课时作业13 双曲线及其标准方程(一)
基础巩固
1．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是( )
A．－10
C．k≥0 D．k>1或k<－1
解析：(1＋k)(1－k)>0，即(k＋1)(k－1)<0，
∴－1答案：A
2．平面内两定点间的距离为10，则到这两个定点的距离之差的绝对值为12的点的轨迹为( )
A．双曲线 B．线段
C．射线 D．不存在
解析：2c＝10,2a＝12，∵2c<2a，∴无轨迹．
答案：D
3．方程x＝表示的曲线是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．圆 D．半圆
解析：x＝>0两边平方得x2＝y2＋1
即x2－y2＝1(x>0)．
答案：B
4．“ab<0”是方程ax2＋by2＝c表示双曲线的( )
A．必要但不充分条件 B．充分但不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若ab<0且c＝0时，ax2＋by2＝0表示两直线，若ax2＋by2＝c为双曲线，则有·<0即ab<0且c≠0.
答案：A
5．已知双曲线方程为－＝1，那么它的焦距为__________．
解析：a2＝20，b2＝5，c2＝a2＋b2＝25，
∴c＝5,2c＝10.
答案：10
6．已知两点F1(－5,0)，F2(5,0)，则到它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹方程为________．
解析：由题意知动点的轨迹是双曲线，其方程为－＝1，∵c＝5,2a＝6，∴b＝4，∴所求的轨迹方程为－＝1.
答案：－＝1
能力提升
1．双曲线－＝1上的P到点(5,0)的距离是15，则P到(－5,0)的距离是( )
A．7 B．23
C．5或25 D．7或23
解析：在－＝1中，c2＝16＋9＝25，∴c＝5，由定义知||PF|－15|＝8，∴|PF|＝23或7.
答案：D
2．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( )
A. B.
C. D.
解析：由题意可知，a＝＝b，∴c＝2，设|PF1|＝2x，|PF2|＝x，则|PF1|－|PF2|＝x＝2a＝2，故|PF1|＝4，|PF2|＝2，F1F2＝4，利用余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝＝.
答案：C
3．(2017年高考·课标全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：解法1：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APE＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.
解法2：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，
当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，
解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，
所以＝(1,0)，＝(0，－3)，所以·＝0，
所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF||AP|
＝×3×1＝.故选D.
答案：D
4．双曲线－＝1的焦距是( )
A．3 B．6
C．8 D．12
解析：方程表示双曲线，且m2＋12>0，
所以4－m2>0，即方程表示焦点在x轴上的双曲线，从而a2＝m2＋12，b2＝4－m2，
因此c＝＝4，故焦距2c＝8.
答案：C
5．若点M在双曲线－＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|等于( )
A．2 B．4
C．8 D．12
解析：双曲线中a2＝16，a＝4,2a＝8，由双曲线定义知||MF1|－|MF2||＝8，又|MF1|＝3|MF2|，所以3|MF2|－|MF2|＝8，解得|MF2|＝4.
答案：B
6．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在直线y＝x上，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：因为点P(2,1)在直线y＝x上，则1＝，
∴a＝2b.①
∵双曲线的焦距为10，∴a2＋b2＝52.
将①代入上式，得b2＝5，从而a2＝20，
故双曲线C的方程为－＝1.
答案：A
7．设双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为________．
解析：设双曲线的半焦距、实半轴长、虚半轴长分别为c，a，b，因为两个焦点为(－，0)，(，0)，可知双曲线在标准位置且焦点在x轴上，且c＝.由一个顶点是(1,0)可知a＝1，所以得b＝＝＝1.
可得C的方程为x2－y2＝1.
答案：x2－y2＝1
8．已知P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝________.
解析：双曲线方程可化为－＝1，
所以a2＝16，a＝4.
因为点P在左支上，所以|PF1|－|PF2|＝－2a＝－8.
答案：－8
9．对于曲线C：＋＝1，给出下面四个命题：
①曲线C不可能表示椭圆；
②当1③若曲线C表示双曲线，则k<1或k>4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1其中正确命题的序号为________．
解析：由
解得1此时方程表示椭圆，且当1由(4－k)(k－1)<0，得k<1或k>4，
此时方程表示双曲线，故③正确．
答案：③④
10．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．
解：由椭圆方程＋＝1，得椭圆的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．
因为椭圆与双曲线在第一象限的交点A的纵坐标为4，所以这个交点为A(，4)．
解法1：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意得解得
故所求双曲线方程为－＝1.
解法2：∵2a＝||AF1|－|AF2||
＝|－|＝4，∴a＝2.
又∵c＝3，∴b2＝c2－a2＝5.
∵双曲线的焦点在y轴上，
∴双曲线的方程为－＝1.
11．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：如图1所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的充要条件，得
图1
|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|.
∵|MA|＝|MB|，
∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.
这表明动点M与这两定点C2、C1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)．
这里a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，
则其轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
创新拓展
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为 ( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y＝1 D．x2－＝1
解析：由双曲线的渐近线bx－ay＝0与圆(x－2)2＋y2＝3相切得＝，且c＝＝2，解得a＝1，b＝，则双曲线方程为x2－＝1.
答案：D
2．过双曲线－＝1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M、N两点，F2为其右焦点，求|MF2|＋|NF2|－
|MN|的值．
解：由定义知|MF2|－|MF1|＝2a ①
|NF2|－|NF1|＝2a ②
①＋②得|MF2|＋|NF2|－|MN|＝4a＝4＝8.
课时作业14 双曲线及其标准方程(二)
基础巩固
1．已知方程ax2－ay2＝b，如果实数a、b异号，则它表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的双曲线
B．焦点在y轴上的双曲线
C．圆
D．椭圆
解析：－＝1，∵ab<0，∴<0，焦点在y轴上．
答案：B
2．双曲线＋＝1的焦距为( )
A．16 B．8
C．4 D．2
解析：c2＝25－k－(9－k)＝16，∴c＝4,2c＝8.
答案：B
3．过(1,1)点且＝的双曲线的标准方程为( )
A.－y2＝1
B.－x2＝1
C．x2－＝1
D.－y2＝1或－x2＝1
解析：可代入验证，因焦点在x轴还是y轴上不确定，故有两种情况．
答案：D
4．已知双曲线的焦点在y轴上，且a＋c＝9，b＝3，则它的标准方程是__________．
解析： ∴∴有－＝1.
答案：－＝1
5．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析：点M的横坐标是3，双曲线的右准线是x＝1，设双曲线的右焦点为F，MF＝f，点M到直线x＝1的距离为d，双曲线的离心率为2，则由双曲线的第二定义，得＝2，即＝2，故M到双曲线右焦点的距离f＝4.
答案：4
6．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)过点P，Q且焦点在坐标轴上；
(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上；
(3)与双曲线－＝1有相同焦点，且经过点(3，2)．
解：(1)设双曲线方程为＋＝1.
∵P、Q两点在双曲线上，∴
解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)∵焦点在x轴上，c＝，∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．又∵双曲线经过点(－5,2)，
∴－＝1.解得λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴双曲线的标准方程是－y2＝1.
(3)设所求双曲线方程为－＝1(0<λ<16)．∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1.解得λ＝4或λ＝－14(舍)．∴双曲线的标准方程是－＝1.
能力提升
1．F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，点P在双曲线上，G是PF1的中点，且∠F1PF2＝90°，则△GF1F2的面积是( )
A. B.
C. D．11
解析：由题设知
②－①2得|PF1|·|PF2|＝22.
∴S△PF1F2＝×22＝11，∴S△GF1F2＝.
答案：C
2．设α是第四象限的角，则方程x2sinα＋y2＝sin2α表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
解析：＋＝1，
∵α在第四象限，∴cosα>0，sin2α<0.
答案：C
3．已知动圆M过定点B(－4,0)，且和定圆(x－4)2＋y2＝16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1(x>0) B.－＝1(x<0)
C.－＝1 D.－＝1
解析：设动圆M的半径为r，依题意有|MB|＝r，另设A(4,0)，
则有|MA|＝r±4，即|MA|－|MB|＝±4.
亦即动圆圆心M到两定点A，B的距离之差的绝对值等于常数4，
又4<|AB|，因此动点M的轨迹为双曲线，
且c＝4,2a＝4，
所以a＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12.
故轨迹方程是－＝1.
答案：C
4．已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为 ( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为－＝1，故选C.
答案：C
5．双曲线8mx2－my2＝8的焦距为3，则m的值是__________．
解析：－＝1，
或 解得m＝4或－4
答案：±4
6．双曲线－＝1的焦点在y轴上，则m的取值范围是__________．
解析： ，
∴－2答案：－27．双曲线－＝1的焦点为F1、F2，且点P是双曲线上的一点，若∠F1PF2＝60°，试求△F1PF2的面积．
解：∵b2＝16，a2＝9，∴c2＝25,2c＝10，
又∵||PF1|－|PF2||＝3×2＝6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°，
∴|PF1|·|PF2|＝64.
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝16.
8．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判别△MF1F2的形状．
解：(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，
故设双曲线方程为－＝1，
则有解得a2＝3，b2＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设点M在右支上，
则有|MF1|－|MF2|＝2，
又|MF1|＋|MF2|＝6，
故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2.
又|F1F2|＝2，因此在△MF1F2中，边MF1最长，
因为cos∠MF2F1＝
<0，
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．
9．双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，求点P到x轴的距离．
解：设点P(x0，y0)，而F1(－5,0)，F2(5,0)，
则＝(－5－x0，－y0)，＝(5－x0，－y0)．
∵PF1⊥PF2，∴·＝0，
即(－5－x0)(5－x0)＋(－y0)·(－y0)＝0，
整理，得x＋y＝25.①
∵P(x0，y0)在双曲线上，∴－＝1.②
联立①②，得y＝，即|y0|＝.
因此点P到x轴的距离为.
10．已知F1、F2是双曲线－＝1(b∈N*)的两个焦点，双曲线上一点P满足|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2，且|PF2|<4，求双曲线方程．
解：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则由双曲线的定义得|r1－r2|＝4，又由r2<4得r1>r2，
∴r1－r2＝4.①
由已知得r1·r2＝4c2＝4(4＋b2)．②
又由①②得r2(r2＋4)＝4(4＋b2)．
∵0∴4∴4(4＋b2)<32，－2故所求双曲线的方程为－y2＝1.
创新拓展
图1
如图1，某村在P处有一堆肥料，今要把此堆肥料沿道路PA或PB送到成矩形的一块田ABCD中去，已知PA＝100 m，PB＝150 m，BC＝60 m，∠APB＝60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近而另一侧的点则沿PB送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程．
解：田地ABCD中的点可分为三类：第一类沿PA送肥较近；第二类沿PB送肥较近；第三类沿PA或PB送肥一样近．
图2
由题意知，界线是第三类点的轨迹．设M是界线上的任意一点，则
|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(定值)，故所求界线是以A、B为焦点的双曲线一支．若以直线AB为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系，作出双曲线粗略图，并连接AM、BM.如图2所示，
则可设所求双曲线的方程为－＝1，其中a＝25，
2c＝|AB|＝＝50，
∴c＝25，b2＝c2－a2＝3 750.因此，双曲线方程为－＝1(25≤x≤25，y≥0)，即为所求界线的方程．
