课时作业22 空间向量的正交分解及其坐标表示
基础巩固
1．在空间直角坐标系O—xyz中，下列说法正确的是( )
A．向量的坐标与点B的坐标相同
B．向量与点A的坐标相同
C．向量与向量的坐标相同
D．向量与向量－的坐标相同
解析：∵＝－，∴与－的坐标相同，选D.
答案：D
2．与点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点P′的坐标是( )
A．(－1，－3，－5) B．(－1，－3,5)
C．(1，－3,5) D．(－1,3,5)
解析：依题意知＝(1,3,5)，∴＝－＝(－1，－3，－5)，即P′的坐标为(－1，－3，－5)，选A.
答案：A
3．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( )
A．a B．b
C．a＋2b D．a＋2c
解析：∵a＝p＋q，b＝p－q，a＋2b＝p－q，∴a、b、a＋2b都与p、q共面，排除A、B、C，选D.
答案：D
4．若存在实数x、y、z使＝x＋y＋z成立，则下列判断正确的是( )
A．对于某些x、y、z的值，向量组{，，}不能作为空间的一个基底
B．对于任意的x、y、z的值，向量组{，，}都不能作为空间的一个基底
C．对于任意的x、y、z的值，向量组{，，}都能作为空间的一个基底
D．根据已知条件无法作出相应的判断
解析：在式子＝x＋y＋z中，若x＋y＋z＝1，由空间共面向量定理的推论可知：P、A、B、C四点共面，从而、、共面，不能作为空间的一个基底．
答案：A
5．已知A点的坐标是(1,2，－1)，向量与向量关于y轴对称，向量与关于平面xOy对称，则的坐标为__________，的坐标为__________．
答案：(－1,2，－1) (1,2,1)
6．已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且＝a，＝b，＝c，且a、b、c表示向量＝__________.
图1
解析：＝－
＝(＋)－
＝－a＋b＋c.
答案：－a＋b＋c
能力提升
1．设命题p：a、b、c是三个非零向量；命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当三个非零向量a，b，c共面时不能作为基底，正推不成立；反过来，若{a，b，c}是一个基底，必有a，b，c都是非零向量，逆推成立，选B.
答案：B
2．点M(－1,3，－4)在坐标平面xOy，xOz，yOz内的射影的坐标分别是( )
A．(－1,3,0)，(－1,0，－4)，(0,3，－4)
B．(0,3，－4)，(－1,0，－4)，(0,3，－4)
C．(－1,3,0)，(－1,3，－4)，(0,3，－4)
D．(0,0,0)，(－1,0,0)，(0,2,30)
解析：点M在平面xOy，xOz，yOz内的射影的坐标中，分别是竖坐标、纵坐标、横坐标为0，选A.
答案：A
3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若点F是侧面CDD1C1的中心，且＝＋m－n，则( )
A．m＝，n＝ B．m＝，n＝－
C．m＝－，n＝ D．m＝－，n＝－
解析：∵＝＋＝＋(＋)＝＋＋，∴m＝，n＝－.
答案：B
4．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12,14,10) B．(10,12,14)
C．(14,12,10) D．(4,3,2)
解析：p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k.
答案：A
5．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为( )
A．(，，) B．(，，)
C．(，，) D．(，，)
解析：如图2，由已知＝
图2
＝(＋)
＝[＋(＋)]
＝＋[(－)＋(－)]
＝＋＋，
从而x＝y＝z＝.
答案：A
6.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立如图3所示的空间直角坐标系，则下列向量对应坐标正确的是( )
图3
A.＝(0,0，－2)
B.＝(－，，0)
C.＝(0,1,2)
D.＝(－，－，2)
解析：设与，，方向相同的单位向量为i，j，k，则＝i，＝j，＝2k，
故＝＝2k，从而＝(0,0,2)，故A不正确．
＝＝－＝i－j，
即＝(，－，0)，故B不正确．
＝＋＝j＋2k，
即＝(0，，2)，故C不正确．
＝－＝＋－
＝－－＋＝－i－j＋2k，
即＝(－，－，2)，故D正确．
答案：D
7. (2014年高考·上海卷)如图4，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点，则·(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为( )
图4
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：如图5建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(2,0,1)，P1(1,0,1)，P2(0,0,1)，P3(2,1,1)，P4(1,1,1)，P5(0,1,1)，P6(2,2,1)，P7(1,2,1)，P8(0,2,1)，＝(0,0,1)，·＝1
图5
答案：A
8．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，则从以下各向量2a，a＋b，a－b,5a－3c中选出三个向量构成空间的基底，它们是__________(选出满足条件的三个向量即可，不需考虑所有情形)．
答案：只要选出的三个向量中都含有a，b，c即可，如2a，a＋b,5a－3c，或a＋b，a－b,5a－3c等等．
9．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，若＝x＋2y－3z，试求x，y，z的值．
解：＝＋＋＝＋＋
＝＋＋.
又＝x＋2y－3z，
∴∴
10．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD＝3，DC＝5，DD1＝4，在如图6建立的空间直角坐标系中求点B1与向量的坐标．
图6
解：记x、y、z轴上的坐标向量分别为i、j、k，则＝3i，
＝5j，＝4k，
所以＝＋＋
＝＋＋＝3i＋5j＋4k＝(3,5,4)，
即B1的坐标为(3,5,4)．
＝＋＋＝－＋
＝5j－3i＋4k＝－3i＋5j＋4k＝(－3,5,4)．
11．如图7所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
图7
(1)证明A、E、C1、F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，
求x＋y＋z.
解：(1)证明：∵＝＋＋
＝＋＋＋
＝＋
＝＋＋＋＝＋，
∴A、E、C1、F四点共面．
(2)解：∵＝－＝＋－(＋)
＝＋－－
＝－＋＋，
∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝.
