课件36张PPT。同步导练/RJA版·选修2-1 数学 经典品质/超越梦想 01 常用逻辑用语§1.1 命题及其关系第二课时 四种命题及其关系目 标 导 向 知 识 导 学重 点 导 析 思 维 导 悟 方 法 导 拨 课时作业2课时作业2 四种命题及其关系
基础巩固
1．下列命题中，是真命题的为( )
A．“若b2－4ac>0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”的逆否命题
B．“四条边相等的四边形是正方形”的逆命题
C．“x2＝9，则x＝3”的逆否命题
D．“对顶角相等”的逆命题
解析：A.若二次方程无实根，则b2－4ac≤0，假命题．
B．正方形是四边相等的四边形，真命题．
C．若x≠3，则x2≠9，假命题．
D．若两个角相等，则它们是对顶角，假命题．
答案：B
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析：原命题：条件——一个数是负数．
结论——这个数的平方是正数．
逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．
答案：B
3．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是( )
A．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
解析：所给命题的逆否命题的条件是“loga2≥0”，结论
是“函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数”，选B.
答案：B
4．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题，这四个命题中真命题的个数一定是( )
A．奇数 B．偶数
C．奇数或偶数 D．以上都不正确
答案：B
5．下列命题中，其否命题为假命题的是( )
A．若两直线平行，则同位角相等
B．若x，y全为0，则xy＝0
C．若方程x2＋2x－m＝0有两实根，则m≥0
D．若x2－3x＋2>0，则x2－3x>0
答案：B
6．对于命题p：“若a<3，则a>1”，则p和它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：A
7．“已知a∈全集U，若a∈A，则a??UA”的逆命题是__________，它是(填“真”，“假”)__________命题．
答案：已知a∈全集U，若a??UA，则a∈A 真
能力提升
1．原命题：“设a、b、c∈R，若ac2>bc2则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：原命题为真，∴逆否命题为真．∵逆命题为假，
∴否命题为假．∴所给命题的三个命题中只有一个为真，选B.
答案：B
2．设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：
①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递增；
②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递增；
③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递减；
④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减．
其中真命题是( )
A．①② B．①④
C．②③ D．②④
解析：对于②，构造函数f(x)＝x，g(x)＝－x，
则f(x)－g(x)＝2x，显然f(x)－g(x)单调递增；
对于③，构造函数f(x)＝－x，g(x)＝x，
则f(x)－g(x)＝－2x，显然f(x)－g(x)单调递减．
综上知，正确的命题为②③.
答案：C
3．与命题“能被6整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是( )
A．能被2整除的整数，一定能被6整除
B．不能被6整除的整数，一定不能被2整除
C．不能被6整除的整数，不一定能被2整除
D．不能被2整除的整数，一定不能被6整除
解析：与原命题等价的命题，即求其逆否命题．
答案：D
4．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
解析：“若p则q”的否命题为“若綈p则綈q”．故选A.
答案：A
5．在下列命题中，真命题是( )
A．命题“若acB．命题“若b＝3，则b2＝9”的逆命题
C．命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”的否命题
D．命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题
解析：对A，因为c的正负未知，因而a与b的大小不定，所以A假；对B，逆命题是“若b2＝9，则b＝3”它未必成立，因为b可能等于－3，所以B假；对C，否命题为“当x≠2时，x2－3x＋2≠0”为假，因为x≠2，但可以为1，使x2－3x＋2＝0成立；对D，其逆否命题为“两个三角形的对应角不相等，则这两个三角形不相似”为真，因为原命题与逆否命题互为等价命题，原命题为真．
答案：D
6．有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．
其中真命题为( )
A．①② B．②③
C．①③ D．③④
解析：①原命题的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题；②原命题的否命题是“不全等三角形的面积不相等”，为假命题；③原命题的逆命题是“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”，为真命题；④原命题的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，为假命题．
答案：C
7．写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断其真假．
(1)若m，n都是奇数，则m＋n是奇数．
(2)若x＋y＝5，则x＝3且y＝2.
解：(1)逆命题：“若m＋n是奇数，则m，n都是奇数”，假命题．
否命题：“若m，n不都是奇数，则m＋n不是奇数”，假命题．
逆否命题：“若m＋n不是奇数，则m，n不都是奇数”，假命题．
(2)逆命题：“若x＝3且y＝2，则x＋y＝5”，真命题．
否命题：“若x＋y≠5，则x≠3或y≠2”，真命题．
逆否命题：“若x≠3或y≠2，则x＋y≠5”，假命题．
8．设有两个命题：p：|x|＋|x－1|≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数．若这两个命题中有且只有一个真命题，求实数m的取值范围．
解：解法1：若命题p为真命题，则根据绝对值的几何意义可知m≤1；若命题q为真命题，则7－3m>1，即m<2.
∵命题p和q有且只有一个是真命题有两种情况：①p真q假；②p假q真．
图1
由①得m∈?，
由②得1故m的取值范围为1解法2：将m≤1和m<2标在同一数轴上，如图1所示．
从数轴上可以观察得到，当1创新拓展
已知x为实数，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1.用反证法证明a、b、c中至少有一个不小于1.
证明：假设a<1，b<1且c<1，则a＋b＋c<3，而a＋b＋c＝x2＋＋2－x＋x2－x＋1＝2x2－2x＋＝2(x－)2＋3≥3，矛盾．
∴a、b、c中至少有一个不小于1.
