课件38张PPT。同步导练/RJA版·选修2-1 数学 经典品质/超越梦想 03 空间向量与立体几何§3.1 空间向量及其运算 第五课时 空间向量运算的坐标表示 目 标 导 向 知 识 导 学重 点 导 析 思 维 导 悟 方 法 导 拨 课时作业23课时作业23 空间向量运算的坐标表示
基础巩固
1．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则
|a－b＋2c|等于( )
A．3 B．2
C. D．5
解析：|a－b＋2c|＝|(9,3,0)|＝
＝3.
答案：A
2．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则＝＝是a∥b的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分不必要条件
解析：设＝＝＝λ，则有a＝λb(b≠0)，
∴a∥b，即正推成立；若b＝0，恒有a∥b，但≠≠，逆推不成立，∴选A.
答案：A
3．已知A(3,3,3)，B(6,6,6)，O为原点，则与的夹角是( )
A．0 B．π C. D．2π
解析：∵＝(3,3,3)，＝(－6，－6，－6)，∴·＝－54，||＝3，||＝6，∴cos〈，〉＝＝－1，∴〈，〉＝π，选B.
答案：B
4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A. B.
C. D.
解析：由a，b，c三向量共面，有c＝xa＋yb(x，y∈R)
即(7,5，λ)＝(2x－y，－x＋4y,3x－2y)
∴解之得
∴λ＝3x－2y＝，选D.
答案：D
5．设A(3,3,1)、B(1,0,5)、C(0,1,0)，则△ABC的重心坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：设△ABC的重心为G，则＝(＋＋)＝(4,4,6)＝(，，2)，∴G点的坐标为(，，2)，选D.
答案：D
6．已知a＝(2,3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,0,2)，则a·(b＋c)＝__________.
解析：a·(b＋c)＝(2,3,1)·(2,0,5)＝2×2＋3×0＋1×5＝9.
答案：9
7．已知a＝(2，－2,3)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，则x的值为__________．
解析：由a⊥b，有a·b＝0，即2×(－4)＋(－2)×2＋3x＝0，∴x＝4.
答案：4
能力提升
1．如果三点A(1,5，－2)、B(2,4,1)、C(a,3，b＋2)在同一条直线上，那么( )
A．a＝3，b＝－3 B．a＝6，b＝－1
C．a＝3，b＝2 D．a＝－2，b＝1
解析：由A、B、C三点共线，有＝λ，即(a－2，－1，b＋1)＝λ(1，－1,3)，∴解之得.
答案：C
2．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为( )
A．± B.
C．－ D．±
解析：∵＋λ＝(1，－λ，λ)，∴(＋λ)·＝2λ，|＋λ|＝，||＝.依题意有cos120°＝＝，解之得λ＝(舍去)或λ＝－.
答案：C
3．已知A(3,0，－1)，B(0，－2,0)，C(2,4，－2)，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．以上都不对
解析：∵||＝|(－3，－2,1)|＝，||＝
|(2,6，－2)|＝2，||＝|(－1,4，－1)|＝3，
∴||>||>||且BC2≠AB2＋AC2，排除A、B、C，选D.
答案：D
4．若ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)、B(2，－5,1)、C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为( )
A. B．(2,3,1)
C．(－3,1,5) D．(5,13，－3)
解析：设点D坐标为(x，y，z)，则由ABCD是平行四边形有＝，所以(x－3，y－7，z＋5)＝(2,6,2)，∴∴，∴点D坐标为(5,13，－3)．
答案：D
5．已知A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，则△ABC的面积为( )
A. B.
C. D．2
解析：∵||＝，||＝|(2,1,3)|＝，·＝(1,1,1)·(2,1,3)＝6.
∴cosA＝＝.由cosA>0知A为锐角，∴sinA＝＝.
∴S△ABC＝||·||·sinA＝.
答案：A
6．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：a·b＝x＋2＝3，x＝1
a＝(1,0,1)，b＝(1,1,2)
a·b＝3，|a|＝，|b|＝
cos?a，b?＝＝＝.
∴?a，b?＝，选D.
答案：D
7．在△ABC中，∠C＝90°，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(4,0，－2k)，则k的值为( )
A. B．－
C．2 D．±
解析：∵∠C＝90°，∴·＝0
＝(－3,2，－k)，＝(－6,1,2k)
∴·＝18＋2－2k2＝0，k2＝10，k＝±.
答案：D
8．已知向量a、b满足2a＋b＝(－1，－4,3)，a－2b＝(2,4，－5)，则a＝__________，b＝__________.
解析：a＝[2(2a＋b)＋(a－2b)]＝[(－2，－8,6)＋(2,4，－5)]＝(0，－4,1)＝(0，－，)．
b＝[2a＋b－2(a－2b)]＝[(－1，－4,3)－(4,8，－10)]＝(－5，－12,13)＝(－1，－，)．
答案：(0，－，) (－1，－，)
9．与向量a＝(2，－1,2)共线且满足方程：a·x＝－18的向量x是__________．
解析：因向量x和a共线，所以x＝ka.另外a·x＝－18，即a·ka＝k|a|2＝k·()2＝9k，所以k＝－2，故x＝(－4,2，－4)．
答案：(－4,2，－4)
10．已知a＝(1,1,0)，b＝(1,1,1)，若b＝b1＋b2，且b1∥a，b2⊥a，则b1＝__________，b2＝__________.
解析：设b1＝(x1，y1，z1)，b2＝(x2，y2，z2)，则b1＋b2＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)，依题意有
解之得
∴b1＝(1,1,0)，b2＝(0,0,1)．
答案：(1,1,0) (0,0,1)
11．设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
解：(1)ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，
a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)
＝(7，－4，－16)．
∵(ka＋b)∥(a－3b)，
∴＝＝，解得k＝－.
(2)∵(ka＋b)⊥(a－3b)，
∴(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝.
12．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点．
(1)求EF与C1G所成角的余弦值；
(2)求FH的长．
解：如图1，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D－xyz，则有E(0,0，)，F(，，0)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G(0，，0)．
图1
(1)∵＝(0，，0)－(0,1,1)＝(0，－，－1)，
∴||＝.
又∵＝(，，－)，∴||＝.
∴·＝×0＋×(－)＋(－)×(－1)
＝.
∴cos?，?＝＝.
(2)∵F(，，0)，H(0，，)，
∴＝(－，，)．
∴||＝＝.
13．已知A(1,2,3)、B(2,1,2)、P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动(O为坐标原点)，当·取最小值时，求点Q的坐标．
解：＝(1,1,2)，∵点Q在直线上，∴与共线，故可设＝λ＝(λ，λ，2λ)，其中λ∈R，即Q(λ，λ，2λ)．
∴＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)
∴·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－)2－
∴当λ＝时，·取最小值，此时点Q的坐标为(，，)．
创新拓展
1．已知a＝(5,3,1)，b＝(－2，t，－)，若a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解：∵a·b＝5×(－2)＋3t＋1×(－)＝3t－，
且a与b的夹角为钝角，
∴a·b<0，即3t－<0，∴t<.
若a与b的夹角为180°，
则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，
即(5,3,1)＝λ(－2，t，－)．
故，即t＝－.
故t的取值范围是(－∞，－)∪(－，)．
2．(1)试证明△ABC的面积S△ABC＝
.
(2)已知三角形的顶点是A(1，－1,1)，B(2,1，－1)，C(－1，－1，－2)．试求这个三角形的面积．
解：(1)S△ABC＝|AB||AC|·sinα，
其中α是AB与AC这两条边的夹角，则
S△ABC＝||||·
＝||||
＝.
(2)在本题中，＝(2,1，－1)－(1，－1,1)＝(1,2，
－2)，＝(－1，－1，－2)－(1，－1,1)＝(－2,0，－3)，
∴||2＝12＋22＋(－2)2＝9，
||2＝(－2)2＋02＋(－3)2＝13，·＝4
∴S△ABC＝＝为所求．
