课时作业5 “且”“或”“非”的基本概念
基础巩固
1．命题“平行四边形不是矩形”是( )
A．綈p形式的命题 B．p∧q形式的命题
C．p∨q形式的命题 D．不是命题
解析：符合“非p”的定义．
答案：A
2．如果原命题的结论是“p且q”形式，那么否命题的结论形式是( )
A．綈p且綈q B．綈p或綈q
C．綈p或q D．綈q或p
解析：“p且q”的否定为“綈p或綈q”．
答案：B
3．下列语句中是命题綈p形式的是( )
A．27是3与9的倍数
B．方程x2＋x＋1＝0没有实根
C．若b2＝ac，那么a、b、c是否成等比数列
D．n∈N时，2n＋1是奇数
解析：A.是“p且q”形式．
C．不是命题．
D．是简单命题．
答案：B
4．命题“存在实数x，使|x＋1|≤0，且x2<4”是( )
A．“p或q”的形式 B．“非p”的形式
C．“p且q”的形式 D．不是命题
解析：|x＋1|≤0即x＝－1
x2<4即－2
∴此命题为“p且q”形式且为真命题．
答案：C
5．由命题p：6是12的约数，q：6是24的约数，构成的“p或q”形式的命题是__________，“p且q”形式的命题是__________，“非p”形式的命题是__________．
答案：6是12或24的约数
6是12的约数且6是24的约数
6不是12的约数
能力提升
1．命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为( )
A．所有自然数的平方都不是正数
B．有的自然数的平方是正数
C．至少有一个自然数的平方是正数
D．至少有一个自然数的平方不是正数
解析：全称命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为存在型：“至少有一个自然数的平方不是正数”．
答案：D
2．用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容应是( )
A.＝ B.<
C.＝，且< D.＝，或<
解析：假设内容应是“>”的反面，
即≤.
答案：D
3．“平行四边形是矩形或是有一个角为锐角的平行四边形”这个命题的构成形式为( )
A．p∧q
B．p∨q
C．只是一个命题，无法形成p∧q，p∨q形式
D．不是命题
解析：用“或”联结．
答案：B
4．如果原命题的结论形式是“p或q”的形式，那么否命题的结论形式是( )
A．綈p或綈q B．綈p或q
C．綈q或p D．綈p且綈q
解析：“p或q”的否定为“綈p且綈q”．
答案：D
5．下列命题中符合命题p∨q形式的命题的个数为( )
①x2－x＝0的实根是x＝1或x＝－1
②y＝sinx是周期函数或单调函数
③正方形的对角线垂直平分
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①是“p或q”形式 ②是“p或q”形式 ③是“p且q”形式．
答案：C
6．已知命题“綈p或綈q”是假命题，则下列命题：①p或q；②p且q；③綈p或q；④綈p且q；其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：命题“綈p或綈q”是假命题，说明綈p、綈q都是假命题，则p，q都是真命题，所以：①p或q；②p且q；③綈p或q，都是真命题，④綈p且q是假命题；正确命题有3个．故选C.
答案：C
7．已知命题p：函数y＝sin4x是最小正周期为的周期函数，命题q：函数y＝tanx在(，π)上单调递减，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∨q
C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)
解析：函数y＝sin4x的最小正周期T＝＝，所以p是真命题；函数y＝tanx在(，π)上单调递增，故q是假命题．
所以綈p为假，綈q为真，从而(綈p)∨(綈q)为真，故选D.
答案：D
8．a，b，c不全为零等价为( )
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
解析：a，b，c不全为零的意思是a，b，c中至少有一个不为0.
答案：D
9．命题p：函数f(x)＝ax－2(a>0且a≠1)的图象恒过点(0，－2)；命题q：函数f(x)＝lg|x|(x≠0)有两个零点．则下列说法正确的是( )
A．“p或q”是真命题 B．“p且q”是真命题
C．“綈p”为假命题 D．“綈q”为真命题
解析：对于命题p：函数f(x)＝ax－2(a>0且a≠1)的图象恒过点(0，－1)，错误，对于命题q：函数f(x)＝lg|x|(x≠0)有两个零点，正确，则p或q是真命题，故选A.
答案：A
10．若把命题“A?B”看成一个复合命题，那么复合命题的形式是__________，其中构成它的两个简单命题是__________、__________.
答案：“p或q”形式 p：A?B，q：A＝B
11．已知q：不等式x2－mx＋4≥0对x∈R恒成立，若綈q为假，求实数m的范围．
解：由于綈q为假，则q为真．
∴不等式x2－mx＋4≥0对于任意的x∈R均成立，
∴由Δ＝m2－16≤0得：－4≤m≤4；
则实数m的范围是[－4,4]．
12．命题p：x2＋2x－3>0，命题q：>1，若綈q且p为真，求x的取值范围．
解：因为綈q且p为真，即q假p真，
而q为真命题时<0，即2x>3或x≤2；
p为真命题时，由x2＋2x－3>0
解得x>1或x<－3
所以x的取值范围为x<－3或x>3.
13．分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的复合命题，并判断其真假．
(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数；
(2)p：菱形的对角线相等，q：菱形的对角线互相垂直；
(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同，
q：方程x2＋x－1＝0的两实根绝对值相等．
解：(1)p∨q：3是9的约数或是18的约数．(真)
p∧q：3是9的约数且是18的约数．(真)
綈p：3不是9的约数．(假)
(2)p∨q：菱形的对角线相等或互相垂直．(真)
p∧q：菱形的对角线相等且互相垂直．(假)
綈p：菱形的对角线不相等．(真)
(3)p∨q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同或绝对值相等．(假)
p∧q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同且绝对值相等．(假)
綈p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号不相同．(真)
创新拓展
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数，分别求出符合下列条件的实数a的取值范围：
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
解：命题甲为真时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，
即a>或a<－1 ①
命题乙为真时，2a2－a>1，即a>1或a<－ ②
(1)甲、乙至少有一个是真命题，即上面两个范围的并集为a<－或a>；
∴甲、乙至少有一个是真命题时，
a的取值范围是{a|a<－或a>}．
(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时∴甲、乙中有且只有一个是真命题时，a的取值范围是{a|课时作业6 逻辑联结词构成命题的真假判定
基础巩固
1．已知命题：p∧q为真，则下列命题是真命题的是( )
A．綈p∧綈q B．綈p∨綈q
C．p∨綈q D．綈p∧q
解析：由p∧q为真，知p、q同真，∴p∨綈q为真，选C.
答案：C
2．已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨q
解析：由题意知p真q假，∴p∨q为真，选A.
答案：A
3．命题p：0不是自然数，q：是无理数，在命题p∧q、p∨q，綈p，綈q中真命题个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：p是假命题，q为真命题，
则p∨q真，p∧q假，綈p真，綈q假．
答案：C
4．命题p：A∩?＝?，q：A∪?＝A，则下列命题p∧q，p∨q，綈p中假命题为__________．
解析：p为真命题，q为真命题，
∴p∧q，p∨q，都为真命题，只有綈p假．
答案：綈p
5．命题p：方程x2－x＋a2－6a＝0有一正根和一负根．
命题q：函数y＝x2＋(a－3)x＋1的图象与x轴有公共点．
若命题“p∨q”为真命题，而命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围是______________．
解析：命题p为真，即a2－6a<0 得0命题q为真，即Δ＝(a－3)2－4≥0
得a≤1或a≥5
“p∨q”为真，“p∧q”为假，即p、q一真一假，
∴或
故a∈(－∞，0]∪(1,5)∪[6，＋∞)
答案：a∈(－∞，0]∪(1,5)∪[6，＋∞)
能力提升
1．已知全集U＝R，A?U，B?U，如果命题p：a∈A∪B，则命题“綈p”是( )
A．a∈A B．a∈ ?UB
C．a?A∩B D．a∈( ?UB)∩( ?UA)
答案：C
2．在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p是“甲落地站稳”， q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( )
A．p∨q B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)
解析：“至少有一位队员落地没有站稳”它的否定是“两位队员落地都站稳”，故为p∧q，而p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．
答案：D
3．如果命题“綈(p∨q)”是假命题，则下列说法正确的是( )
A．p、q均为真命题
B．p、q至少有一个为真命题
C．p、q均为假命题
D．p、q至少有一个为假命题
解析：∵綈(p∨q)是假命题，∴p∨q为真命题，
∴p、q至少有一个为真命题．故选B.
答案：B
4．命题p：函数f(x)＝x2－3x在区间(－1,1)内单调递减，命题q：函数f(x)＝|sin2x|的最小正周期为π，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．綈p∨q
C．p∧(p∧q) D．綈p∨(p∨q)
解析：由f(x)＝x2－3x，对称轴为x＝，故函数f(x)＝x2－3x在区间(－1,1)内单调递减，即命题p为真命题．f(x)＝sin2x的最小正周期为π，则函数f(x)＝|sin2x|的最小正周期为，即命题q为假命题．由于p真q假，故綈p为假命题，故p∨q为真命题，故綈p∨(p∨q)为真命题．
答案：D
5．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∨(綈p2)中，真命题是( )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
解析：由已知，命题p1：函数y＝2x－2－x＝2x－在R上为增函数，是真命题；p2：函数y＝2x＋2－x＝2x＋在R上的单调性不确定，是假命题，綈p2是真命题，所以，q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，q3：(綈p1)∨p2是假命题，q4：p1∨(綈p2)是真命题，故选C.
答案：C
6．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )
A．p为真 B．綈q为假
C．p∧q为假 D．p∨q为真
解析：∵y＝sin2x的最小正周期为π，∴命题p假；
∵函数y＝cosx的图象不关于x＝对称，
∴命题q假．∴p∧q为假 ∴选C.
答案：C
7．命题p：y＝2x是减函数，q：y＝sinx，x∈R的最大值为1，则下列命题中的假命题是( )
①p∧q ②p∨q ③綈p∧q ④綈p∧綈q
⑤綈p∨q ⑥p∨綈q
A．①③④ B．②④⑤
C．③④⑥ D．①④⑥
解析：∵p假命题，q真命题．
①p∧q假，②p∨q真
③綈p∧q真，④綈p∧綈q假
⑤綈p∨q真，⑥p∨綈q假
答案：D
8．(2014年高考·辽宁卷)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A．p∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)
解析：p为假命题，因为a与c可以为共线向量．
q为真命题，所以p∨q为真命题．
答案：A
9．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面．
命题p：若α∥β，m?α，n?β，则m∥n；
命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；
下面的命题中，①p∨q；②p∧q；③p∨綈q；④綈p∧q.
真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．
解析：可判断，p假，q真，∴p∨q为真，p∧q为假，
p∨綈q为假，綈p∧q为真．
答案：①④
10．命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对于一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．
解：设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对于一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象在x轴的上方，故Δ＝4a2－16<0，∴－2函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，则有3－2a>1，
即a<1.
由于p或q为真，p且q为假，可知p、q一真一假．
①若p真q假，则 ∴1≤a<2；
②若p假q真，则 ∴a≤－2；
综上可知，所求实数a的取值范围是{a|1≤a<2或a≤－2}
创新拓展
设命题p：函数f(x)＝lg的定义域为R；命题q：不等式<1＋ax对一切正实数均成立．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．
解：命题p为真命题?函数f(x)＝lg的定义域为R?ax2－x＋a>0对任意实数x均成立?a＝0时，－x>0解集为{x|x∈R且x<0}；当a≠0时，要使其解集为R，则?a>2.所以，命题p为真命题?a>2.
命题q为真命题?－1＝＝对一切正实数x均成立．由于x>0，所以>1，所以＋1>2，所以<1.所以，命题q为真命题?a≥1.
根据题意知，命题p与q中有且只有一个是真命题，当命题p为真命题且命题q为假命题时a不存在；当命题p为假命题且命题q为真命题时a的取值范围是[1,2]．
