基础要求
1．如果公差不为零的等差数列中的第二、第三、第六项构成等比数列，那么这个等比数列的公比等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：综合法推知d＝－2a1，于是q＝3.
答案：C
2．函数f(x)＝ln(ex＋1)－( )
A．是偶函数，但不是奇函数
B．是奇函数，但不是偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
解析：(综合法)以－x代x，f(x)不变选A.
答案：A
3．函数y＝f(x)图象关于直线x＝1对称，若当x≤1时，f(x)＝(x＋1)2－1，则当x>1时，f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝(x＋3)2－1 B．f(x)＝(x－3)2－1
C．f(x)＝(x－3)2＋1 D．f(x)＝(x－1)2－1
解析：设x>1，P(x，y)为f(x)图象上任一点，则P关于x＝1的对称点P′(2－x，y)在f(x)＝(x＋1)2－1上，故y＝(2－x＋1)2－1＝(x－3)2－1.
答案：B
4．函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是______．
解析：y＝f(x＋2)是偶函数．
则f(x＋2)＝f(－x＋2)，则x＝2是f(x)的对称轴．
又f(x)在(0,2)上是增函数，
∴f(1)
f(0.5)＝f(3.5)∴f(3.5)答案：f(3.5)5．(2016年高考·课标全国卷Ⅱ改编)证明：当a，b∈(－1,1)时，|a＋b|<|1＋ab|.
证明：当a，b∈(－1,1)时，
即－1从而(a＋b)2－(1＋ab)2
＝a2＋b2－a2b2－1
＝(a2－1)(1－b2)<0.
因此|a＋b|<|1＋ab|.
能力要求
1．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，如图1所示，证明直线AC经过原点O.
证明：因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(，0)，所以经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋，
代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0.
若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1、y2是该方程的两个根，所以y1y2＝－p2.
因为BC∥x轴，且点C在准线x＝－上，
所以点C的坐标为(－，y2)．
故直线CO的斜率为k＝＝＝.
即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.
2．求证：－2cos(α＋β)＝.
证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
两边同除以sin α得－2cos(α＋β)＝.
3．△ABC的三边长a、b、c的倒数成等差数列，求证：B<90°.
证明：由题意知＝＋，∴b(a＋c)＝2ac.
∵cosB＝≥＝1－
＝1－＝1－，
又△ABC三边长a、b、c满足a＋c>b，
∴<1.∴1－>0.
∴cosB>0，即B<90°.
4．已知sinα是sinθ、cosθ的等差中项，sinβ是sinθ、cosθ的等比中项．
求证：cos4β－4cos4α＝3.
证明：由已知sinθ＋cosθ＝2sinα，①
sinθ·cosθ＝sin2β，②
①2－2×②得4sin2α－2sin2β＝1.③
又sin2α＝，sin2β＝，代入③得，
2cos2α＝cos2β，∴4cos22α＝cos22β.
∴4·＝.
∴cos4β－4cos4α＝3.
拓展要求
设△ABC的三条高分别为ha、hb、hc，r为内切圆半径，且ha＋hb＋hc＝9r，试证该三角形为等边三角形．
证明：设三角形三边分别为a、b、c，三角形面积为S，
由三角形面积公式得ha＝，hb＝，hc＝.
则有ha＋hb＋hc＝2S.
又S＝(a＋b＋c)·r，ha＋hb＋hc＝9r.
∴(a＋b＋c)＝9.
∴a2b＋a2c＋b2a＋b2c＋c2a＋c2b－6abc＝0.
因式分解有a(b－c)2＋b(c－a)2＋c(a－b)2＝0.
∵a>0，b>0，c>0，
∴(b－c)2＝(c－a)2＝(a－b)2＝0.
即a＝b＝c，故△ABC为等边三角形．
基础要求
1．已知函数f(x)＝3＋ax－1(a>0且a≠1)，则其反函数f－1(x)的图象必过定点( )
A．(1,4) B．(2,5)
C．(5,2) D．(4,1)
解析：原函数过(1,4)，故反函数图象过点(4,1)．
答案：D
2．如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4%，那么经过x[x∈(0，＋∞)]年可以增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致应为下图中的( )
解析：由选项入手f(0)＝1，排除B.平均增长率相关问题为指数函数型，选D.
答案：D
3．函数f(x)＝log(27＋6x－x2)的递增区间是( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．[3,9) D．(－3,3]
答案：C
4．如图1所示，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1
(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．
图1
解析：从结论入手，由A1C⊥B1D1易证B1D1⊥平面ACC1A1，所以B1D1⊥A1C1，由棱柱性质知AC⊥BC.
答案：对角线互相垂直
能力要求
1．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是( )
A．sin(α＋β)>sinα＋sinβ
B．sin(α＋β)>cosα＋cosβ
C．cos(α＋β)D．cos(α＋β)解析：取α＝30°，β＝30°，可知A、B不成立，取α＝β均趋近于0°，则α＋β→0°此时cos(α＋β)→1，而sinα→0，sinβ→0，显然C不成立．
答案：D
2．某工程由下表中所列工序组成，则工程总时数为________天.
工序
a
b
c
d
e
f
紧前工序
—
—
a，b
c
c
d，e
工时数(天)
2
3
2
5
4
1
解析：本题首先是读懂此表，然后按倒序分析如下：
①完成f需1天(需在d，e完成后)；
②d，e可并行但需c完成之后，故d与e均可在5天内完成；
③完成c需2天(需a、b均完成后)；
④a、b可并行无前提限制，故完成a、b需3天．
所以工程总时数应为11天．
工序流程图如图2：
答案：11
3．已知：a、b∈R＋，且2c>a＋b.
求证：c－证明：要证c－只需证－即|a－c|<.
因此，只需证a2－2ac＋c2因为a∈R＋，且a＋b<2c成立，所以a(a＋b)<2ac，
即a2＋ab<2ac成立，
所以c－4．设x、y∈(0，＋∞)，求证：(x＋y)2＋(x＋y)≥
x＋y.
证明：原不等式等价于：
2(x＋y)2＋(x＋y)≥4x＋4y，
即证(x＋y)[2(x＋y)＋1]≥2(2＋2)．
∵x＋y≥2>0，
∴只需证2(x＋y)＋1≥2＋2，
即证(x＋)＋(y＋)≥＋.
而x＋≥2＝，y＋≥2＝，
当且仅当x＝y＝时，等号成立．
∴(x＋y)2＋(x＋y)≥x＋y.
拓展要求
△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，
求证：＋＝.
证明：要证＋＝，
即需证＋＝3.
即证＋＝1，
又需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)
需证c2＋a2＝ac＋b2.
∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列，∴B＝60°.
由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°，
即b2＝c2＋a2－ac.∴c2＋a2＝ac＋b2.命题得证．
