．)
1．复数＝( )
A．－－i B．－＋i
C.－i D.＋i
解析：＝＝＝.
故选C.
答案：C
2．若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：x＋yi＝＝4－3i，所以复数的模为5.当然也可以利用复数相等来求得x，y的值．即－y＋xi＝3＋4i，x＝4，y＝－3，选D.
答案：D
3．(2019年高考·课标全国卷Ⅲ) 若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
解析：z＝＝＝＝1＋i.
故选D.
答案：D
4．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为( )
A．3＋5i B．3－5i
C．－3＋5i D．－3－5i
解析：由z(2－i)＝11＋7i得：
z＝＝＝＝3＋5i
答案：A
5．复数z满足|z|－z＝＋i，则z＝( )
A．－－i B．－＋i
C.－i D．－＋i
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)
－a－bi＝＋i
∴z＝－i.
答案：C
6．复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2∈R的充要条件是( )
A．a2＋b2＝0 B．a＝0且b≠0
C．a≠0 D．ab＝0
解析：z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R
即2ab＝0 ∴ab＝0.
答案：D
7．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
解析：因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，
又此点在第二象限，所以
解得a<－1，故选B.
答案：B
8．若z＝a＋bi(a>0，b>0)，且ab＝2，则|z＋i|的最小值为( )
A. B．2
C．2 D．4
解析：|z＋i|＝|a＋bi＋(a－bi)i|
＝|(a＋b)＋(a＋b)i|＝(a＋b)|1＋i|
＝(a＋b)≥·2＝4，
当且仅当a＝b＝时，“＝”成立，选D.
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共68分)
填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分．)
9．(2018年高考·江苏卷)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．
解析：复数z＝＝(1＋2i)(－i)＝2－i的实部是2.
答案：2
10．在复平面内，复数的6＋5i与复数－3＋4i分别表示向量与，则表示向量的复数是__________．
解析：z ＝z －z ＝6＋5i－(－3＋4i)＝9＋i.
答案：9＋i
11．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则a＋b＝__________.
解析：由(a＋i)i＝－1＋ai＝b＋i.根据复数相等的定义知a＝1，b＝－1.∴a＋b＝0.
答案：0
12．已知复数z＝，则|z|＝__________.
解析：z＝＝·
＝＝＋i.
∴|z|＝＝.
答案：
13．若复数z满足|z＋4|＝|z－4|＝5，则z＝__________.
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则
解之得 ∴z＝±3i.
答案：±3i
14．给出下列命题：①若z∈C，则z2≥0；
②若a，b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
④若z＝，则z3＋1对应的点在第一象限．
其中正确命题序号为__________(填序号)．
解析：①错误，例如z＝i，则i2＝－1＜0
②错误，两个复数不能比较大小
③错误，当a＝－1时 ，(a＋1)i是实数
④正确，z＝＝＝－i，
则(－i)3＋1＝i＋1在第一象限．
答案：④
三、解答题(本题共6小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
15．(6分)若复数(m2＋1)＋(m2－m)i与复数2＋(m－1)i是共轭复数，求实数m的值．
解：由共轭复数的概念知，∵m∈R
∴
∴m＝±1.
16．(6分)设z∈C，|z|＋z＝2＋＋i，求z.
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)
＋x＋yi＝2＋＋i
由复数相等的充要条件，得
∴，∴z＝2＋i.
17．(6分)已知：z1＝－3＋i，z2＝5－3i对应的向量分别为和，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形OZ1CZ2，求向量，和对应的复数．
解：如图1所示：由复数的加减法的几何意义知＝＋＝z1＋z2＝－3＋i＋5－3i＝2－2i
＝－＝z2－z1＝5－3i－(－3＋i)
＝8－4i＝－8＋4i.
18．(8分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2，求复数z.
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)由题意知
z2＝(x＋yi)2＝x2＋2xyi－y2
即
∴或，∴z＝1＋i或z＝－1－i.
19．(8分)若复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2＋i其中a∈R，若|z1－z2|＜|z1|，求a的取值范围．
解：由已知得z1＝＝
＝＝＝2＋3i，
∴|z1|＝
由|2＋3i－(a－2)－i|＜|z1|得
|4－a＋2i|＜，即＜
∴a2－8a＋7＜0 ∴1＜a＜7.
20．(10分)已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝且|ω|＝5，求复数z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)
由|ω|＝＝＝＝5
∴|z|＝5
(1＋3i)(a＋bi)＝(a－3b)＋(3a＋b)i为纯虚数
或
∴z＝15＋5i或z＝－15－5i.
