本章综合测试
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分120分，考试时间100分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分)
1．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
解析：根据正相关与负相关的定义，由散点图，可以看出第一个图散点分布是从左上角到右下角的区域，所以变量y与x负相关，第二个图散点分布是从左下角到右上角的区域，所以变量u与v正相关，故选C.
答案：C
2．试有一个回归方程 ＝2－1.5x，则变量x增加一个单位时( )
A. 平均增加1.5个单位 B．平均增加2个单位
C. 平均减少1.5个单位 D. 平均减少2个单位
解析：2－1.5(x＋1)－(2－1.5x)＝－1.5.
答案：C
3．已知x、y之间的数据如下表所示，则y与x之间的线性回归方程过点( )
x
1.08
1.12
1.19
1.28
y
2.25
2.37
2.40
2.55
A.(0,0) B．(，0)
C．(0，) D．(，)
答案：D
4．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为 ＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
解析：由回归方程为 ＝0.85x－85.71知y随x的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程的过程知 ＝bx＋a＝bx＋－b(a＝－b)，所以回归直线过样本点的中心(，)，利用回归方程可以预测估计总体，但不能为准确值，所以D不正确. 故选D.
答案：D
5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程 ＝ x＋ 中的 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
解析：由统计数据计算得：＝3.5，＝42.
将＝3.5，＝42代入方程得：42＝9.4×3.5＋
∴ ＝9.1.
∴当x＝6时， ＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)，
故选B.
答案：B
6．假设有两个分类变量X，Y其2×2列联表如下表
y1
y2
x1
a
b
x2
c
d
对于以下数据，对同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为( )
A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2
B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2
C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
D．a＝2，b＝3，c＝5，d＝4
解析：检验两个分类变量是否有关系，只需要估算一下(ad－bc)2，值越大，两个变量之间的关系越强．
答案：D
7．已知观测得到如下数据，如下表
未感冒
患感冒
合计
用某种药
252
248
500
未用某种药
224
276
500
合计
476
524
1000
则你认为用某种药与患感冒有关系的程度是( )
A．95% B．90%
C．97.5% D．无证据显示其有关系
解析：假设患感冒与用药没有关系，计算得K2＝3.143>2.706，所以有90%的把握认为患感冒与用药有关系．
答案：B
8．对于回归分析，下列说法错误的是( )
A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定
B．线性相关系数可以是正的或负的
C．回归分析中，如果r2＝1或r＝±1，说明x与y之间完全线性相关
D．样本相关系数r∈(－1,1)
解析：由定义知相关系数|r|≤1，故D错误．
答案：D
9．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为 ＝0.66x＋1.562，某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )
A．83% B．72%
C．67% D．66%
解析：将y＝7.675代入回归方程，可计算得x≈9.26，
7．675÷9.26≈0.83，即约83%.
答案：A
10．某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有下表关系：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
假如在样本中有一个数据弄错了，则最可能的数据是( )
A．(4,40) B．(5,60)
C．(6,50) D．(8,70)
解析：(5,60)离回归直线最远．
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题，共80分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．)
11．已知一个回归方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为__________．
答案：11.69
12．在一次实验中，测得(x，y)的四组值分别是A(0,66.7)，B(10,76.0)，C(20,85.0)，D(50,112.3)，E(70,128)，则回归方程为__________．
答案：y＝0.880 9x＋67.174
13．某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有下表关系：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
若y与x之间是线性相关关系，若销售额不低于82.5万元，则广告费支出最少是__________．
解析：画散点图建立线性模型，使用最小二乘法求得回归方程为：y＝17.5＋6.5x
又因为销售额不低于82.5万元，解得x≥10.
答案：10
14．如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上，解释变量和预报变量的残差平方和是__________．
解析：∵d＝0.
答案：0
三、解答题(本题共4小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
15．(16分)有甲、乙两个班级的学生进行数学考试，按学生考试及格和不及格统计成绩，不及格的共17人，其中甲班12人；及格的共74人，其中乙班41人．你有多大把握认为及格与班级有关，请说明理由．
附表：K2的临界值表：
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解：列出班级与及格与否的2×2列联表，
及格
不及格
总计
甲班
33
12
45
乙班
41
5
46
总计
74
17
91
则随机变量
K2＝
＝≈3.736 7>2.706
故有90%的把握认为及格与班级有关．
16．(16分)已知回归直线方程是： ＝ x＋ ，
假设学生在高中时的数学成绩和物理成绩是线性相关的，若10个学生在高一下学期某次考试中数学成绩x(总分150分)和物理成绩y(总分100分)如下：
x
122
131
126
111
125
136
118
113
115
112
y
87
94
92
87
90
96
83
84
79
84
(1)试求这次高一数学成绩和物理成绩间的线性回归方程(系数精确到0.001)；
(2)若小红这次考试的物理成绩是93分，你估计她的数学成绩是多少分呢？
解：(1)根据公式计算得： ≈0.538， ≈22.556
所以回归直线方程是 ＝ x＋ ＝0.538x＋22.556
(2)由 ＝0.538x＋22.556＝93解得：x≈131
17．(16分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y＝bx＋a中，
其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为 ＝ x＋ .
解：
＝＝0.3
a＝－b＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4；
(2)由于线性回归方程中b＝0.3>0，所以x，y之间是正相关关系；
(3)将x＝7代入线性回归方程可以预测该家庭月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
18．(16分)要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩，如下表所示：
x
63
67
45
88
81
71
52
99
58
76
y
65
78
52
82
92
89
73
98
56
75
表中x是学生入学成绩，y是指高一年级期末考试数学成绩．
(1)画出散点图；
(2)求回归直线方程；
(3)若某学生王明亮的入学成绩为80分，试预报他在高一年级期末考试中的数学成绩为多少？
解：(1)作出散点图如图3所示，从散点图可以看出，这两个变量具有线性相关关系．
(2)列表计算
x
y
x2
y2
xy
63
65
3 969
4 225
4 095
67
78
4 489
6 084
5 226
45
52
2 025
2 704
2 340
88
82
7 744
6 724
7 216
81
92
6 561
8 464
7 452
71
89
5 041
7 921
6 319
52
73
2 704
5 329
3 796
99
98
9 801
9 604
9 702
58
56
3 364
3 136
3 248
76
75
5 776
5 625
5 700
700
760
51 474
59 816
55 094
可求得＝(63＋67＋…＋76)＝70，
＝(65＋78＋…＋75)＝76.
＝≈0.765 56，
＝76－0.765 56×70≈22.41，
所求的线性回归直线方程为 ＝22.41＋0.765 56x.
(3)若学生王明亮入学成绩80分，代入上面线性回归直线方程 ＝22.41＋0.765 56x，可求得 ≈84(分)．
故王明亮同学高一期末数学成绩预报值为84分．
