课时作业10 椭圆及其标准方程(二)
基础巩固
1．椭圆2x2＋y2＝1上的点P到两焦点F1、F2的距离之和为( )
A．1 B.
C．2 D．4
解析：椭圆方程可变为＋＝1，∴a2＝1，∴a＝1.
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，选C.
答案：C
2．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．a>3
B．a<－2
C．a>3或a<－2
D．a>3或－6
解析：由a2>a＋6>0知选D.
答案：D
3．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，则线段PP′中点M的轨迹是( )
A．圆 B．圆也可能是椭圆
C．椭圆 D．其他曲线
解析：设M(x，y)，则P(x,2y)在圆x2＋y2＝4上，即x2＋(2y)2＝4，∴x2＋4y2＝4.
答案：C
4．过点(－3,2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：代入验证，＋＝1焦点为(±，0)，排除B、D，把(－3,2)代入排除C，选A.
答案：A
5．若α∈，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是__________．
解析：∵＋＝1为焦点在y轴上的椭圆
∴>>0，∴0又∵α∈(0，)，∴α∈(，)
答案：(，)
能力提升
1．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：椭圆方程可以改写为＋＝1.一方面，m>n>0，可得0<<，于是方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆；另一方面，注意到以上每步都可逆，故应当选C.
答案：C
2．已知椭圆的方程为＋＝1，焦点在x轴上，则m的范围是( )
A．－4≤m≤4
B．－4C．m>4或m<－4
D．0解析：由16>m2知－4答案：D
3．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( )
A. B.
C. D.
解析：
①2－②得|PF1|·|PF2|＝
∴S△＝|PF1|·|PF2|sin60°＝.
答案：A
4．△ABC的周长是8，B(－1,0)，C(1,0)，则顶点A的轨迹方程是( )
A.＋＝1(x≠±3)
B.＋＝1(x≠0)
C.＋＝1(y≠0)
D.＋＝1(y≠0)
解析：∵△ABC的两顶点B(－1,0)，C(1,0)，周长为8，
∴BC＝2，AB＋AC＝6，
∵6>2，∴点A到两个定点的距离之和等于定值．
∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，
且2a＝6，c＝1，b＝2.
所以椭圆的标准方程是＋＝1(x≠±3)．
答案：A
5．已知焦点在y轴上的椭圆方程为＋＝1，则m的取值范围为( )
A．(4,7) B．(5.5,7)
C．(7，＋∞) D．(－∞，4)
解析：由题意，m－4>7－m>0，∴5.5∴m的范围为(5.5,7)，故选B.
答案：B
6．中心在原点，焦点在y轴上，焦距为8，且经过点(3,0)的椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：由题意知，2c＝8，c＝4，b＝3，
从而a2＝b2＋c2＝25，
∴方程是＋＝1.故选C.
答案：C
7．条件甲：3>k>1；条件乙：方程＋＝1表示椭圆．条件甲成立是条件乙的( )
A．充分但不必要条件 B．充要条件
C．必要但不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：＋＝1表示椭圆的充要条件是解得1答案：C
8．已知A(－1,0)，B是圆F：(x－1)2＋y2＝16(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程是( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.－y2＝1 D.－＝1
解析：由题意得，圆心F(1,0)，半径等于4，|PA|＝|PB|，
∴|PF|＋|PA|＝|PF|＋|PB|＝|BF|＝半径4>|AF|＝2，
故点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，
2a＝4，c＝1，∴b＝，
∴椭圆的方程为＋＝1.故选A.
答案：A
9．设P(x0，y0)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一动点，F1、F2是椭圆的两焦点，则当x0＝__________时，|PF1|·|PF2|最大且为__________．
解析：因为|PF1|＋|PF2|＝2a≥2，a2≥|PF1|·|PF2|(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)，此时P在y轴上，∴x0＝0.
答案：0 a2
10．已知圆x2＋y2＝9，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，点M在PP′上，并且＝2，求点M的轨迹．
解：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，
则x0＝x，y0＝3y.∵P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，
∴x＋y＝9.将x0＝x，y0＝3y代入得
x2＋9y2＝9，
即＋y2＝1，∴点M的轨迹是一个椭圆．
11．已知椭圆E的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，点(1，)在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程．
(2)若椭圆E上存在一点P，使∠F1PF2＝30°，求△PF1F2的面积．
解：(1)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)．
∵c＝1，∴a2－b2＝1，①
∵点(1，)在椭圆E上，∴＋＝1，②
由①②得：a2＝4，b2＝3，
∴椭圆E的方程为：＋＝1.
(2)由题意知，a＝2，b＝，∴c＝1
又∵点P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，①
由余弦定理知：
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos30°
＝|F1F2|2＝(2c)2＝4，②
把①两边平方得
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16，③
③－②得(2＋)|PF1|·|PF2|＝12，
∴|PF1|·|PF2|＝12(2－)，
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin30°＝6－3.
创新拓展
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且过点A(1，)和B(－，－)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆E与椭圆C有相同的焦点，且过点P(2，－)，求椭圆E的方程．
解：(1)依题意可设椭圆C的标准方程为：mx2＋ny2＝1(n>m>0)，将点A，B的坐标代入，得，解得m＝，n＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)依题意可设椭圆E的标准方程为：＋(a>b>0)，因为椭圆E与椭圆C有相同的焦点且过点P(2，－)，所以，解得a2＝8，b2＝7，所以椭圆E的标准方程为＋＝1.
课时作业9 椭圆及其标准方程(一)
基础巩固
1．(2015年高考·浙江卷)如图1，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是 ( )
图1
A．直线 B．抛物线
C．椭圆 D．双曲线的一支
解析：过点A作AM⊥平面α，垂足为M.以射线MB、MA为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设点A到平面α的距离为h，则A(0,0，h)，B，记P(x，y,0)．
由·＝||·||cos30°得x2＋2＝，知轨迹是椭圆，选C.
答案：C
2．如果椭圆＋＝1上一点P到它的右焦点的距离是3，那么点P到左焦点的距离为( )
A．5 B．1
C．15 D．8
解析：由定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，
∴3＋|PF1|＝8，|PF1|＝5.
答案：A
3．a＝6，c＝1的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D．以上都不对
解析：焦点不确定，应有两种情况．
答案：D
4．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1、F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝__________.
解析：
①2－②得2|PF1|·|PF2|＝96，
∴|PF1|·|PF2|＝48.
答案：48
5．点P是椭圆＋＝1上一点，以点P及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积等于4，则P点的坐标是________．
解析：由c2＝a2－b2＝25－9＝16知c＝4，设P(xP，yP)，S△＝×2c×|yP|＝4×yP＝4，∴yP＝±1代入椭圆方程得xP＝±.
答案：(±，±1)
能力提升
1．P是椭圆＋＝1上横坐标为1的点，以椭圆右焦点为圆心，过点P的圆方程是( )
A．(x－1)2＋y2＝ B．(x＋1)2＋y2＝
C．(x－1)2＋y2＝ D．(x＋1)2＋y2＝
解析：椭圆＋＝1的右焦点为(1,0)
∵P是椭圆＋＝1上横坐标为1的点，
∴P(1，±)，
∴以椭圆右焦点为圆心，过点P的圆方程是(x－1)2＋y2＝，故选A.
答案：A
2．椭圆＋＝1的一个焦点坐标是( )
A．(3,0) B．(0,3)
C．(1,0) D．(0,1)
解析：椭圆＋＝1，∵a2＝5，b2＝4，
∴c＝5－4＝1，∴c＝1，
∴椭圆＋＝1的两个焦点坐标是(0,1)，(0，－1)．故选D.
答案：D
3．已知a＝6，b＝5，焦点在y轴上的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：∵椭圆焦点在y轴上，且a＝6，b＝5，
∴椭圆的标准方程是＋＝1.故选D.
答案：D
4．已知椭圆的两个焦点是(－3,0)，(3,0)，且点(0,2)在椭圆上，则椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.－＝1
解析：由题意，因为椭圆的两个焦点是(－3,0)，(3,0)，
所以c＝3，
又因为椭圆过点(0,2)，所以b＝2，
根据a2＝b2＋c2，可得a＝.
故椭圆的标准方程为：＋＝1，故选A.
答案：A
5．椭圆x2＋4y2＝1的焦点为( )
A．(0，±3) B．(±3,0)
C．(±，0) D．(0，±)
解析：椭圆x2＋4y2＝1即x2＋＝1，
∴c＝＝，∴焦点坐标为(±，0)，故选C.
答案：C
6．已知椭圆的焦点F1(0，－1)，F2(0,1)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C．x2＋＝1 D.＋y2＝1
解析：∵2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，
|F1F2|＝2c，|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴4c＝2a，a＝2c
∵椭圆的两焦点为F1(0，－1)，F2(0,1)，∴c＝1，
∴a＝2，b2＝a2－c2＝3，
又∵椭圆的焦点在y轴上，
∴椭圆方程为＋＝1.故选B.
答案：B
7．椭圆的两个焦点分别是F1(－4,0)，F2(4,0)且椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，则此椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：由题意，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)
∵椭圆的两个焦点分别是F1(－4,0)，F2(4,0)，
∴c＝4
∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12
∴2a＝12 ∴a＝6
∴b2＝a2－c2＝36－16＝20
∴椭圆的方程为＋＝1，故选C.
答案：C
8．椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为( )
A．4 B．2
C．8 D.
图2
解析：如图2所示，设椭圆的另一个焦点为F2，由椭圆的定义得|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，所以|MF2|＝10－|MF1|＝10－2＝8，又因为ON为△MF1F2的中位线，所以|ON|＝|MF2|＝4.
答案：A
9．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__________；∠F1PF2的大小为__________．
解析：由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，解得
|PF2|＝2，观察曲线方程，得到|F1F2|＝2c＝2，故cos∠F1PF2＝
＝＝－，所以∠F1PF2＝120°.
答案：2 120°
10．已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝__________.
解析：∵∴(|AF1|＋|BF1|)＋|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋12＝20，∴|AB|＝8.
答案：8
11．求下列各椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．
解：(1)依题意可设椭圆的标准方程为＋＝1，则解得
∴所求椭圆标准方程为＋＝1.
(2)设所求椭圆标准方程为＋＝1，
则解得
∴所求椭圆标准方程为x2＋＝1.
创新拓展
1．已知Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|＋|PB|的值不变，求曲线E的方程．
图3
解：如图3，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，
在Rt△ABC中，
BC＝＝，
∵|PA|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝＋＝2.
又|PA|＋|PB|>|AB|，
∴由椭圆定义知，动点P的轨迹E为椭圆，
a＝，c＝1，b＝1.
∴所求的轨迹方程为＋y2＝1.
2．(2016年高考·课标全国卷Ⅰ)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
证明：|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
解：(1)圆A整理为(x＋1)2＋y2＝16，
A的坐标是(－1,0)，如图4.
∵BE∥AC，∴∠C＝∠EBD.
由AC＝AD，则∠D＝∠C.
∴∠EBD＝∠D，则EB＝ED，
∴AE＋EB＝AE＋ED＝AD＝4.
所以E的轨迹为一个椭圆，方程为＋＝1(y≠0)．
图4
