课件49张PPT。同步导练/RJA版·选修2-1 数学 经典品质/超越梦想 02 圆锥曲线与方程 §2.1 曲线与方程 目 标 导 向 知 识 导 学重 点 导 析 思 维 导 悟 方 法 导 拨 课时作业8课时作业8 曲线与方程
基础巩固
1．方程(3x－4y－12)[log2(x＋2y)－3]＝0的曲线经过点A(0，－3)，B(0,4)，C(4,0)，D(，－)中的( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：将点的坐标分别代入方程，B(0,4)，C(4,0)满足方程，另外两点不满足．
答案：C
2．方程＝表示的曲线为( )
A．两条线段 B．两条直线
C．两条射线 D．一条射线和一条线段
解析：方程可变为y＝|x|(|x|≤1)
＝
答案：A
3．“点M在曲线y＝|x|上”是“点M到两坐标轴距离相等”的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：y＝|x|?|y|＝|x|成立，但逆推不成立．
答案：C
4．若点M到x轴的距离和它到直线y＝8的距离相等，则点M的轨迹方程是( )
A．x＝－4 B．x＝4
C．y＝－4 D．y＝4
解析：画图判断．
答案：D
5．已知A(1,0)、B(－1,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝2，则点M的轨迹方程是( )
A．y＝0(－1≤x≤1) B．y＝0(x≥1)
C．y＝0(x≤－1) D．y＝0(|x|≥1)
解析：由|MA|－|MB|＝2＝|AB|知M在AB的延长线上．
答案：C
6．已知点A(0，－1)，点B是抛物线y＝2x2＋1上的一个动点，则线段AB的中点的轨迹是( )
A．y＝2x2 B．y＝4x2
C．y＝6x2 D．y＝8x2
解析：设AB中点的坐标为(x，y)，则点B的坐标为(2x,2y＋1)，所以2y＋1＝2·(2x)2＋1即y＝4x2.
答案：B
7．一条线段的长等于10，两端点A、B分别在x、y轴上滑动，则AB的中点P的轨迹方程是( )
A．x＋y＝10 B．x＋y＝25
C．x2＋y2＝5 D．x2＋y2＝25
解析：由平面几何知识知|OP|＝|AB|.
∴＝5即x2＋y2＝25.
答案：D
8．到A(2，－3)和B(4，－1)距离相等的点的轨迹方程是__________．
解析：满足条件的点的轨迹是线段AB的中垂线，其方程为x＋y－1＝0.
答案：x＋y－1＝0
9．到直线l∶3x＋4y－5＝0的距离等于1的点的轨迹方程是__________．
解析：所求轨迹是l的两条平行线，设它们的方程为3x＋4y＋m＝0，则由它们到l的距离为1有＝1.解得m＝0或m＝－10.
∴所求方程为3x＋4y＝0或3x＋4y－10＝0.
答案：3x＋4y＝0或3x＋4y－10＝0
10．直角坐标平面内，到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是__________．
解析：由题设得＝1.
即|x|－|y|＝1，或|y|－|x|＝1.
答案：|x|－|y|＝1，或|y|－|x|＝1
能力提升
1．方程x2＋xy＝x表示的曲线是( )
A．一个点 B．一条直线
C．两条直线 D．一个点和一条直线
解析：∵x2＋xy＝x，∴x2＋xy－x＝0即x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0表示两条直线．
答案：C
2．与A(－1,0)和B(1,0)两点连线的斜率的乘积等于－1的动点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1(x≠±1)
C．x2＋y2＝1(x≠0) D．y＝
解析：设P(x，y)，则·＝－1，(x≠±1)．
即x2＋y2＝1(x≠±1)．
答案：B
3．如下图所示，方程y＝表示的曲线是( )
解析：y＝＝.
答案：B
4．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0则动点P(x，y)的轨迹方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：＝(4,0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，∴||·||＋·＝4·＋4(x－2)＝0，整理得y2＝－8x.
答案：B
5．与圆x2＋y2－4x＝0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为( )
A．y2＝8x(x>0)或y＝0(x<0)
B．y2＝4x(x>0)或y＝0(x<0)
C．y2＝8x(x≥0)
D．y2＝4x(x≥0)
解析：设动圆圆心为P(x，y)，则
＝|x|＋2，讨论x>0和x<0.
答案：A
6．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若＝2，且·＝1，则P点的轨迹方程是( )
A．3x2＋y2＝1 (x>0，y>0)
B．3x2－y2＝1 (x>0，y>0)
C.x2－3y2＝1 (x>0，y>0)
D.x2＋3y2＝1 (x>0，y>0)
解析：由＝2知A(x,0)，B(0,3y)，
∴＝(－x,3y)．又∵＝(－x，y)
∴·＝x2＋3y2＝1，(x>0，y>0)．
答案：D
7．已知A(x1，y1)、B(x2，y2)分别是直线l上和l外的点，若直线l的方程为f(x，y)＝0，则方程f(x，y)＝f(x2，y2)表示( )
A．直线l
B．过点A、B的直线
C．过点B与l垂直的直线
D．过点B与l平行的直线
解析：由题意知f(x1，y1)＝0.f(x2，y2)≠0，
∴f(x1，y1)≠f(x2，y2)，
∴方程f(x，y)＝f(x2，y2)不表示直线l也不过点A，
∴直线f(x，y)＝0与直线f(x，y)＝f(x2，y2)平行．
答案：D
8．已知两定点A(－2,0)、B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析：设P(x，y)，则＝2，整理得x2＋y2－4x＝0.即(x－2)2＋y2＝4.轨迹是半径为2的圆，其面积为4π.
答案：B
9．到两条坐标轴的距离之和等于2的点的轨迹方程是__________，它的轨迹是__________．
解析：轨迹方程为|x|＋|y|＝2，分四种情况讨论x，y的符号知，其轨迹为一正方形．
答案：|x|＋|y|＝2 (中心在原点，顶点在坐标轴上，对角线为2的)正方形
10．若命题“曲线S上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0”是正确的，则下列命题：
①方程F(x，y)＝0的曲线是S；
②曲线S是方程F(x，y)＝0的轨迹；
③满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线S上；
④曲线S是方程F(x，y)＝0的轨迹的子集；
⑤以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点不一定在曲线S上．
其中错误的命题序号为__________．
解析：由题设知，曲线S上的点必定满足方程F(x，y)＝0，但满足方程F(x，y)＝0的点不一定在曲线S上，∴①、②、③错误，④⑤正确．
答案：①②③
11．若曲线y2－xy＋2x＋k＝0，通过点(a，－a)．(a∈R)．则k的取值范围是__________．
解析：由题设有2a2＋2a＋k＝0.
∴k＝－2a2－2a＝－2(a＋)2≤.
答案：(－∞，]
12．两条直线ax＋y＋1＝0和x－ay－1＝0(a为参数，且a≠±1)的交点的轨迹方程是__________．
解析：联立方程组
由①有a＝③
将③代入②整理得x2＋y2－x＋y＝0，即为所求．
答案：x2＋y2－x＋y＝0
13．方程4x2－y2＋4x＋2y＝0表示什么曲线？
解：∵4x2－y2＋4x＋2y＝(2x＋y)(2x－y)＋4x＋2y.
∴可设4x2－y2＋4x＋2y＝(2x＋y＋m)(2x－y＋n)
＝4x2－y2＋2(m＋n)x＋(n－m)y
∴ 解得
∴原方程可变为(2x＋y)(2x－y＋2)＝0.
∴2x＋y＝0或2x－y＋2＝0.
∴方程4x2－y2＋4x＋2y＝0表示两条相交直线．
14．已知a2sinθ＋acosθ－1＝0，b2sinθ＋bcosθ－1＝0(θ是变量，且a≠b)．求：
(1)点(a，b)所在的曲线方程；
(2)点(a，a2)、(b，b2)确定的直线方程．
解：(1)sinθ≠0，否则将有a＝b，与题设不符．
根据题意，a、b可以看做二次方程x2sinθ＋xcosθ－1＝0的两根，从而a＋b＝－cotθ，ab＝－cscθ，消去θ得(a＋b)2＋1＝(ab)2，即(a，b)所在曲线方程为x2＋y2－x2y2＋2xy＋1＝0.
(2)根据题意得点(a，a2)、(b，b2)都在直线ysinθ＋xcosθ－1＝0上，从而点(a，a2)、(b，b2)确定的直线方程是xcosθ＋ysinθ－1＝0.
15．如图1，已知圆A的半径是2，圆外一定点N与圆A上的点的最短距离为6，过动点P作圆A的切线PM(M为切点)，连结PN使得PM∶PN＝，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹．
图1
解：
图2
以AN所在直线为x轴，AN的中垂线为y轴建立平面直角坐标系如图2所示，则A(－4,0)，N(4,0)，设P(x，y)
由|PM|∶|PN|＝，
|PM|2＝|PA|2－|MA|2
得：2|PN|2＝|PA|2－4
代入坐标得：2[(x－4)2＋y2]
＝(x＋4)2＋y2－4
整理得：x2＋y2－24x＋20＝0
即(x－12)2＋y2＝124
所以动点P的轨迹是以点(12,0)为圆心，以2为半径的圆．
16．(2015年高考·广东卷)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
(3)是否存在实数k，使得直线l：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
解：(1)圆C1的方程可化为：(x－3)2＋y2＝4，
所以圆C1的圆心坐标为(3,0)．
(2)设M(x，y)、A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则x＋y－6x1＋5＝0 ①
x＋y－6x2＋5＝0 ②
x＝ ③
y＝ ④
＝ ⑤
由③得x1＋x2＝2x ⑥
由④得y1＋y2＝2y ⑦
①－②得x－x＋y－y－6x1＋6x2＝0，
即(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)－6(x1－x2)＝0 ⑧
将⑥⑦代入⑧中，得2x(x1－x2)＋2y(y1－y2)－6(x1－x2)＝0，即
(x－3)(x1－x2)＋y(y1－y2)＝0，又因为x1－x2≠0，所以x－3＋y＝0 ⑨
将⑤代入⑨得x－3＋y＝0，即x2＋y2－3x＝0，
当直线l与C1相切时，切点的横坐标为x0＝，
∴M的横坐标满足所以线段AB的中点M的轨迹方程是x2＋y2－3x＝0.
(3)由消去y得(1＋k2)x2－(8k2＋3)x＋16k2＝0(*)
直线l：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点等价于方程(*)在x∈内有唯一解．
①当方程(*)的判别式Δ＝(8k2＋3)2－4(1＋k2)·16k2＝9－16k2＝0时，k＝±.
此时方程(*)的根为x＝∈，故k＝±符合题意；
②当Δ>0时，令f(x)＝(1＋k2)x2－(8k2＋3)x＋16k2.
要使方程(*)在上有唯一解，必须满足，
解得－≤k≤，
故存在k＝±或－≤k≤
使得直线l：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点．
创新拓展
1．曲线y＝－与曲线y＋|ax|＝0(a∈R)的交点个数一定是( )
A．2个 B．4个
C．0个 D．与a的取值有关
解析：曲线y＝－是单位圆去掉x轴上方的部分，曲线y＋|ax|＝0表示一条直线(a＝0时)或两条射线(a≠0时)，画图知选A.
答案：A
2．过点(3，－2)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为T1，T2，则直线T1T2的方程为__________．
解析：设T1(x1，y1)，T2(x2，y2)，则过T1，T2的圆x2＋y2＝4的切线方程分别为x1x＋y1y＝4，x2x＋y2y＝4.
∵点(3，－2)在切线上 ∴
∴点T1，T2在直线3x－2y＝4上，而过T1，T2的直线有且只有一条，∴3x－2y＝4即为所求．
答案：3x－2y＝4
