课时作业11 椭圆的简单几何性质(一)
基础巩固
1．(2017年高考·浙江卷)椭圆＋＝1的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：根据题意知，a＝3，b＝2，则c＝＝，
∴椭圆的离心率e＝＝，故选B.
答案：B
2．椭圆x2＋8y2＝1的短轴的端点坐标是( )
A.、
B．(－1,0)、(1,0)
C．(2，0)、(－2，0)
D．(0,2)、(0，－2)
解析：∵＋＝1，∴a＝1，b＝＝.
答案：A
3．椭圆＋＝1和＋＝k(k>0)具有( )
A．相同的离心率 B．相同的焦点
C．相同的顶点 D．相同的长、短轴
解析：①c2＝a2－b2，离心率＝，
②＋＝1，∴c2＝k(a2－b2)，
离心率＝＝.
答案：A
4．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：2a＝18，∴a＝9,2c＝＝6，
∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝72.
答案：A
5．若椭圆的长轴长为200，短轴长为160，则椭圆上的点到焦点的距离的范围是__________．
解析：2a＝200，∴a＝100，由2b＝160，∴b＝80，c＝60，由近日点、远日点知识，知最远a＋c，最近a－c.
答案：[40,160]
6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
解析：设椭圆G的方程为＋＝1(a>b>0)，依题意2a＝12，e＝＝，而a2＝b2＋c2，
解得a＝6，c＝3，b2＝9，
故所求椭圆G的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
7．(2016年高考·天津卷)设椭圆＋＝1(a＞)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
求椭圆的方程；
解：设F(c,0)，由＋＝，即＋＝，可得a2－c2＝3c2，
又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4，所以椭圆的方程为＋＝1.
能力提升
1．已知焦点在x轴上的椭圆，长轴长为4，右焦点到右顶点的距离为1，则椭圆的标准方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：由题意得：a＝2，a－c＝1，∴c＝1，
∵a2＝b2＋c2，∴b2＝3，
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程是＋＝1.故选B.
答案：B
2．离心率为，长轴长为6的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
解析：由2a＝6，得a＝3，由e＝＝，知c＝2
又b2＝a2－c2＝9－4＝5
故＋＝1或＋＝1为所求，故选B.
答案：B
3．焦距为4，离心率是方程2x2－5x＋2＝0的一个根，且焦点在x轴上的椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：依题意：e＝
∴??b2＝12，
所以，所求椭圆方程为＋＝1.
答案：B
4．若点(3,2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，则下列说法错误的是( )
A．点(－3,2)在该椭圆上
B．点(3，－2)在该椭圆上
C．点(－3，－2)在该椭圆上
D．点(－3，－2)不在该椭圆上
解析：∵椭圆＋＝1(a>b>0)是轴对称图形(不仅关于x轴对称而且关于y轴对称)，也是中心对称图形，对称中心为(0,0)；
∴点(3,2)关于x轴的对称点(3，－2)也在椭圆＋＝1(a>b>0)上，故B对；
点(3,2)关于y轴的对称点(－3,2)也在椭圆＋＝1(a>b>0)上，故A对；
点(3,2)关于(0,0)的对称点(－3，－2)也在椭圆＋＝1(a>b>0)上，故C对，D错．
答案：D
5．椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A(3,0)，则椭圆的标准方程是( )
A.－＝1
B.＋＝1
C.＋y2＝1
D.＋y2＝1，或＋＝1
解析：椭圆的长轴是短轴的3倍，所以A不正确，点A(3,0)在椭圆上，所以满足＋y2＝1，或＋＝1，并且椭圆的长轴是短轴的3倍，所以D正确．故选D.
答案：D
6．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0，]
C．(0，) D．[，1)
解析：线上是等式，线外是不等式．首先易知当AB是圆的直径，圆上的点M与AB构成的角是直角，圆外的点与AB所构成的角是锐角，圆内的点与AB所构成的角是钝角．再理解要满足题意只有当|F1F2|为直径的圆与椭圆没有交点，即2c<2b.
∴c2
答案：C
7．已知F1、F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e＝，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：由椭圆定义知4a＝16，∴a＝4，由＝知c＝2，∴b2＝a2－c2＝4，∴＋＝1.
答案：D
8．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．
解析：设椭圆的右焦点为F′，过F′作CD⊥x轴，AB与x轴交于E，则AE≤AF′
图1
∴AF＋AE≤AF＋AF′
＝CD＋CF′＝2a，
∴2(AF＋AE)≤4a，即△FAB的周长最大值为4a，当且仅当直线过右焦点F′时达到．
此时S△FAB＝2··2c·＝＝＝3
答案：3
9．若椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为__________．
解析：分两种情况讨论：
若焦点在x轴上，＝，∴m＝
若焦点在y轴上，＝，∴m＝18.
答案：或18
10．在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－.若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝__________.
解析：解法1：如图2，设AB＝2c，则BC＝2c，由余弦定理得AC2＝(2c)2＋(2c)2－2×2c×2c×(－)＝c2，∴AC＝c，而AC＋BC＝2a，∴c＋2c＝2a，即＝，
图2
故填.
解法2：AB＝2c，则BC＝2c，过B作BD⊥AC于D，则AD＝ABsin＝c，
所以AC＝c，进而求得离心率.
答案：
11．如图3，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1 .
图3
(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；
(2)若|PQ|＝λ|PF1|，且≤λ<，试确定椭圆离心率e的取值范围．
解：(1)由椭圆的定义2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.
设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，
因此2c＝|F1F2|＝
＝＝2，
即c＝，从而b＝＝1.
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)如图4，由PF1⊥PQ，|PQ|＝λ|PF1|，得
图4
|QF1|＝＝|PF1|.
由椭圆的定义，
|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，
进而|PF1|＋|PQ|＋|QF1|＝4a.
于是(1＋λ＋)|PF1|＝4a，
解得|PF1|＝，
故|PF2|＝2a－|PF1|＝.
由勾股定理得
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2，从而
2＋2＝4c2，
两边除以4a2，得
＋＝e2.
若记t＝1＋λ＋，则上式变成
e2＝＝82＋.
再由≤λ<，并注意到1＋λ＋关于λ的单调性，得3≤t<4，即<≤.
进而12．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(1，)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点B在椭圆上，点D在y轴上，且＝2，求直线AB的方程．
解：(1)∵e＝＝，∴a＝2c
∴b2＝a2－c2＝3c2
设椭圆方程为：＋＝1，∴＋＝1，
∴c＝1
所以椭圆方程为：＋＝1
(2)设B＝(x0，y0)，D＝(0，m)，
则＝(－x0，m－y0)，＝(1，－m)
∵＝2
∴－x0＝2，m－y0＝3－2m，
即x0＝－2，y0＝3m－3代入椭圆方程得m＝1
∴D(0,1)，
∴直线AB的方程为y＝x＋1.
创新拓展
已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0<＋y<1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为________，直线＋y0y＝1与椭圆C的公共点个数为________．
解析：P(x0，y0)满足0<＋y<1，说明P(x0，y0)在椭圆内且不与原点重合．
故|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|<2a，
即|PF1|＋|PF2|∈[2,2)，
不妨取P，则＋y0y＝1变为x＝4，显然与椭圆无交点．
答案：[2,2)，0
课时作业12 椭圆的简单几何性质(二)
基础巩固
1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．－
C．－2解析：由＋<1得a2<2，∴－答案：A
2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：由题，2a＋2c＝2×2b，即a＋c＝2b，由于a2＝b2＋c2，所以5c2＋2ac－3a2＝0，即5e2＋2e－3＝0，解之得e＝，或e＝－1(舍去)．
答案：B
3．过椭圆＋＝1的左焦点斜率为－1的直线被椭圆截得的弦长为( )
A. B．2
C. D．5
解析：解法1：可求得直线方程为y＝－x－1，联立方程组消去y整理得7x2＋8x－8＝0.
∴弦长|MN|＝·
＝·＝；选C.
解法2：由椭圆最短弦长为2，
最长弦长为4，可排除A、B、D，选C.
答案：C
4．中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为的椭圆方程为__________．
解析：由2c＝2知c＝1，由＝知a＝3，
∴b2＝a2－c2＝8，∴方程为＋＝1.
答案：＋＝1
5．直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有交点时，m的取值范围是__________．
解析：因为y－kx－1＝0，即kx＝y－1恒过定点(0,1)，若直线与椭圆恒有交点，则是点在椭圆内或椭圆上，则需m≥1，同时为椭圆，m≠5.
答案：m≥1且m≠5
6．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)离心率为.
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，得b＝4.
又e＝＝，得＝，
即1－＝，所以a＝5.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为
y＝(x－3)，
设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入椭圆C的方程，得
＋＝1，
即x2－3x－8＝0，解得x1＝，x2＝，
于是，线段AB的中点坐标为＝＝，
＝＝(x1＋x2－6)＝－，
故所求线段的中点为(，－)．
能力提升
1．直线l：y＝kx＋1(k≠0)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)．若直线l被椭圆E所截弦长为d，则下列直线中被椭圆E所截弦长不是d的直线是( )
A．kx＋y＋1＝0 B．kx－y－1＝0
C．kx＋y－1＝0 D．kx＋y＝0
解析：因为A、B、C三个选项分别是直线l关于x轴、原点、y轴的对称直线，又椭圆E关于x轴、原点、y轴都对称，所以A、B、C三个选项所表示的直线被椭圆E所截弦长都是d.故选D.
答案：D
2．B1、B2是椭圆短轴的两个端点，O为椭圆的中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是( )
A. B.
C. D.
解析：依题意|F1B2|2＝|OF1|·|B1B2|，
∴b2＋c2＝2bc
∴b＝c＝a，将x＝－c代入椭圆方程求得
|PF1|＝，∴＝＝＝，选B.
答案：B
3．(2018年高考·课标全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
解析：由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图1所示，设|F1F2|＝2c，
图1
∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，
∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.
∵|OF2|＝c，
∴点P坐标为(c＋2ccos60°，2csin60°)，即点P(2c，c)．
∵点P在过点A，且斜率为的直线上，
∴＝，解得＝，∴e＝，故选D.
答案：D
4．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN中的点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.
解析：由题意可作图2：
图2
连结F1P、F2P
易得|F1P|＝|AN|
|F2P|＝|BN|
∴|AN|＋|BN|
＝2(|F1P|＋|F2P|)
根据椭圆定义于得
|F1P|＋|F2P|＝2×3＝6
∴|AN|＋|BN|＝12.
答案：12
5．如果椭圆＋＝1上的弦被点A(4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是________．
解析：设直线交椭圆于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，
则＋＝1，＋＝1，作差得
＝－，
∴kMN＝＝－＝－.
∴直线MN的方程为y－2＝－(x－4)
即x＋2y－8＝0.
答案：x＋2y－8＝0
6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA＝，则椭圆的方程为______________．
解析：
，b2＝a2－c2＝5，∴有两种情况．
答案：＋＝1或＋＝1
7．如图3，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
图3
解析：由题意得F(c,0)，直线y＝与椭圆方程联立可得
B，C，
由∠BFC＝90°，可得·＝0，
＝，＝，
则c2－a2＋b2＝0，由b2＝a2－c2
可得c2＝a2，则e＝＝＝.
答案：
8.如图4，椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.
图4
(1)求椭圆E的方程；
(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．
解：(1)设椭圆E的方程为＋＝1，
由e＝，即＝，a＝2c，得b2＝a2－c2＝3c2.
∴椭圆方程具有形式＋＝1.
将A(2,3)代入上式，得＋＝1，解得c＝2.
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，所以
直线AF1的方程为：y＝(x＋2)，
即3x－4y＋6＝0.直线AF2的方程为：x＝2.
由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数.
设P(x，y) 为l上任一点，则＝|x－2|.
若3x－4y＋6＝5x－10，得x＋2y－8＝0(因其斜率为负，舍去)．
于是，由3x－4y＋6＝－5x＋10得2x－y－1＝0，
所以直线l的方程为：2x－y－1＝0.
图5
9．(2017年高考·江苏卷)如图5，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l1、l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
解：(1)设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，
所以＝，＝8，
解得a＝2，c＝1，于是b＝＝，
因此椭圆E的标准方程是＋＝1.
(2)由(1)知，F1(－1,0)，F2(1,0)．
设P(x0，y0)，因为P为第一象限的点，
故x0>0，y0>0.
当x0＝1时，l2与l1相交于F1，与题设不符．
当x0≠1时，直线PF1的斜率为，
直线PF2的斜率为.
因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，
所以直线l1的斜率为－，
直线l2的斜率为－，
从而直线l1的方程：y＝－(x＋1)，①
直线l2的方程：y＝－(x－1)．②
由①②，解得x＝－x0，y＝，
所以Q(－x0，)．
因为点Q在椭圆上，由对称性，得＝±y0，
即x－y＝1或x＋y＝1.
又P在椭圆E上，故＋＝1.
由解得x0＝，y0＝；
无解．
因此点P的坐标为(，)．
创新拓展
1．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.
图6
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图6，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．
解：(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为
bx＋cy－bc＝0，
则原点O到该直线的距离d＝＝，
由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率
＝.
(2)由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①
依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，
且|AB|＝.
易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得
(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1＋x2＝－，x1x2＝.
由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝.
从而x1x2＝8－2b2.于是
|AB|＝|x1－x2|
＝＝.
由|AB|＝，得 ＝，解得b2＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.
2．设A、B是椭圆3x2＋y2＝λ上的两点，点N(1,3)是线段AB的中点．
(1)确定λ的取值范围，使直线AB存在，并求直线AB的方程．
(2)线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点，求线段CD的中点M的坐标．
(3)试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由．
解：(1)依题意，可设直线AB的方程为y＝k(x－1)＋3，代入3x2＋y2＝λ，整理得
(k2＋3)x2－2k(k－3)x＋(k－3)2－λ＝0①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两个不同的根，∴Δ＝4[λ(k2＋3)－3(k－3)2]>0.②
且x1＋x2＝，由N(1,3)是线段AB的中点，得＝1，∴k(k－3)＝k2＋3
解得k＝－1，代入②得λ>12，
即λ的取值范围是(12，＋∞)，
∴直线AB的方程为y－3＝－(x－1)，
即x＋y－4＝0.
(2)∵CD垂直平分AB，直线CD的方程为y－3＝x－1，即x－y＋2＝0，代入椭圆方程，
整理得4x2＋4x＋4－λ＝0 ③
又设C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD的中点M(x0，y0)，
则x3，x4是方程③的两根，
∴x3＋x4＝－1，且x0＝(x3＋x4)＝－，
y0＝x0＋2＝，即M(－，)
(3)由弦长公式可得
|CD|＝|x1－x2|＝④
将直线AB的方程x＋y－4＝0，代入椭圆方程得
4x2－8x＋16－λ＝0⑤
同理可得|AB|＝⑥
∵当λ>12时，>，∴|AB|<
|CD|，假设存在λ>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心，点M到直线AB的距离为
d＝＝＝⑦
于是由④、⑥、⑦式和勾股定理可得．
|MA|2＝|MB|2＝d2＋||2＝＋＝＝||2，故当λ>12时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，||为半径的圆上．
