课时作业7 全称量词与存在量词
基础巩固
1．下列命题中的特称命题是( )
A．每个矩形的对角线都互相平分
B．任何集合都不是空集的子集
C．存在整数，既是10的倍数又是25的约数
D．四面体都有四条棱
解析：A、B、D都是全称命题．
答案：C
2．下列命题中不是全称命题的是( )
A．每个三角形的中线都有3条
B．所有的抛物线都有对称轴
C．所有的无理数的平方都是有理数
D．有一些一元二次方程无实根
解析：D是特称命题．
答案：D
3．下面全称命题中真命题的个数是( )
①?x∈[2，＋∞)，都有x2－x－2>0成立
②?x∈R，有x2＋1≥0
③所有梯形，都有一组对边平行
④?x∈{a，b，c}，有{x}?{a，b，c}
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①假命题，x2－x－2>0即x>2或x<－1
可见当x＝2时，x2－x－2＝0.
②真命题，x2≥0，∴x2＋1≥1，则x2＋1≥0也成立．
③真命题，由梯形定义知．
④真命题，x只能取a或b或c.
答案：C
4．对于下列命题：
①?x∈R，－1≤sinx≤1，②?x∈R，sin2x＋cos2x>1，下列判断正确的是( )
A．①假 ②真 B．①真 ②假
C．①②都假 D．①②都真
解析：∵－1≤sinx≤1恒成立，∴①真；又∵sin2x＋cos2x＝1，∴②假，选B.
答案：B
5．已知命题p：?x∈R，使tanx＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；
③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题
其中正确的是________．(把所有正确的序号都填上)．
解析：∵p真，q真，∴p∧q为真，p∧q为假，綈p∨q为真，綈p∨綈q为假．
答案：①②③④
能力提升
1．(2014年高考·天津卷)已知命题p：?x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为( )
A．?x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1
B．?x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1
C．?x>0，总有(x＋1)ex≤1
D．?x≤0，总有(x＋1)ex≤1
解析：全称命题的否定为特称命题，故选B.
答案：B
2．已知命题p：?x∈R，x2－x＋<0；命题q：?x∈R，sinx＋cosx＝.则下列判断正确的是( )
A．p是真命题 B．q是假命题
C．綈p是假命题 D．綈q是假命题
解析：∵x2－x＋＝(x－)2≥0，∴p假，綈p真；∵sin＋cos＝，∴q真，綈q为假，选D.
答案：D
3．下面的全称命题中，真命题的个数为( )
①所有到圆心的距离等于这个圆半径的点都在这个圆上
②每个三角形的内角和都不超过180°
③?x∈R，有x2>0
④任意两个无理数的商是有理数
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①真命题 ②真命题
③假命题，当x＝0时不成立
④假命题，是无理数．
答案：B
4．若全称命题：?x∈R，ax2＋x－1<0恒成立为真命题，则a的取值范围是( )
A．a<－ B．a＝0
C．a≤0 D．a＝0或a<－
解析：当a＝0时，x－1<0不恒成立．
排除B、C、D，因此选A，其实当a≠0时，
??a<－.
答案：A
5．已知命题p：?x∈R，使sinx＝；命题q：?x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题
②命题“p∧綈q”是假命题
③命题“綈p∧q”是真命题
④命题“綈p∨綈q”是假命题
其中正确的是( )
A．②④ B．②③
C．③④ D．①②③
解析：∵sinx＝>1，∴命题p是假命题；
∵x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，
∴命题q是真命题；所以②、③正确，故选B.
答案：B
6．已知命题p：?n∈N,2n>1 000，则綈p为( )
A．?n∈N,2n≤1 000 B．?n∈N,2n>1 000
C．?n∈N,2n≤1 000 D．?n∈N,2n<1 000
解析：特称命题的否定是全称命题，所以p：?n∈N,2n>1 000的否定为綈p：?n∈N,2n≤1 000.
答案：A
7．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A,2x∈B，则( )
A．綈p：?x∈A,2x∈B
B．綈p：?x?A,2x∈B
C．綈p：?x∈A,2x?B
D．綈p：?x?A,2x?B
解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p的否定为綈p：?x∈A,2x?B.故选C.
答案：C
8．已知命题p：?x0∈R，x＋ax＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．[0,4]
B．(0,4)
C．(－∞，0)∪(4，＋∞)
D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
解析：由于p是假命题，所以綈p是真命题，即綈p：?x∈R，x2＋ax＋a≥0，所以Δ＝a2－4a≤0，解得0≤a≤4.故选A.
答案：A
9．命题“?x0(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是( )
A．?x0∈(0，＋∞)，lnx0≠x0－1
B．?x0?(0，＋∞)，lnx0＝x0－1
C．?x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1
D．?x?(0，＋∞)，lnx＝x－1
解析：特称命题的否定是全称命题，即?x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1.
答案：C
10．“同一个圆中的任意两条不是直径的相交弦，不能互相平分”这个命题是否为全称命题？__________，命题的真假为__________．
答案：是 假
11．若全称命题：“?x∈(0，＋∞)，都有ax>1”是真命题，则实数a的取值范围是__________．
解析：当x>0时，ax>1.
即f(x)＝ax是增函数，
∴a>1.
答案：a>1
12．p：?x0∈R，使得ax－2x0－1>0成立；q：方程x2＋(a－3)x＋a＝0有两个不相等正实根；
(1)写出綈p；
(2)若命题綈p为真命题，求实数a的取值范围；
(3)若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
解：(1)p：?x0∈R，使得ax－2x0－1>0成立；
∴綈p：?x∈R，ax2－2x－1≤0成立．
(2)当a＝0时，原式＝－2x－1≤0不恒成立，所以a≠0.由二次函数的性质可知解得a≤－1.
(3)若p为真命题，则綈p为假命题，由(2)可知a>－1.
若q为真命题，则，即
解得0由“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q为一真一假．
①若p真q假，则
得－1②若p假q真，则无解．
∴实数a的取值范围为－113．已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，
(1)写出命题q的否定；
(2)若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
解：(1)∵特称命题的否定是全称命题，
∴命题q：“?x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”的否定是：
?x∈R，使x2＋2ax＋2－a≠0.
(2)命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，∴a≤1；
命题q：“?x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，
∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2，
若命题“p且q”是真命题，则a≤－2或a＝1.
实数a的取值范围(－∞，－2)∪{1}．
创新拓展
若命题：“?x∈R，关于x的不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－1<0都成立”为真命题，求实数a的取值范围．
解：由题意知
①当a2－1＝0时，即a＝±1时，
不等式为－1<0恒成立，－2x－1<0不恒成立，
∴a＝1时成立．
②当a2－1≠0时，
??
??－由①②知，a的取值范围为－